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高三数学第二轮专题复习(4)三角函数


高三数学第二轮专题复习系列(4)
三角函数
一、本章知识结构:
应用

弧长与扇 形面积公 式 任意角 的概念

同角三角函 数的基本关 系式 任意角 的三角 函数
和角公式 应用 应用

诱导 公式

计算与化简 证明恒等式

角度制 与弧

度 制

三角函数 的图象与 性质
倍角公式

已知三角 函数值求 角
应用

应用 差角公式

二、高考要求 1.理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算;掌握任意角三角函数的定 义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。 2.掌握三角函数公式的运用(即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式) 3.能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 4.会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、 正切函数的图线、 并在此基础上由诱导公式画 出余弦函数的图象、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数及 Y=Asin(ω χ +φ )的简图、 理解 A、ω 、 ? 的物理意义。 5. 会由已知三角函数值求角,并会用符号 arcsinx arccosx arctanx 表示角。 三、热点分析 1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低,而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势, 主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强. 2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查,且难度不大,从 1993 年至 2002 年考查的 内容看,大致可分为四类问题(1)与三角函数单调性有关的问题; (2)与三角函数图象 有关的问题; (3) 应用同角变换和诱导公式, 求三角函数值及化简和等式证明的问题; (4) 与周期有关的问题。 3.基本的解题规律为:观察差异(或角,或函数,或运算) ,寻找联系(借助于熟知的公式、 方法或技巧) ,分析综合(由因导果或执果索因) ,实现转化.解题规律:在三角函数求值 问题中的解题思路,一般是运用基本公式,将未知角变换为已知角求解;在最值问题和周 期问题中,解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求 解. 4.立足课本、抓好基础.从前面叙述可知,我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂三 角变换和特殊技巧的考查, 而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查, 对基础知识和 基本技能的考查上来,所以在复习中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形 的同时, 也直接考查了三角函数的性质及图象的变换, 可见高考在降低对三角函数恒等变 形的要求下,加强了对三角函数性质和图象的考查力度. 四、复习建议
1

本章内容由于公式多, 且习题变换灵活等特点, 建议同学们复习本章时应注意以下几点: (1) 首先对现有公式自己推导一遍,通过公式推导了解它们的内在联系从而培养逻辑推理能 力。 (2) 对公式要抓住其特点进行记忆。有的公式运用一些顺口溜进行记忆。 (3) 三角函数是中学阶段研究的一类初等函数。故对三角函数的性质研究应结合一般函数研 究方法进行对比学习。如定义域、值域、奇偶性、周期性、图象变换等。通过与函数这 一章的对比学习,加深对函数性质的理解。但又要注意其个性特点,如周期性,通过对 三角函数周期性的复习,类比到一般函数的周期性,再结合函数特点的研究类比到抽象 函数,形成解决问题的能力。 (4) 由于三角函数是我们研究数学的一门基础工具,近几年高考往往考察知识网络交汇处的 知识,故学习本章时应注意本章知识与其它章节知识的联系。如平面向量、参数方程、 换元法、解三角形等。 (2003 年高考应用题源于此) 5.重视数学思想方法的复习,如前所述本章试题都以选择、填空题形式出现,因此复习中要 重视选择、填空题的一些特殊解题方法,如数形结合法、代入检验法、特殊值法,待定系 数法、 排除法等.另外对有些具体问题还需要掌握和运用一些基本结论.如: 关于对称问题, 要利用 y=sinx 的对称轴为 x=kπ + (k∈Z) ,对称中心为(kπ ,0) , (k∈Z)等基本 结论解决问题,同时还要注意对称轴与函数图象的交点的纵坐标特征.在求三角函数值的 问题中,要学会用勾股数解题的方法,因为高考试题一般不能查表,给出的数都较特殊, 因此主动发现和运用勾股数来解题能起到事半功倍的效果. 6.加强三角函数应用意识的训练,1999 年高考理科第 20 题实质是一个三角问题,由于考生 对三角函数的概念认识肤浅,不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间建立联系, 造成思维障碍,思路受阻.实际上,三角函数是以角为自变量的函数,也是以实数为自变 量的函数,它产生于生产实践,是客观实际的抽象,同时又广泛地应用于客观实际,故应 培养实践第一的观点.总之,三角部分的考查保持了内容稳定,难度稳定,题量稳定,题 型稳定,考查的重点是三角函数的概念、性质和图象,三角函数的求值问题以及三角变换 的方法. 7.变为主线、抓好训练.变是本章的主题,在三角变换考查中,角的变换,三角函数名的变 换,三角函数次数的变换,三角函数式表达形式的变换等比比皆是,在训练中,强化变意 识是关键,但题目不可太难,较特殊技巧的题目不做,立足课本,掌握课本中常见问题的 解法,把课本中习题进行归类,并进行分析比较,寻找解题规律. 针对高考中题目看, 还要强化变角训练,经常注意收集角间关系的观察分析方法.另外如何把一个含有不同名 或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要加强, 这也是高考的重 点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目. 8.注意对三角形中问题的复习.由于教材的变动, 有关三角形中的正、 余弦定理.解三角形等 内容提到高中来学习, 又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低, 对三角 的综合考查将向三角形中问题伸展, 从 1996 年和 1998 年的高考试题就可看出, 但也不可 太难,只要掌握基本知识、概念,深刻理解其中基本的数量关系即可过关. 9.在复习中,应立足基本公式,在解题时,注意在条件与结论之间建立联系,在变形过程中 不断寻找差异,讲究算理,才能立足基础,发展能力,适应高考. 在本章内容中, 高考试题主要反映在以下三方面: 其一是考查三角函数的性质及图象变换, 尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。多数题型为选择题或填空题;其次是三角函 数式的恒等变形。如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等。除在填空题和 选择题出现外,解答题的中档题也经常出现这方面内容。 另外,还要注意利用三角函数解决一些应用问题。
2

五、典型例题

两角和与差的三角函数
【例 1】已知 ? ? ? ? ? ?
4? ? ,?? ? ? ? ? ? ? ,求 2? ? ? 的范围。 3 3

解:设 2? ? ? = A(? ? ? ) ? B(? ? ? ) , (A、B 为待定的系数) ,则 2? ? ? = ( A ? B)? ? ( A ? B) ?
? A? ? ?A ? B ? 2 ? ?? 比较系数 ? ? A ? B ? ?1 ? B ? ? ? 1 2 3 2

1 3 ∴ 2? ? ? = (? ? ? ) ? (? ? ? ) 2 2

从而可得: ? ? ? 2? ? ? ?

?
6

5 3 【例 2】设 A ? {? | ? ? k? , | k |? 10, k ? Z}, B ? {? | ? ? k? , k ? Z} ,求 A ? B 的解的终边相同 3 2

的角的集合。 解:先写出 A 与 B 的交,再写出终边相同的角的集合。 设 ? 0 ? A ? B ,则 ? 0 ? A且? 0 ? B ;所以 ? 0 ? k1? ∴ k1 ?
5 3 3 9 k 2 ,即 k1 ? k 2 ,由于 | k1 |? 10, k1 ? Z 2 10 5 3 ,? 0 ? 3 k 2? 2

∴ k 2 ? 0,?10 ;因此 A ? B ? {0,?15? } 因此所有与 A ? B 的角的终边相同的角的集合为 {? | ? ? 2k? , 或? ? 2k? ? ? , k ? Z} 【例 3】已知 ? 解:∵ ?
?
6 ?? ?

?
4

, 3 sin 2 ? ? 2 sin 2 ? ? 2 sin ?,试求sin 2 ? ?

1 sin 2 ? 的最值。 2

π π ?β? 6 4

∴-

1 1 2 , 0 ? sin 2 ? ? ? sin ? ? 2 2 2

∴ 0 ? 2 sin 2 ? ? 1

∵ 2 sin 2 ? ? 3 sin 2 ? ? 2 sin ?

∴ 0 ? 3 sin 2 ? ? 2 sin ? ? 1

?2 ? sin ? ? 1或 sin ? ? 0 2 ? ? 3 sin ? ? 2 sin ? ? 0 ? ?3 ?? 即? 2 ? ?3 sin ? ? 2 sin ? ? 1 ? 0 ?? 1 ? sin ? ? 1 ? ? 3

1 2 ∴ ? ? sin α ? 0或 ? sin α ? 1 3 3

1 1 1 1 1 y= sin 2 ? ? sin 2 ? ? (3 sin 2 ? ? 2 sin ? ) ? sin 2 ? ? (sin ? ? ) 2 ? 2 2 2 2 4

当 sin?∈[

2 2 2 ,1]时函数 y 递增,∴当 sina= 时 ymin= ? ; 9 3 3
1 1 ,0)时,函数 y 递减,∴当 sin?=0 时,ymin= 3 2
2 3 1 2 2 9 1 2

当 sin?∈( ?

∴ 故当 sin ? ? 时, (sin 2 ? ? sin 2 ? ) m in ? ? , (sin 2 ? ? sin 2 ? ) 无最大值。 【例 4】求值
2 cos 40? ? cos10??1 ? tg60?tg10?? 1 ? cos10?

3

?1 ? 3 2 cos 40? ? 2? cos10? ? sin 10? ? ?2 ? 2 2 cos 40? ? cos10? ? 3 sin 10? ? ? 原式 ? ? 解: 2 cos 5? 2 cos 5? 2 cos 40? ? 2 cos?60? ? 10?? 2?cos 40? ? cos 50?? 2 · 2 cos 45? cos 5? ? ? ? ?2 2 cos 5? 2 cos 5? 2 cos 5?

