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2016高考数学二轮复习 专题4 不等式 第二讲 线性规划、基本不等式与不等式的证明 文


第二讲

线性规划、基本不等式与不等式的证明

预测 2016 年高考中一定有线性规划小题,利用不等式性质与基本不等式的小题一 般也会考到,且基本不等式也可能在大题中求最值问题中用到.但由于现在常用导数方法研 究函数最值问题,故直接利用基本不等式求最值机会变小,但仍然有考到的可能,特别是在 小题中可能性很大.

线性规划问题 线性规划问题的解题步骤为: 1.设出变量 x,y,列出变量 x,y 的线性约束条件,确定目标函数. 2.作出可行域和目标函数值为 0 的直线 l. 3.利用直线 l 确定最优解对应的点,从而求出最优解. 基本不等式的应用问题 1.基本不等式:

a+b
2



ab.

(1)基本不等式成立的条件:a,b>0W. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. (3)应用:两个正数的积为常数时,它们的和有最小值W.两个正数的和为常数时,它 们的积有最大值W. 2.几个重要的不等式. 2 2 (1)a +b ≥2ab(a,b∈R). (2) + ