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第七节 对数与对数函数


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对数与对数函数

结束

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对数与对数函数

1.对数

如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为 概念
对数 ,记作x=logaN,其中a叫做对数的 底N的_____

底数,N叫做真数,log

aN叫做对数式
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性质

对数式与指数式的互化:ax=N? x=logaN loga1=0,logaa=1,alogaN= N loga(M· N)= logaM + logaN a>0,且 a≠1, M>0,N>0

运算 法则

M log M a loga N = - logaN logaMn= nlogaM (n∈R)

log b 换底 换底公式:logab= c (a>0,且 a≠1,c>0,且 c≠1, logca 公式 b>0)
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y=logax

a>1

0<a<1

图象

性质

(0,+∞) 定义域为_________ R 值域为___ (1,0) ,即x=___ 过定点_____ 1 时,y=___ 0
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y=logax

a>1

0<a<1 当x>1时,_____ y<0 ;
y>0 当0<x<1时,_____

y>0 ; 当x>1时,_____
性质
y<0 当0<x<1时,____

在区间(0,+∞)上是___ 增 在区间(0,+∞)上是 函数
减 函数 ___

logax

y=x

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1.函数 y=loga(3x-2)(a>0,a≠1)的图象经过定点 A,则 A 点坐标是
? 2? A.?0,3? ? ? ?2 ? B.?3,0? ? ?

(

)

C.(1,0)

D.(0,1)

答案:C

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2.(教材习题改编)计算: (1)log35-log315=______. (2)log23· log34· log45· log52=______.

答案:(1)-1

(2)1

3.已知 a>0,且 a≠1,函数 y=ax 与 y=loga(-x)的图象可 能是______(填序号).

答案:②
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1.在运算性质 logaMα=αlogaM 中,要特别注意条件,在无 M>0 的条件下应为 logaMα=αloga|M|(α∈N*,且 α 为偶数). 2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点: (1)务必先研究函数的定义域; (2)注意对数底数的取值范围.

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1.函数 y= log0.5?4x-3?的定义域为______.
?3 ? 答案:?4,1? ? ?

2.函数 f(x)=lg x2 的单调递减区间是______.

答案:(-∞,0)

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1.(易错题)设 a,b,c 均为不等于 1 的正实数,则下列等 式中恒成立的是 A.logab· logcb=logca B.logab· logca=logcb C.loga(bc)=logab· logac D.loga(b+c)=logab+logac
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(

)

解析
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2 2.(2015· 浙江高考)计算:log2 2 =________,2 log2 3+log4 3= ________.

2 1 1 log 2 解析:log2 2 =log2 2- 2 =2-1=-2;2 log2 3+log4 3=2
log 3 log 3 log 3 log · 2 = 3 × 2 = 3 × 2 2 4 4 2 3

=3 3.

1 答案:-2

3 3

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1 ? - 1 2 ?÷ - lg 25 100 =______. 4 ?

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? 3.计算?lg ?

1 解析:原式=(lg 2 -lg 5 )×100 =lg 22· 52×10=
-2

2

1 2

lg 10-2×10=-2×10=-20. 答案:-20

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1 32 4 4.(2016· 山东乳山市模拟)2lg49-3lg 8+lg 245=________.

1 32 4 1 解析:2lg49 -3lg 8+lg 245=2(5lg 2-2lg 7)- 41 1 1 1 3lg 2+2(lg 5+2lg 7)=2(lg 2+lg 5)=2. 3· 2· 1 答案:2

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作函数 y=|log2(x-1)|的图象.
[解] 先作出 y=log2x 的图象, 再将其图象向右平移 1 个单

位, 保留 x 轴上方的部分, 将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方, 即得 y=|log2(x-1)|的图象,如图.

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[变式 1]

试写出函数 y=|log2(x-1)|的减区间________.

解析:由母题图象知,函数的减区间为(1,2). 答案:(1,2)
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[变式 2]

函数 f(x)=ln|x-1|的图象大致是

(

)

解析:当 x>1 时,f(x)=ln(x-1),又 f(x)的图象关于 x =1 对称,故选 B. 答案:B
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[变式 3]

已知函数 y=loga(x+c)(a, c 为常数, 其中 a>0, a≠1) ( )

的图象如图,则下列结论成立的是

A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1 C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1
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[变式 4]

设方程 10x=|lg(-x)|的两个根分别为 x1,x2,则 ( B.x1x2=0 D.0<x1x2<1

)

A.x1x2<0 C.x1x2>1

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[破译玄机]

与指数、对数综合有关的方程根的问题,求解时常数 形结合,作出图象可得结论.

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高考对于对数函数的性质及其应用考查, 多以选择题或填空 题的形式考查,难度低、中、高档都有. 常见的命题角度有: (1)求函数的定义域; (2)比较对数值的大小; (3)简单对数不等式的解法; (4)对数函数的综合问题.
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?4-|x|≥0, ? 2 解析: 由?x -5x+6 >0, ? x - 3 ? 为(2,3)∪(3,4],故选 C.
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? ?-4≤x≤4, 得? ? ?x>2且x≠3,

故函数定义域 答案:C

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角度二:比较对数值的大小 1 1 2.已知 a=3 ,b=log 1 2,c=log23,则
3

1 2

(

)

A.a>b>c C.c>b>a
1 2

B.b>c>a D.b>a>c

1 1 解析: ∵ a = 3 >1,0<b = log 1 2 = log32<1 , c = log2 3 =- 3 log23<0,∴a>b>c. 答案:A
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角度三:简单对数不等式的解法 3.若 f(x)=lg x,g(x)=f(|x|),则 g(lg x)>g(1)时,x 的取值范围 是__________.
解析:当 g(lg x)>g(1)时,f(|lg x|)>f(1),由 f(x)为增函数得|lg x|>1, 1 从而 lg x>1 或 lg x<-1,解得 0<x< 或 x>10. 10
? 1? 答案:?0,10?∪(10,+∞) ? ?

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角度四:对数函数的综合问题 4.若 f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在区间(-∞,1]上递减,则 a 的 取值范围为 A.[1,2) C.[1,+∞) B.[1,2] D.[2,+∞) ( )

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? ?-x+6,x≤2, 5. (2015· 福建高考)若函数 f(x)=? ? ?3+logax,x>2

(a>0, 且 a≠1)

的值域是[4,+∞),则实数 a 的取值范围是________.

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