【例 5】 已知 解法一:∵

3π π 12 3 <β <α < ,cos(α -β )= ,sin(α +β )=- ,求 sin2α 的值_______. 2 13 4 5

π π 3π 3π <β <α < ,∴0<α -β < .π <α +β < , 2 4 4 4

∴sin(α -β )= 1 ? cos2 (α ? β) ?

5 4 , cos(α ? β) ? ? 1 ? sin 2 (α ? β) ? ? . 13 5

∴sin2α =sin[(α -β )+(α +β )] =sin(α -β )cos(α +β )+cos(α -β )sin(α +β ) 5 4 12 3 56 ? ? (? ) ? ? (? ) ? ? . 13 5 13 5 65 解法二:∵sin(α -β )=
4 5 ,cos(α +β )=- , 5 13

∴sin2α +sin2β =2sin(α +β )cos(α -β )=- sin2α -sin2β =2cos(α +β )sin(α -β )=-
1 72 40 56 ∴sin2α = (? ? ) ? ? 2 65 65 65

72 65

40 65

【例 6】不查表求 sin 20°+cos 80°+ 3 cos20°cos80°的值. 解法一:sin 20°+cos 80°+ 3 sin 20°cos80°
2 2 2

2

2

1 1 (1-cos40°)+ (1+cos160°)+ 3 sin20°cos80° 2 2 1 1 =1- cos40°+ cos160°+ 3 sin20°cos(60°+20°) 2 2 1 1 =1- cos40°+ (cos120°cos40°-sin120°sin40°) 2 2
= + 3 sin20°(cos60°cos20°-sin60°sin20°) =1- =1-

1 3 3 1 3 2 cos40°- cos40°- sin40°+ sin40°- sin 20° 4 4 4 2 2
3 3 1 cos40°- (1-cos40°)= 4 4 4
2 2

解法二:设 x=sin 20°+cos 80°+ 3 sin20°cos80°

y=cos220°+sin280°- 3 cos20°sin80°,则

4

1 x+y=1+1- 3 sin60°= ,x-y=-cos40°+cos160°+ 3 sin100° 2
=-2sin100°sin60°+ 3 sin100°=0 ∴x=y=

1 1 2 2 ,即 x=sin 20°+cos 80°+ 3 sin20°cos80°= . 4 4
2

【例 7】设关于 x 的函数 y=2cos x-2acosx-(2a+1)的最小值为 f(a),试确定满足 f(a)= 的 a 值,并对此时的 a 值求 y 的最大值. 解:由 y=2(cosx-
a 2 a 2 ? 4a ? 2 )- 及 cosx∈[-1,1]得: 2 2

1 2

(a ? ?2) ?1 ? 2 ? a ? 2a ? 1 (?2 ? a ? 2) f(a) ?? ? 2 (a ? 2) ?1 ? 4a ?

∵f(a)= 故-

1 1 1 ,∴1-4a= ? a= ? [2,+∞ ) 2 2 8

1 a2 -2a-1= ,解得:a=-1,此时, 2 2 1 1 y=2(cosx+ )2+ ,当 cosx=1 时,即 x=2kπ ,k∈Z,ymax=5. 2 2
【例 8】求值:
2 sin 20? ? cos10? ? tan 20? ? sin 10? . csc 40? ? cot 80? cos10? cos20? ? sin 20? sin 10? cos20?

解:原式的分子 ? 2 sin 20? ?
? 2 sin 20? ? ?

cos10? sin 40? ? cos10? ? cos 20? cos 20?

sin 40? ? sin 80? 2 sin 60? cos 20? ? ? 3, cos 20? cos 20? 1 cos80? 2 cos 40? ? cos80? ? ? sin 40? sin 80? sin 80?

原式的分母=
? ?

cos 40? ? ?cos 40? ? cos80?? cos 40? ? 2 cos60? cos 20? ? sin 80? sin 80? cos 40? ? cos 20? 2 cos30? cos10? ? ? 3, sin 80? cos10?

所以,原式=1.
3 4 【例 9】已知 sin α ? cosβ ? , cos α ? sin β ? ,求 cos? sin ? 的值. 5 5

解 1:令 β ?

π ? γ ,则原题等价于: 2

3 4 已知 sin α ? sin γ ? , cosα ? cos γ ? ,求 cosα cosγ 的值. 5 5

5

两式分别和差化积并相除得: tan
α?γ? ? 1 ? ? tan ? 7 2 ? ? . cos?α ? γ ? ? ? 2 25 α?γ? ? 1 ? ? tan ? 2 ? ?
2

α?γ 3 ? ,所以 2 4

1 分别将已知两式平方并求和得: cos?α ? γ? ? ? , 2

所以, cosα cos γ ?

1 ?cos?α ? γ? ? cos?α ? γ?? ? ? 11 . 2 100

3 4 1 解 2:由 sin α ? cosβ ? , cos α ? sin β ? 平方相加得: sin?α ? β? ? ? . 5 5 2

上述两式平方相减得: cos 2β ? cos 2α ? 2 sin ?α ? β? ? ?

7 . 25 7 , 25

将上式前两项和差化积,得: 2 sin?α ? β?sin?α ? β? ? 2 sin?α ? β? ? ? 结合 sin?α ? β? ? ?
1 7 ,可解得: sin ?α ? β ? ? ? . 2 25 1 ?sin?α ? β? ? sin?α ? β?? ? ? 11 . 2 100

所以, cosα sin β ?

【例 10】已知函数 f ?x ? ?

m ? 2 sin x ? π? 在区间 ? 0, ? 上单调递减,试求实数 m 的取值范围. cos x ? 2?
? ? π? 2?

解:已知条件实际上给出了一个在区间 ? 0, ? 上恒成立的不等式. 任取 x1 , x2 ? ? 0, ? ,且 x1 ? x2 ,则不等式 f ?x1 ? ? f ?x2 ? 恒成立,
? ? π? 2?



化简得 m?cos x2 ? cos x1 ? ? 2 sin?x1 ? x2 ? 由 0 ? x1 ? x2 ? 所以 m ?
π 可知: cos x2 ? cos x1 ? 0 , 2

m ? 2 sin x1 m ? 2 sin x 2 恒成立. ? cos x1 cos x 2

2 sin ?x1 ? x2 ? cos x2 ? cos x1

上式恒成立的条件为: m ? ? ?

? 2 sin ?x1 ? x 2 ? ? ? π? ? 在区间 ? 0, ?上的最小值 . ? ? 2? ? cos x 2 ? cos x1 ?

2 sin ?x1 ? x 2 ? ? 由于 cos x 2 ? cos x1

4 sin

x1 ? x 2 x ? x2 x ? x2 cos 1 2 cos 1 2 2 2 ? x1 ? x 2 x1 ? x 2 x1 ? x 2 2 sin sin sin 2 2 2

x1 x2 ? ? x x x x ? ? 2? cos 1 cos 2 ? sin 1 sin 2 ? 2?1 ? t an t an ? 2 2 ? 2 2 2 2 ? ? ? ? ? x1 x2 x1 x2 x1 x2 t an ? t an sin cos ? cos sin 2 2 2 2 2 2
6

且当 0 ? x1 ? x2 ? 从而

x x x x π π 时, 0 ? 1 , 2 ? ,所以 0 ? tan 1 , tan 2 ? 1 , 2 2 4 2 2 2

x x ? ? x x ? ? x ?? x ? ? ?1 ? tan 1 tan 2 ? ? ? tan 1 ? tan 2 ? ? ?1 ? tan 1 ??1 ? tan 2 ? ? 0 , 2 2 ? ? 2 2 ? ? 2 ?? 2 ? ?
x x ? ? 2?1 ? t an 1 t an 2 ? 2 2 ? ? ? 2, x x t an 1 ? t an 2 2 2



故 m 的取值范围为 (??,2] . 【例 11】
△ABC中,a、b、c分别为角 A、B、C的对边,已知
3 3 ,求a ? b的值. 2

tanC = 3,c ?

7 , 2

又△ABC的面积为S△ ABC ?

解:∵ A+B+C=π ,
? tgC ? 3 ,? C ? 60° 由c ? 7 7 ,得 a 2 ? b 2 ? 2ab cos 60° ? ( ) 2. ?? ① 2 2

由S ABC ?

3 3 1 3 3 ,得 ab sin 60° ? . ???② 2 2 2

49 ? 2 2 , ③ ?a ? b ? ab ? 由①、②得方程组 ? 4 ?ab ? 6 ④ ?

③ ? ④×3得 (a ? b) 2 ?
∴a ? b ? 11 2

121 , 4

【例 12】在 ?ABC 中, a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,设 a ? c ? 2b ,求 ctg · ctg 的值 解:由条件, 2b ? a ? c ,依据正弦定理,得
2 sin ? A ? C ? ? sin A ? sin C 4 sin 2 · 2 R sin B ? 2 R ?sin A ? sin C ?

A 2

C 2

A?C A?C A?C A?C cos ? 2 sin cos 2 2 2 2

在 ?ABC中, sin ∴ cos
cos

A?C ?0 2

A?C A?C ? 2 cos 2 2

A C A C A C A C cos ? sin sin ? 2 cos cos ? 2 sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2
cos cos A C A C 2 2 ? 3; sin ? cos cos ∴ 2 2 2 2 A C sin 2 sin 2 A C

∴ 3 sin

即 ctg

A C ctg ? 3 2 2

三角函数的图象与性质
7

【例 1】试确定下列函数的定义域
tg ( x ? ) sin x 1 4 ⑴ y ? log2 ? 1 ;⑵ y ? sin x lg( 2 cos x ? 1)

?

解:⑴要使函数有意义,只须满足条件
1 ? ?log sin x ? 1 ? 0 ? ? 5? ? 1 ?0 解得: {x | 2k? ? x ? 2k? ? , k ? Z} ? {x | 2k? ? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z} ? sin x 6 6 ? ?sin x ? 0 ? ?

⑵要使函数有意义,只须满足条件
? ? ?tg ( x ? 4 )有意义 ? ?sin x ? 0 ? ?lg(2cosx - 1) ? 0 ? ? ?0 ? 2cosx - 1 ? 1

解得 {x | 2k? ? x ? 2k? ?

?
3

, k ? Z}

【例 2】求函数 y ?
3

sin 3x sin 3 x ? cos3x cos3 x cos2 2 x
3

? sin 2 x 的最小值

解:∵ sin 3x sin x ? cos 3x cos x
? ?sin 3x sin x ?sin 2 x ? ?cos3x cos x ? cos2 x ?

1 ?cos 2 x ? cos 4 x ?sin 2 x ? ?cos 2 x ? cos 4 x ?cos2 x 2 1 ? sin 2 x ? cos2 x cos 2 x ? cos2 x ? sin 2 x cos 4 x 2 1 ? ?cos 2 x ? cos 2 x cos 4 x ? 2 1 ? cos 2 x?1 ? cos 4 x ? ? cos3 2 x 2

? ??

?

?

?

? ?

?? ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 sin ? 2 x ? ? 4? cos 2 x ? ?? ? 当 sin? 2 x ? ? ? ?1时,y最小值 ? 2 4? ?
∴y?
cos3 2 x
2

【例 3】已知函数 f(x)=2asin x-2 3 asinxcosx+a+b-1, (a、b 为常数,a<0) ,它的定义 域为[0,
π ],值域为[-3,1],试求 a、b 的值。 2
2

2

解:f(x)=2asin x-2 3 asinxcosx+a+b-1 =a(1-cos2x)- 3 asin2x+a+b-1 =-2asin (2 x ? ) ? 2a ? b ? 1
π 6

8

? ? 7 1 π ≤2x+ ≤ π ∴ ? ≤ sin(2 x ? ) ≤1 6 2 6 6 6 ? ∵a<0 ∴a≤-2asin (2 x ? ) ≤ -2a 6 ? ∴3a+b-1≤-2asin (2 x ? ) +2a+b-1≤b-1 6
∵0≤x≤ ∴ ∵值域为[-3,1] ∴ ?
?b ? 1 ? 1 ?3a ? b ? 1 ? ?3

? 2

∴? ?

?

a??

?b ? 2 ?

4 3

? 【例 4】已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ?)( A ? 0, ? ? 0, | ? |? ) 的图象在 y 轴上的截距为 1,它在 2

y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为( x0 ,2 )和( x0 ? 3?,?2 ).
(1)求 f ( x) 的解析式;
1 (2)将 y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变) ,然后再将所得图象 3

向 x 轴正方向平移

? 个单位,得到函数 y=g(x)的图象.写出函数 y=g(x)的解析式并用列表 3

作图的方法画出 y=g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象. 解: (1)由已知,易得 A=2.

1 T ? ( x0 ? 3? ) ? x0 ? 3? ,解得 T ? 6? ,?? ? . 2 3
把(0,1)代入解析式 y ? 2 sin( ? ? ) ,得
x 3

2 sin? ? 1 .又 ? ?

?
2

,解得 ? ?

?
6

x ? .∴ y ? 2 sin( ? ) 为所求. 3 6

? (2)压缩后的函数解析式为 y ? 2 sin(x ? ) 再平移,
6

得 g ( x) ? 2 sin(x ?

x π π ? ) ? 2 sin(x ? ) 3 6 6 7? 6 5? 3 3? 2

x
x?

π 6

2? 3

7? 6

?
6

0

? 2

?
0

2?
0

2 sin(x ?

?
6

)

0

2

-2

【例 5】求函数 y ?

sin 2 x ? 3 sin x ? 3 的最值,并写出使函数 y 取得最值的 x 的集合。 2 ? sin x

解:令 u ? 2 ? sin x,则 1 ? u ? 3, ∴函数 y ?
u2 ? u ?1 1 ? u ? ?1 ? 2 ? 1 ? 1 u u

当且仅当 u ? 1 时, y 最小值 ? 1
9

? ? ? 函数 y 取得最小值的 x 的集合 ? x x ? 2k? ? ,k ? Z ? ? 2 ?

1 又函数 y ? u ? ? 1在u ? ?1, 3? 是单调递增的 u

证明如下: 1 ? u1 ? u2 ? 3
y1 ? y 2 ? u1 ? u ? u1 1 1 ? u2 ? ? ?u1 ? u 2 ? ? 2 u1 u2 u1u 2 ? ? ? ?

? 1 ? ?u1 ? u 2 ?? ?1 ? u u 1 2 ?

∵ u1 ? u2
0?

∴ u1 ? u2 ? 0

1 1 1 ? 1, 0? ? 1, 0? ?1 u1 u2 u1u2

∴ y1 ? y2 ? 0,即y1 ? y2 ,∴ y ? u ? ? 1在u ? ?1, 3? 是单调递增的 ∴当 u ? 3 时,函数 y最大值 ? 3 ? ? 1 ? 2
? ?

1 u

1 3

1 3
π 2 ? ?

函数 y 取得最大值的 x 的集合 ? x x ? 2kπ ? ,k ? Z ?
2 2 【例 6】 ?ABC 中,已知三内角 A、B、C 依次成等差数列,求 cos A ? cos C 的取值范围。

解:由已知得 B ? 60?,A ? C ? 120?
cos2 A ? cos2 C ? 1 ? cos 2 A 1 ? cos 2C 1 ? ? ?cos 2 A ? cos 2C ? ? 1 2 2 2 1 cos? A ? C ? 2

? cos? A ? C ? cos? A ? C ? ? 1 ? 1 ?
? ?120? ? A ? C ? 120?, ?? ? 1 1 5 ? 1 ? cos? A ? C ? ? 2 2 4

1 ? cos? A ? C ? ? 1 2

即 cos2 A ? cos2 C 的取值范围为 ? , ? 【例 7】已知 ? ? 0,? ? 0,且? ? ? ?
y?
2? ,问当 ?、? 分别取何值时, 3

?1 5 ? ?2 4 ?

1 ? cos?π ? α ? 1 ? sin 2β 取最大值,并求出此最大值。 α α 2 cot ? tan 2 2

解: y ?

1 1 1 ? cos 2? 1 ? sin 2 ? ? sin ? · cos? ? sin 2? ? ?sin 2? ? sin 2? ? 1 ? cos? 1 ? cos? 2 2 2 ? sin ? sin ? 1 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? 2 3
10

? cos?? ? ? ? sin?? ? ? ? ? cos

2? , 3 2? 2? 2? 2? ?0 ? ? ? , 0?? ? , ? ?? ? ? ? 3 3 3 3 ? ? ? 0,? ? 0,且? ? ? ?

2? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? 3 12 此时,由 ? 解得 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 7? ? ? 12 2 ? ?

【例 8】在Δ ABC 中,求 sin 2 并说明理由. 解:令 y ? sin 2
?

A B C ? sin 2 ? sin 2 的最小值.并指出取最小值时Δ ABC 的形状, 2 2 2

A B C 1 ? cos A 1 ? cos B 1 ? cosC ? sin 2 ? sin 2 ? ? ? 2 2 2 2 2 2

3 1 3 1 A?C A?C B ? (cos A ? cos B ? cosC ) ? ? (2 cos cos ? 1 ? 2 sin 2 ) 2 2 2 2 2 2 2
A?C ? B A?C B ? sin ? ? ,∴ cos 2 2 2 2 2

∵在Δ ABC 中, 又 cos ∴y?
A?C ?1. 2

3 1 B B B B B 1 3 ? (2 sin ? 1 ? 2 sin 2 ) ? sin 2 ? sin ? 1 ? (sin ? ) 2 ? 2 2 2 2 2 2 2 2 4

A?C ? cos ?1 ? 3 ? 2 当? 时,y 取得最小值 ; 4 ?sin B ? 1 ? 2 2 ?

由 cos

B 1 B A?C ? 1 知 A=C,由 sin ? 知 ? 30? ,B=60°; 2 2 2 2

故 A=B=C=60°, 即 y 取最小值
3 时,Δ ABC 的形状为等边三角形. 4

【例 9】已知函数 f(x)=2cosxsin(x+ (1)求函数 f(x)的最小正周期;

? 2 )- 3 sin x+sinxcosx 3

(2)求 f(x)的最小值及取得最小值时相应的 x 的值; (3)若当 x∈[
7π π -1 --1 , ]时,f(x)的反函数为 f (x),求 f (1)的值. 12 12

解:(1)f(x)=2cosxsin(x+

? 2 )- 3 sin x+sinxcosx 3 ? ? 2 =2cosx(sinxcos +cosxsin )- 3 sin x+sinxcosx 3 3 ? =2sinxcosx+ 3 cos2x=2sin(2x+ ) 3
11

∴f(x)的最小正周期 T=π (2)当 2x+

? 5π π =2kπ - ,即 x=kπ - (k∈Z)时,f(x)取得最小值-2. 3 12 2

(3)令 2sin(2x+ ∴2x+
π 4

? π 7π )=1,又 x∈[ , ], 2 2 3

π π 3π π 5π ∈[ , ],∴2x+ = ,则 3 3 2 3 6
π 4

x= ,故 f--1(1)= .
【例 10】已知α 、β 为锐角,且 x(α +β - 对一切非零实数都成立. 证明:若 x>0,则α +β > ∵α 、β 为锐角,∴0< ∴0<sin(
π cosβ x cos α x )>0,试证不等式 f(x)= ( ) ?( ) <2 sin β sin α 2

? , 2

π π π π -α <β < ;0< -β < , 2 2 2 2

? π -α )<sinβ .0<sin( -β )<sinα , 2 2

∴0<cosα <sinβ ,0<cosβ <sinα , ∴0<

cos ? cos α <1,0< <1, sin β sin ?

∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,∴f(x)<f(0)=2. 若 x<0,α +β <
π , 2

∵α 、β 为锐角,0<β <

? π π π π -α < ,0<α < -β < ,0<sinβ <sin( -α ), 2 2 2 2 2
cos β π cos α -β ),∴sinα <cosβ ,∴ >1, >1, sin β sin α 2

∴sinβ <cosα ,0<sinα <sin(

∵f(x)在(-∞,0)上单调递增,∴f(x)<f(0)=2,∴结论成立. 【例 11】设 z1=m+(2-m )i,z2=cosθ +(λ +sinθ )i,其中 m,λ ,θ ∈R,已知 z1=2z2,求λ 的 取值范围. 解法一:∵z1=2z2,
2

?m ? 2 cos? 2 ∴m+(2-m )i=2cosθ +(2λ +2sinθ )i,∴ ? 2 ?2 ? m ? 2? ? 2 sin?
∴λ =1-2cos θ -sinθ =2sin θ -sinθ -1=2(sinθ - 当 sinθ =
2 2

1 2 9 )- . 4 8

1 9 时λ 取最小值- ,当 sinθ =-1 时,λ 取最大值 2. 4 8
12

解法二:∵z1=2z2 ∴ ?

? ?m ? 2 cos θ 2 ? ?2 ? m ? 2λ ? 2 sin θ

m ? cos θ ? ? 2 ? ∴? , 2 ?sin θ ? 2 ? m ? 2λ ? 2 ?



m 2 (2 ? m 2 ? 2λ) 2 =1. ? 4 4
4 2 2 2

∴m -(3-4λ )m +4λ -8λ =0,设 t=m ,则 0≤t≤4,
?? ? 0 ? ?0 ? 3 ? 4λ ? 4 ? 2 2 令 f(t)=t -(3-4λ )t+4λ -8λ ,则 ? 或 f(0)·f(4)≤0 2 ? f ( 0) ? 0 ? ? ? f ( 4) ? 0

9 ? ?λ ? ? 8 ? 3 ? 5 ∴ ? ? ? λ ? 或0 ? λ ? 2 4 4 ? ?λ ? 2或λ ? 0 ? ?

9 ≤λ ≤0 或 0≤λ ≤2. 8 9 ∴λ 的取值范围是[- ,2]. 8
∴- 【例 12】 如右图, 一滑雪运动员自 h=50m 高处 A 点滑至 O 点, 由于运动员的技巧(不计阻力), 在 O 点保持速率 v0 不为,并以倾角θ 起跳,落至 B 点,令 OB=L,试问,α =30°时,L 的最 大值为多少?当 L 取最大值时,θ 为多大? 解:由已知条件列出从 O 点飞出后的运动方程:

?S ? L cos? ? v0 t cos? ? ? 1 ? h ? ? L sin? ? v0 4 sin? ? gt 2 ? 2 ?
由①②整理得:v0cosθ =

① ②

L cos α ? L sin α 1 , v0 sin θ ? ? gt. t t 2

∴v0 +gLsinα =

2

1 2 2 L2 1 L2 g t + 2 ≥ 2 g 2 t 2 ? 2 =gL 4 4 t t
1 2 mv0 , 2

运动员从 A 点滑至 O 点,机械守恒有:mgh=

13

∴v0 =2gh,∴L≤

2

v0 2 2 gh =200(m) ? g (1 ? sin α) g (1 ? sin α)

即 Lmax=200(m),又

1 2 2 S 2 ? h 2 L2 gt= ? 2 . 4 t2 t

∴t ?

2L 2L , S ? L cos α ? v 0 t cos α ? 2 gh ? cos θ g g

得 cosθ =cosα ,∴θ =α =30°∴L 最大值为 200 米,当 L 最大时,起跳仰角为 30°. 【例 13】如下图,某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数:

y=Asin(ω x+φ )+b;(1)求这段时间的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.

解:(1)由图示,这段时间的最大温差是 30-10=20(℃); (2)图中从 6 时到 14 时的图象是函数 y=Asin(ω x+φ )+b 的半个周期的图象.

1 1 1 2? π =14 - 6, 解 得 ω = , 由 图 示 A= (30 - 10)=10 , b= (30+10)=20 , 这 时 ? 8 2 2 2 ? 3 ? y=10sin( x+ φ )+20, 将 x=6,y=10 代 入 上 式 可取 φ = π . 综 上 所 求 的 解 析式为 4 8 ? y=10sin( x+ 8 3 π )+20,x∈[6,14]. 4
∴ 【例 14】已知函数 f ?x ? ? sin? x ? ? ? sin? x ? ? ? a cos x ? b ( a, b ? R ,且均为常数) ,
? ? ? π? 6? ? π? 6?

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)若 f ? x ? 在区间 ?? ,0? 上单调递增,且恰好能够取到 f ?x? 的最小值 2,试求 a, b 的值.
? π ? ? 3 ?

解:研究三角函数的性质(如周期、最值、单调性、奇偶性等)时,首先应该对所给的函数 关系式进行化简,最好化为一个角(形如 wx ? ? ) 、一种三角函数的形式. (1) f ?x ? ? sin? x ? ? ? sin? x ? ? ? a cos x ? b
? ? ? π? 6? ? π? 6?

π ? 2 sin x cos ? a cos x ? b 6
14

? 3 sin x ? a cos x ? b ? a 2 ? 3 sin ?x ? θ ? ? b

(其中 ? 由下面的两式所确定: sin θ ? 所以,函数 f ? x ? 的最小正周期为 2π .

a a ?3
2

, cosθ ?

3 a ?3
2



(2) 由(1)可知: f ?x? 的最小值为 ? a 2 ? 3 ? b ,所以, ? a 2 ? 3 ? b ? 2 . 另外,由 f ? x ? 在区间 ?? ,0? 上单调递增,可知: f ?x? 在区间 ?? ,0? 上的最小值为 3 3
? π ? ? ? ? π ? ? ? ? π? ? π? f ? ? ? ,所以, f ? ? ? = ? a 2 ? 3 ? b ? 2 . ? 3? ? 3?

解之得: a ? ?1, b ? 2 【例 15】设 x ? R ,试比较 f ?x? = coscosx 与 g ?x? = sin sin x 的大小关系. 解:观察所给的两个函数,它们均是两个三角函数的复合函数,因此,我们不难想到:它们 可能仍然具备三角函数的某些性质,如单调性、周期性、奇偶性等. 初步判断便可以确定: f ?x? 、 g ?x? 都是周期函数,且最小正周期分别为 π 、 2π .所以, 只需考虑 x ? ??π, π? 的情形. 另外,由于 f ?x? 为偶函数, g ?x? 为奇函数,所以,很自然的可以联想到:能否把需考 虑的 x 的范围继续缩小? 事实上,当 x ? ?? π,0? 时, f ?x? >0, g ?x? ? 0 恒成立,此时, f ?x? > g ?x? . 下面,我们只需考虑 x ? ?0, π? 的情形. 如果我们把 f ? x ? 看作是关于 cos x 的余弦函数,把 g ? x ? 看作是关于 sin x 的正弦函数, 那么这两个函数既不同名,自变量也不相同,为了能进行比较,我们可以作如下恒等变 换,使之成为同名函数,以期利用三角函数的单调性.
?π ? sin sin x ? cos? ? sin x ? ?2 ?

至此为止,可以看出:由于

π (即 ? sin x 和 cos x 同属于余弦函数的一个单调区间, 2

π π ,所以,只需比较 ? sin x 与 cos x 的大小即可. ? sin x , cos x ? ?0, π? ) 2 2

事实上, (
π π? π π π ? ? sin x )— cos x = ? sin x — cos x = ? 2 sin? x ? ? ? ? 2 ? 0 2 4? 2 2 2 ?

15

所以,利用余弦函数在 ?0, π? 上单调递减,可得:
sin sin x < coscosx .也即 g ?x? < f ?x?

综上, g ?x? < f ?x? . 点评:本题好在充分地运用了正余弦函数的值域、周期性、奇偶性、单调性等性质,对 于训练学生思维、 加深对这些性质的理解、 以及学习利用函数的性质去解决问题有很大 的帮助.是一道很有训练价值的好题. 六、专题练习 【两角和与差的三角函数练习 1】 一、选择题
π π α?β 2 1.已知方程 x +4ax+3a+1=0(a>1)的两根均 tanα 、 tanβ , 且α , β ∈(- , ), 则 tan 2 2 2

的值是

( B.-2 C.

)

1 2 二、填空题
A. 2.已知 sinα =

4 3

D.

1 或-2 2

3 1 ? ,α ∈( ,π ),tan(π -β )= ,则 tan(α -2β )=_________. 5 2 2 3 ? 3? 3? 5 ? ? 3. 设 α ∈ ( , ) , β ∈ (0 , ) , cos( α - )= , sin( + β )= ,则 sin( α + 5 4 4 4 13 4 4 β )=_________. 三、解答题
4.不查表求值:

2 sin130? ? sin100?(1 ? 3 tan 370?) 1 ? cos10?

.

5.已知 cos(

3 sin 2 x ? 2 sin 2 x 17? 7? ? +x)= ,( <x< ),求 的值. 1 ? tan x 5 12 4 4

6.已知α -β =

8 1 ? cos(π ? α) π β π ,且α ≠kπ (k∈Z).求 ? 4 sin 2 ( ? ) 的最大值及最大值时 α α 4 4 3 csc ? sin
2 2

的条件.

16

7.如右图,扇形 OAB 的半径为 1,中心角 60°,四边形 PQRS 是扇形 的内接矩形,当其面积最大时,求点 P 的位置,并求此最大面积.

8.已知 cosα +sinβ = 3 ,sinα +cosβ 的取值范围是 D,x∈D,求函数 y= log 1
2

2x ? 3 的 4 x ? 10

最小值,并求取得最小值时 x 的值.

【参考答案】 一、选择题 1.解析:∵a>1,tanα +tanβ =-4a<0. tanα +tanβ =3a+1>0,又α 、 β ∈(-

? ? ? π α?β , )∴α 、 β ∈(- ,θ ),则 ∈(- ,0), 2 2 2 2 2
2 tan

??? tan ? ? tan ? ? 4a 4 4 2 ? ? , 又 tan(? ? ?) ? ? , 又 tan(α +β )= ? ? ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? (3a ? 1) 3 3 1 ? tan 2 2
整理得 2tan 答案:B 二、填空题 2.解析:∵sinα = 则 tanα =-
2

α?β α?β α?β ? 3 tan ?2 =0.解得 tan =-2. 2 2 2

3 π 4 ,α ∈( ,π ),∴cosα =- 2 5 5

1 3 1 ,又 tan(π -β )= 可得 tanβ =- , 4 2 2

1 2 ? (? ) 2 ?? 4. t an 2β ? ? 2 1 3 1 ? t an β 1 ? (? ) 2 2 3 4 ? ? (? ) t an α ? t an2 β 7 4 3 t an(α ? 2β) ? ? ? 3 4 1 ? t an α ? t an 2β 24 1 ? (? ) ? (? ) 4 3 2 t anβ

答案:

7 24

π 3π π π π 3 3.解析:α ∈( , ),α - ∈(0, ),又 cos(α - )= . 4 2 4 4 4 5

17

π 4 π 3π 3π 3π 5 3π 12 ? sin(α ? ) ? , β ? (0, ).? ? β ? ( , π).sin( ? β) ? ,? cos( ? β) ? ? . 4 5 4 4 4 4 13 4 13 π 3π π ? sin(α ? β) ? sin[(α ? ) ? ( ? β) ? ] 4 4 2 π 3π ? ? cos[(α ? ) ? ( ? β)] 4 4 π 3π π 3π 3 12 4 5 56 ? ? cos(α ? ) ? cos( ? β) ? sin(α ? ) ? sin( ? β) ? ? ? ( ? ) ? ? ? . 4 4 4 4 5 13 5 13 65 56 即 sin(α ? β) ? 65

答案:

56 65

三、解答题 4.答案:2
π 3 π 7 5.解 : ? cos( ? x) ? ,? sin 2 x ? ? cos 2( ? x) ? . 4 5 4 25 17π 7 5π π π 4 又 ? x ? π,? ? x ? ? 2 π,? sin( x ? ) ? ? 12 4 3 4 4 5 2 2 sin 2 x ? 2 sin x 2 sin x cos x ? 2 sin x 2 sin x(sin x ? cos x) cos x ? ? sin x 1 ? tan x cos x ? sin x 1? cos x 7 4 π ? (? ) sin 2 x sin( ? x) 28 25 5 4 ? ? ? π 3 75 cos( ? x) 4 5

1 ? cos(π ? α) π β ? 4 sin 2 ( ? ) α α 4 4 csc ? sin 2 2 α π β α α sin (1 ? cos α) 1 ? cos( ? ) sin ? 2 cos2 2 2 2 2 2 ? 4( 1 ? 1 sin β ) ? ?4 ? α α 2 2 2 2 1 ? sin 2 cos2 2 2 β α?β α ?β α ? 2(sin ? sin ) ? 2 ? 4 sin cos ?2 2 2 2 2 8 2α ? π α ?β 8 3 ? α ? 2π . ? α ? β ? π ,? ? 3 4 4 2 3 α 2 1 α 2π ? t ? 4 sin( ? π) ? (? ) ? 2 ? ?2 sin( ? ) ? 2 2 3 2 2 3 6.解 : 令t ?

?? ? k? (k∈Z),?
∴当

? 2 k? 2? (k∈Z) ? ?? ? 2 3 2 3

α 2π π π α 2 ? ? 2kπ ? , 即 α ? 4kπ ? (k∈Z)时, sin( ? π) 的最小值为-1. 2 3 2 3 2 3

7.解:以 OA 为 x 轴.O 为原点,建立平面直角坐标系,并设 P 的坐标为(cosθ ,sinθ ), 则|PS|=sinθ .直线 OB 的方程为 y= 3 x,直线 PQ 的方程为 y=sinθ .联立解之得

Q(

3 3 sinθ ;sinθ ),所以|PQ|=cosθ - sinθ . 3 3
18

于是 SPQRS=sinθ (cosθ - = = = =

3 sinθ ) 3

3 2 ( 3 sinθ cosθ -sin θ ) 3 3 3 1 ? cos 2θ ( sin2θ - ) 3 2 2

1 1 3 3 ( sin2θ + cos2θ - ) 3 2 2 2

? 3 3 sin(2θ + )- . 3 6 6
5 1 ? ? ? ? ,∴ <2θ + < π .∴ <sin(2θ + )≤1. 6 2 3 6 6 6

∵0<θ <

3 ? )=1 时,PQRS 面积最大,且最大面积是 , 6 6 3 1 ? 此时,θ = ,点 P 为 的中点,P( , ). 2 2 6
∴sin(2θ + 8.解: 设 u=sinα +cosβ .则 u +( 3 ) =(sinα +cosβ ) +(cosα +sinβ ) =2+2sin(α +β ) ≤ 4. ∴ u ≤ 1, - 1 ≤ u ≤ 1. 即 D= [- 1,1 ] , 设 t= 2 x ? 3 , ∵- 1 ≤ x ≤ 1, ∴ 1 ≤ t ≤
2 2 2 2 2

5 .x=
?M ?

t2 ? 3 . 2
2x ? 3 t 1 1 2 ? 2 ? ? ? . 4 4 2 4 x ? 10 2t ? 4 8 2t ? t 4 2 , 即t ? 2时, M max ? .? y ? log 0.5 M在M ? 0时是减函数 , t 8 2 5 1 ? log 0.5 2 ? log 0.5 8 ? 时, 此时 t ? 2 , 2 x ? 3 ? 2 , x ? ? . 8 2 2

当且仅当 2t ?

? y min ? log 0.5

【两角和与差的三角函数练习 2】 一、选择题 1.下列各三角函数式中,值为正数的是

( C (D) ctg



? ? ? ' (A) sin(? ) (B) c (C) t o s g ( ? ) 2 5 0 6 9 01 0 4 2. ? 是第四象限的角,则下列三角函数的值为正的是 o s ? (A) sin? (B) c (C) tg?
3.cos (? (A)
14? 的值为 ) 3

11? 3
( B )

(D) ctg? ( B )

1 2

(B) ?

1 2

(C)

3 2

(D) ?

3 2

4.已知 sin?= ? (A) ?2

? 4 , ? 是第三象限角,则 t g = 5 2
(C) ? 1
2

( C (D) ?



(C)-2

1 2

19

5.若 sin ? = (A)
12 25

4 ,且 ? 为锐角,则 s in2 ?的值等于 5

( B
12 25



(B)

24 25

(C) ?

(D) ?

24 25

? 6.若 ? = 20? ,?? 25 ,则 (1 ? tg? )(1 ? tg? ) 的值为

( B (D) 1 ? 3 ( C



(A)1

(B)2

(C) 1? 2

3 5 7.已知 x ? ( ? , ? ) ,则 1 ? sin x ? 2 2



x ? x ? x ? x ? (A) 2 sin( ? ) (B) ? 2 sin( ? ) (C) 2 sin( ? ) (D) ? 2 sin( ? ) 2 4 2 4 2 4 2 4

6 ? ? ? ? 8.? = s ,则成立的是 ? c o s , b ? ? c ? s i n ? c o s i n 1 4 1 4 1 6 1 6 2 (A)a<b<c (B)a>b>c (C)a<c<b
9. 函数 y ? sin x ? cos x 的定义域是 A. ?
5? ?? ? ? 2k?, ? 2k? ??k ? Z ? 4 4 ? ? ?4 ?

( D (D)c<a<b



( B )
5? ?? ? B. ? ? 2k?, ? 2k? ? ?k ? Z ? ?4 4 ?

?? C. ? ? 2k?, ?2k ? 1?? ? ? ?k ? Z ?

? ?? ? D. ? ? k?, ? k? ? ?k ? Z ?
?4 2 ?

10. 已知 ? 是第一象限角, 且 sin (A)第一象限角
?

α α α ? cos , 则 是 2 2 2

( C



(B)第二象限角 (C)第三象限角 (D)第二象限角 3? ? ? 11. 若 ? , ? ? ? 2k? ? ? ,2k? ? ?, k ? Z , 且? ? ?, 则下列关系正确的是 ( B
2 ?



(A) s i n ? ? s i n ? (B) s i n ? ? s i n ?
? ? π 6 ? ?

(C) s i n ? ?s i n ?

(D)不正确 ( D )

12.函数 y ? lg? 3 ? 2 sin( ? 2 x)? 的单调递减区间是 (A) ?kπ ?
? ? π 3π ? , kπ ? ?(k ? z ) 3 4?

(B) ?kπ ? , kπ ? ?(k ? z ) 4 3
? ?

?

π

π?

(C) ?kπ ?

? ?

π , kπ ? 3

3π ? (k ? z ) 4 ?

?

π ? (D) ? kπ ? , kπ ? 4 ?

π? (k ? z ) 3? ?

3 i n??c o s?? i nc ? o s ? ? 1 15. 下面三条结论: ①存在实数 ? , 使s 成立; ②存在实数 ? , 使s 2
i n ? s i n ? ? 0 ,其中正确结论的个数为 成立; ③若 cos?cos?=0, 则s
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 ( B (D)[ ? 3 ,2] ) ( A )

? 3 s i n x ? c o s x ( x ? [ 0 , ? ] ) 16.函数 y 的值域是
(A)[-2,2] (B)[-1,2] (C)[-1,1]

20

17.函数 y ? (A)2

2 2 的最大值为 s i n x ? c o s x 2 2
(B) 2 (C)

( D



2 2

(D)1 ( D )

19.设 ? , ? 都是锐角,且 ? ? ? ?
1 1 (A) (? , ) 2 2

2 ? ,则 c o s ( ??? )的取值范围是 3
(C) (
3 ,1) 2

(B)[

1 ,1] 2

1 (D) (? ,1] 2

1 20.若 s 则 ? ? ? 的值为 i n ? ? s i n ? ?( c o s ? ? c o s ? ) ,, ? ? ? ( 0 ,) ? , 3 2 1 1 2 (A) ? ? (B) ? ? (C) ? (D) ? 3 3 3 3
21.若 cos θ ? A.
4 θ ,sin ? <0,则 tg 等于 5 2

( D



( C ) C. ?
1 3

1 4

B.3

D.

1 3

22.sin50°(1+ 3tg10 °)的值是 A.1 三、解答题 1、已知 cos? ? sin ? ?
sin 2? ? 2 sin 2 ? 3 2 3? ,求 的值 ,且? ? ? ? 1 ? tg? 5 2

( A ) C. 2 D. 3

B.2

解:原式=

sin 2? cos? ? 2 sin 2 ? cos? sin 2? ?cos? ? sin ? ? = cos? ? sin ? cos? ? sin ?
3 2 18 ,上式两边平方,得: 1 ? sin 2α ? 5 25

∵ cosα ? sin α ? ∴ sin 2? ?

7 3? ;又∵ ? ? ? ? 2 25

∴ cos? ? 0, sin? ? 0, cos? ? sin? ? 0 ∴ ?cos? ? sin ? ?2 ? ?cos? ? sin ? ?2 ? 4 sin ? cos? ? ?cos? ? sin ? ?2 ? 2 sin 2? ?
7 ? 4 2? ? ? ?? 25 ? 5 ? 4 2 28 ? ? ∴ cos? ? sin ? ? ? ,∴原式 ? ?? 5 75 3 2 5

32 25

2、在 ?ABC 中,已知三边 a、b、c 满足 a cos A ? b cos B ? c cos C 试判定三角形的形状。 解一:由条件 a ·
b2 ? c2 ? a2 a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 ?b · ?c · 2bc 2ac 2ab

展开,消 a 2 b 2 ? c 2 ? a 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? b 2 ? c 2 a 2 ? b 2 ? c 2

?

?

?

?

?

?

21

?a ?a

a 4 ? 2a 2 b 2 ? b 4 ? c 4
2 2

? b2
2

?

2

? c4 ? 0

? b2 ? c2 a2 ? b2 ? c2 ? 0
2 2 2 2

??

?

b ? a ? c 或a ? b ? c

2

∴?ABC 为 Rt? (A 为直角或 B 为直角) 解二: 2R sin A cos A ? 2R sin B cos B ? 2R sin C cosC
sin 2 A ? sin 2B ? 2 sin C cosC 2 sin ? A ? B ?cos? A ? B ? ? 2 sin C cosC

cos? A ? B ? ? cosC cos?B ? A? ? cosC A? B ?C 2A ? ? B?A?C B ? A?C 2B ? ? A? B?C

∴ A?

?
2

B?

?
2

∴A?

?
2

或B ?

?
2

∴为 Rt?

sin ?? ?? ? ? 2 · cos? 30? ? ? · 3.求值: sin ? 60? ? ? 3 2 2 ? ? ? ? sin ? 2 sin 1? 1? · 2 解:原式= ? cos? ? ? 3? 2? 2? sin 2

?

?

sin cos 1? 1? 2 2 ? 1 ?2 cos? ? 1· ? sin ? ? ? cos? ? ? · 3? ? 4 2? 2? sin 2? ? sin ? sin cos 2 2 1 sin ? 1 ? ? ?2 cos? ? 1· ? 4 sin ? ?2 cos? ? 1? 4

?

?

4.设△ABC 的三边为 a,b,c 其所对角为 A,B,C 如果 a,b,c 依次成等差数列. ⑴求证: cos
A?C B cos A ? cosc 4 ? 2 sin ;⑵求证: ? 2 2 1 ? cos A cosC 5

解:⑴? a ? b ? c 成等差数列,? a ? b ? 2b ? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin c 又 ? sin A ? sin C ? 2 sin B
2 sin A?C A?C B B cos ? 4 sin cos 2 2 2 2

又∵
? cos

B A?C A?C B ? 90 °- , ? sin ? cos ? 0 2 2 2 2
A?C B ? 2 sin 2 2

A?C A?C 2 cos cos cos A ? cos C 2 2 ⑵ = 1 ? cos A ? cos C 1 ? 1 [cos(A ? C ) ? COS ( A ? C )] 2
22

A?C A?C A?C A?C cos 2 cos cos 2 2 2 2 = = 1 2 A?C 2 A?C 2 A?C 2 A?C 1 ? [2 cos ? 1 ? 2 cos ? 1] cos ? cos 2 2 2 2 2 2 cos

A?C B A?C B ? 2 sin , cos ? sin 2 2 2 2 B B 2 sin ? 2 sin 4 2 2 ? 原式 ? ? B B 5 (sin ) 2 ? (2 sin ) 2 2 2 ? cos

⑵另略解,不妨设 a=b-d,c=b+d,由余弦定理,得
cos A=?=
b ? 4d b ? 4d , cos B ? ? ? 2(b ? d ) 2(b ? d )

b ? 4d b ? 4d ? 4(b 2 ? 4d 2 ) 4 2(b ? d ) 2(b ? d ) ? 原式 ? ??? ? b ? 4d b ? 4d 5(b 2 ? 4d 2 ) 5 1? ? 2(b ? d ) 2(b ? d )

(? a ? b ? c,? b ? 2d ,? b ? 4d ? 0 )
2 2

5.在 ?ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,设 a ? c ? 2b,A ? C ? 值。 解:由条件和正弦定理 a ? c ? 2b
sin A ? sin C ? 2 sin B ,∴ 2 sin

?
3

,求 s in B 的

A?C A?C cos ? 2 sin B 2 2

∵ A? B ?C ?? 又 A?C ? ∵0? ∴ sin
?

A?C ? B A?C B ? ? ,∴ sin ? cos 2 2 2 2 2

3 B B B B 3 2 · cos · ? 2 sin B ; cos ? 2 sin cos 3 2 2 2 2 2 2

B ? B ? , cos ? 0 2 2 2

B 3 B B 3 13 ? cos ? 1 ? sin 2 ? 1? ? 2 4 2 2 16 4
B B 3 13 39 cos ? 2 ? ? ? 2 2 4 4 8

∴ sin B ? 2 sin

6.在Δ ABC 中,已知 sin A ? cos2

C A 3 A-C B - 2sin 的值. ? sin C ? cos2 ? sin B , 求cos 2 2 2 2 2

1 ? cos 1 ? cos A 证明:由题设有 sinA · + sinC · = sinB 2 2

∴sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB. ∴sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB.
∵ A + B + C =π , ∴sin(A + C) = sinB,sin A+C B = cos . 2 2

∴sinA+sinC=2sinB.
23

∴ 2sin ∴ cos

A+C A-C B B cos = 4sin cos . 2 2 2 2

B A-C B B ∴ cos cos = 2sin cos . 2 2 2 2

A-C B A-C B = 2sin . ∴ cos - 2sin = 0. 2 2 2 2

【三角函数的图象与性质练习 1】 一、选择题 1.函数 y=-x·cosx 的部分图象是 ( )

2.函数 f(x)=cos2x+sin( A.非奇非偶函数

? +x)是 2
B.仅有最小值的奇函数 D.既有最大值又有最小值的偶函数

(

)

C.仅有最大值的偶函数 二、填空题 3.函数 f(x)=(

1 |cosx| ) 在[-π ,π ]上的单调减区间为_________. 3

4. 设ω >0, 若函数 f(x)=2sinω x 在 [- 三、解答题

? ?

] 上单调递增, 则ω 的取值范围是_________. , , 3 4

5. 设二次函数 f(x)=x +bx+c(b,c∈R),已知不论α 、 β 为何实数恒有 f(sinα )≥0 和 f(2+cos β )≤0。 (1)求证:b+c=-1;(2)求证 c≥3;(3)若函数 f(sinα )的最大值为 8,求 b,c 的值.

2

6.用一块长为 a,宽为 b(a>b)的矩形木板,在二面角为α 的墙角处围出一个直三棱柱的谷 仓,试问应怎样围才能使谷仓的容积最大?并求出谷仓容积的最大值.

24

7.有一块半径为 R,中心角为 45°的扇形铁皮材料,为了获取面积最大的矩形铁皮,工人 师傅常让矩形的一边在扇形的半径上,然后作其最大内接矩形,试问:工人师傅是怎样选择 矩形的四点的?并求出最大面积值.

8.设-

? ? ≤x≤ ,求函数 y=log2(1+sinx)+log2(1-sinx)的最大值和最小值. 6 4

3 π 5 2 9.是否存在实数 a,使得函数 y=sin x+a·cosx+ a- 在闭区间[0, ]上的最大值是 2 2 8

1?若存在,求出对应的 a 值;若不存在,试说明理由.

【参考答案】 一、选择题 1.解析:函数 y=-xcosx 是奇函数,图象不可能是 A 和 C,又当 x∈(0, 答案:D 2.解析:f(x)=cos2x+sin( =2[(cosx+ 答案:D 二、填空题
1 2 2 )2 ?

? )时,y<0. 2

? 2 +x)=2cos x-1+cosx 2

1 ]-1. 8

25

3.解:在[-π ,π ]上,y=|cosx|的单调递增区间是[- 依|cosx|取值的递增而递减,故[- 4.解:由-

π π ,0]及[ ,π ].而 f(x) 2 2

? ? ,0]及[ ,π ]为 f(x)的递减区间. 2 2

π π π π ≤ω x≤ ,得 f(x)的递增区间为[- , ] ,由题设得 2 2 2ω 2ω

? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 3 3 ? 2? 3 [? , ] ? [? , ],? ? 解得 : ? ? ,? 0 ? ? ? . ? ? 3 4 2? 2? 2 2 ? ? ? 2? 4 ?
三、解答题 5.解:(1)∵-1≤sinα ≤1 且 f(sinα )≥0 恒成立,∴f(1)≥0 ∵1≤2+cosβ ≤3,且 f(2+cosβ )≤0 恒成立.∴f(1)≤0. 从而知 f(1)=0∴b+c+1=0. (2)由 f(2+cosβ )≤0,知 f(3)≤0,∴9+3b+c≤0.又因为 b+c=-1,∴c≥3. (3)∵f(sinα )=sin α +(-1-c)sinα +c=(sinα -
2

1? c 2 1? c 2 ) +c-( ( )), 2 2

?1 ? b ? c ? 8 当 sinα =-1 时, [f(sinα )]max=8,由 ? 解得 b=-4,c=3. ?1 ? b ? c ? 0
6.解:如图,设矩形木板的长边 AB 着地,并设 OA=x,OB=y,则 a =x +y -2xycosα ≥ 2xy-2xycosα =2xy(1-cosα ).
2 2 2

∵0<α <π ,∴1-cosα >0,∴xy≤

a2 (当且仅当 x=y 时取“=”号),故此时 2(1 ? cos α)

谷仓的容积的最大值 V1=(

1 a 2 b sin α 1 α ? a 2 b cos .同理, xysinα )b= 若木板短边着地 4(1 ? cos α) 4 2 2
1 2 ? ab cos , 4 2

时,谷仓的容积 V 的最大值 V2= ∵a>b,∴V1>V2

从而当木板的长边着地, 并且谷仓的底面是以 a 为底边的等腰三角形时, 谷仓的容积最 大,其最大值为
1 2 α a bcos . 2 4
26

7.解:如下图,扇形 AOB 的内接矩形是 MNPQ,连 OP,则 OP=R,设∠AOP=θ ,则 ∠QOP=45°-θ ,NP=Rsinθ ,在△PQO 中,
PQ R , ? sin(45? ? θ) sin 135?
2

∴PQ= 2 Rsin(45°-θ ).S 矩形 MNPQ=QP·NP= 2 R sinθ sin(45°-θ ) =
2 2 2 2 ?1 2 R· [cos(2θ -45°)- ]≤ R, 2 2 2

当且仅当 cos(2θ -45°)=1,即θ =22.5°时,

S 矩形 MNPQ 的值最大且最大值为

2 ?1 2 R. 2

工人师傅是这样选点的,记扇形为 AOB,以扇形一半径 OA 为一边,在扇形上作角 AOP 且使∠AOP=22.5°,P 为边与扇形弧的交点,自 P 作 PN⊥OA 于 N,PQ∥OA 交 OB 于 Q, 并作 OM⊥OA 于 M,则矩形 MNPQ 为面积最大的矩形,面积最大值为 8.解:∵在[-
π π , ]上,1+sinx>0 和 1-sinx>0 恒成立, 6 4
2 2

2 ?1 2 R. 2

∴原函数可化为 y=log2(1-sin x)=log2cos x, 又 cosx>0 在[-
π π , ]上恒成立, 6 4

∴原函数即是 y=2log2cosx, 在 x∈[- ∴log2
2 π π ≤cosx≤1. , ]上, 2 6 4

2 ≤log2cosx≤log21,即-1≤y≤0, 2 ? ? 也就是在 x∈[- , ]上,ymax=0,ymin=-1. 6 4
9.解 : y ? 1 ? cos 2 x ? a cos x ? 当0 ? x ? 若 ? 时,0 ? cos x ? 1. 2 5 3 a a2 5 1 a ? ? ?(cos x ? ) 2 ? ? a? . 8 2 2 4 8 2

a 5 3 ? 1时,即a ? 2, 则当cos x ? 1时, y max ? a ? a ? ? 1 2 8 2 20 ?a? ? 2(舍去), 13 a a a2 5 1 若0 ? ? 1,即0 ? a ? 2, 则当cos x ? 时, y max ? ? a ? ?1 2 2 4 8 2 3 ? a ? 或a ? ?4 ? 0(舍去). 2 a 5 1 12 若 ? 0,即a ? 0, 则当cos x ? 0时, y max ? a ? ? 1 ? a ? ? (舍去). 2 8 2 5

综合上述知,存在 a ?

3 符合题设. 2
27

【三角函数的图象与性质练习 2】 一、选择题 1.下列有关三角函数增减性的判断,正确的是 (A) y ? sin x 在[0,π ]上是增函数。 (B) y ? cos x 在[0,π ]上是减函数。 ( B )

? (C) y ? tgx 在 (0, ) 内是减函数。 2
2.在区间[

(D) y ? ctgx 在 (?

? ?

, ) 内是减函数。 2 2

? , ? ]上, 2

( D



(A) y ? sin x 是增函数,且 y ? cos x 是减函数 (B) y ? sin x 是减函数,且 y ? cos x 是增函数 (C) y ? sin x 是增函数,且 y ? cos x 是增函数 (D) y ? sin x 是减函数,且 y ? cos x 是减函数 3.设 f ( x) 是 R 上以 2 为周期的奇函数,已知当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? log2 2)上 (A)是增函数且 f ( x) ? 0 (C)是减函数且 f ( x) ? 0 (B)是增函数且 f ( x) ? 0 (D)是减函数且 f ( x) ? 0
1 , 1? x 1 ,则 f ( x) 在(1, 1? x

( A



解:当 x ? (?1,0) 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ? log2

当 x ? (1,2) 时, x ? 2 ? (?1,0) , f ( x) ? f ( x ? 2) ? log2 ( x ? 1) ∴ f ( x) 是增函数且 f ( x) ? 0 4.函数 f ( x) ? cos(ωx ? )(ω ? 0) 的最小正周期为 1,则 ?? (A)1 (B)2 (C) ? (D) 2? ( A ) ( D )

5. 函数 y ? ?2 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 1 的最小正周期与最大值分别为 (A) T??,y 最大= 7 +1 (C) T??,y 最大=3 (B) T ?

? ,y 最大= 7 +1 2

(D) T??,y 最大=8 ( A )

? ? 2 2 ? ( x ?) ? ( x ?) ? 1 6.函数 y 的 s i n c o s 1 2 1 2
(A)周期为 ? 最小值为 ?1 2 (C)周期为 2? 最大值为 1 2 (B)周期为 ? 最小值为-1 (D)周期为 2? 最大值为 1

π 7.给出函数:① y ? tg 2x ? ctg2x; ② y ?| sin 2 x | ;③ y ? sin 4 x ? sin 4 ( x ? ) ,其中最小正周期 2

28



π 的函数是 2

( D (B)①,② (C)①,③ (D)②,③ ( D (B)是偶函数而不是奇函数 (D)既是奇函数又是偶函数 ( B



(A)① 8.函数 y ? lg cos x



(A)是奇函数而不是偶函数 (C)既不是奇函数又不是偶函数

9. 函数 f ( x) ? 3 sin(x ? ) 是偶函数的充要条件是



? (A) ? ? 2 k ? ? ( k ? z ) 2
(C) ? ? 2 k ? ( k ? z )

? (B) ? ?k ? ? ( k? z ) 2 2 ? (D) ? ? k ? ? ( k ? z ) 3 2
( D )

π 10. 要得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象, 只要把函数 y?s i n 2 x的图象 4

(A)向左平移 ? 4 个单位 (C)向左平移 ? 8 个单位 11.下列命题中正确的是

(B)向右平移 ? 4 个单位 (D)向右平移 ? 8 个单位 ( D )

π π 3 (A)函数 y ? sin( ? 2 x) 的单调区间是[ kπ ? , kπ ? π](k ? z) 4 8 8 1 (B)若 sin x ? sin y ? ,则 sin y ? cos2 x 的最大值是 7 12 3

1 π π (C)函数 y ? tg ( x ? )(α ? 0) 的最小正周期为 α α 3

(D)函数 f ( x) ? sin x cos 2φ ? cos x sin 2φ 的图象关于 y 轴对称,则 φ ? 12.函数 y= tg A.
π 2 x 1 的最小正周期是( B ) ? 2 sin x

kπ π ? (k ? z ) 2 4

B. ?

C.

3? 2

D.2 ? ( C )

13.函数 y ? sin 2kx ? 3 cos 2kx 的最小正周期 T=1,则正实数 k 的值等于 (A)0 (B)1 (C) ? (D)
π 2

14. 若 sin 2 x ? cos2 x , 则 x的取值范围是 A. ? x 2k? ? ? ? x ? 2k? ? ?,k ? Z ?
? ? ? ? 1 1 C. ? x k? ? ? ? x ? k? ? ?,k ? Z ? 4 4 ? ? ? 3 4 1 4 ?

( D B. ? x 2k? ? ? ? x ? 2k? ?
? ? ? ? 1 3 D. ? x k? ? ? ? x ? k? ? ?,k ? Z ? 4 4 ? ? 1 4 ? 5? ,k ? Z ? 4 ?



29

2.设函数 y=Asin( ? x+Φ ) (A>0, ? >0) 在 x= 在 x=

? π 时取最大值 A,在 x= 时取最大值 A, 2 2
( C D.与Φ , ? 均有关 ( C ) )

3? 时,取最小值-A,则 x=π 时,函数 y 的值 2
B.仅与Φ 有 C.等于零

A.仅与 ? 有关

3.函数 f ( x) ? a cos x ? b (a ? 0) 的最大值是 A. a ? b 二、填空题 1、函数 y ? sin 2 x ? 2 sin x cos x ? 3 cos2 x 的最小值等于 的集合为 B. ? a ? b C. a ? b D. a ? b

并使函数 y 取最小值的 x
3π ?

2 ? 2 ; ? x x ? kπ ? , k ? Z ? 8 ? ?
π 对称,则 a ? 8

?

2、若函数 y ? sin 2 x ? a cos2 x 的图象关于直线 x ? ?
y? s i xn s i 2n x 的值域为 1 ? c ox s
? 1? ? 2? ? 1 ? 4? ?? 2 , ? ?

- 1

函 数

3、已知函数 f ?tgα ? ? sin 2α,那么 f ? ? ? ?
2 4.函数 f 的最大值是 ( x )c ? o s 4 x c o s 2 x ? 3 x c o s

?

4 5


? 3 4

5、函数 y ? sin ? x ? ? cos x 的最小值是
?

?

π? 6?

三、解答题 1.已知扇形 OAB 的圆心角 ? AOB ? ? ? 0 ? ? ?
? ?

??

? ,半径为 R,在弧 AB 上有一点 P,作 PQ∥ 2?

OA 交 OB 于 Q,求 ?POQ 面积的最大值。
解:设 ?AOP ? x,则?POQ ? ? ? x 在 ?OPQ 中,正弦定理
OQ ? S?POQ

OQ OP ? sin x sin ?? ? ? ?

OP sin x R sin x ? sin ?? ? ? ? sin ? 1 1 R sin x ? OP · OQ sin ?? ? x ? ? R · · sin ?? ? x ? 2 2 sin ? ? R2 ?cos?2 x ? ? ? ? cos? ? 4 sin ?

当x?

?
2

时, cos?2 x ? ? ? ? 1,S ?POQ ?

R 2 ?1 ? cos? ? R 2 ? ? tg 4 sin ? 4 2

解二:从点 Q 作 QM⊥OP 于 M,
?BOP ? ?,?POA ? ? ? ? ,∴ ?QPO ? ? ? ?

30

设 OM ? x,则 MP ? R ? x OM· tg? = PM tg?? - ? ? ,∵ ? 为锐角
当? ?

?
2

, OM ?

R 时, 2

QM 有最大值

R ? 1 R ? R2 ? R · tg ? tg tg , S ?POQ ? · 2 2 2 4 2 2 2

2、在Δ ABC 中,已知 sin A ? cos2

C A 3 ? sin C ? cos2 ? sin B 。 2 2 2

(1)求证:sinA+sinC=2sinB;(2)求 sin 解: (1)∵ sin A ? cos2 ∴ sin A ?

B 的取值范围。 2

C A 3 ? sin C ? cos2 ? sin B 2 2 2

1 ? cosC 1 ? cos A 3 ? sin C ? ? sin B 2 2 2

1 1 3 ∴ (sin A ? sin C) ? sin( A ? C) ? sin B 2 2 2

∵A+B+C= ? ,∴sin(A+C)=sinB, ∴上式即 sinA+sinC=2sinB (2)由 sinA+sinC=2sinB 可得:2 sin ∵A+C=π -B,∴ 又
A?C A?C B B cos ? 4 sin cos 2 2 2 2

A?C ? ? B A?C B ∴ sin ? ? cos 2 2 2 2

∴2 sin

B A?C ? cos 2 2

?? A ? C ? ? ? 2 2 2

∴0< cos

1 A?C B ≤1,∴0< sin ≤ 。 2 2 2

3.Δ ABC 中,三内角满足 A+C=2B, 解:∵A+C=2B,∴A+C=120°,B=60° 又∵

A?C 1 1 2 ,求 cos 的值 ? ?? cosA cosC cosB 2

1 1 2 ,∴ cos A ? cosC ? ?2 2 cos A cosC ? ?? cos A cos C cos B

∵ 2 cos

A?C A?C 1 cos ? ?2 2 ? [cos(A ? C) ? cos(A ? C)] 2 2 2
2 2 2

即 2 ? ( 1 ) cos A ? C ? ? 2 (? 1 ? 2 cos2 A ? C ? 1)
2
2 2 cos2 A?C A?C 3 2 ? cos ? ?0 2 2 2

令 cos

A?C 3 ? t ,则上式为 2 2t 2 ? t ? 2 ?0 2 2
2 3 , t2 ? ? 2 2 2

∵ t1 ?

∵ | cos A ? C |? 1 ,∴ cos A ? C ? 2
2

2

2

? 4.已知 α +β = 2? ,求函数 y ? 1 ? cos?? ? 2? ? ? cos2 ? ?

3

ctg

?

2

? tg

?

?4

? ? ? ? 的最小值。 ?

2

31

解: y ?

1 ? cos 2? ? 1 ? cos? 1 ? cos? ? sin ? sin ?

?? ? 1 ? cos? ? 2 ? ? ?2 ? 2

=

2 cos2 ? ? sin ? 1 1 1 1 ? ? sin 2? = (sin 2? ? sin 2? ) ? 2 cos? 2 2 2 2

= cos(α ? β) sin(α ? β) ? = cos ∵ 当 2? ?

1 2

2? 2? 1 1 2? 1 ? sin[? ? ( ? ? )] ? = ? sin(2? ? )? 3 3 2 2 3 2

1 1 2? ? 7? 即 ? ? k? ? 时 y m in ? ? ? ? ?1 ? 2k? ? 3 2 12 2 2
? 2? )

5.已知 ? ? ? ?

7? k? ,? ? , (k ? Z ) ,求函数 y ? 1 ? cos(? 6 2 ?
ct g 2

? tg

?
2

? sin 2 (

?
4

? ?)

的最大值。

解: ?? ? ? ?

7? k? ,且? ? (k ? Z ) 6 2 ?? ? 1 ? cos? ? 2? ? 1 ? cos 2? ? 2 ? ?y ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? 2 ? sin ? sin ? 1 1 ? sin ? cos? ? sin 2 ? ? 2 2 1 1 ? (sin 2? ? sin 2 ? ) ? 2 2 1 ? sin(? ? ? ) cos( ? ? ?)? 2 1 1 ?? cos( ? ? ?)? 2 2 而 ? 1 ? cos( ? ? ?) ?1

1 1 1 ?? cos( ? ? ?) ? 2 2 2 1 1 ? ?1 ? ? cos( ? ? ? ) ? ? 0,当 cos(? ? ? ) ? ?1 时, 2 2 y max ? 0 ??

32


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高三数学第二轮专题复习——3 三角函数熟练掌握基本公式:诱导公式,同角三角函数...4)解三角形(正余弦定理) y 1. (2008 年江苏 15)如图,在平面直角坐标系 xoy...

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高三数学第二轮三角函数专题复习资料

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高三二轮复习三角函数专题复习

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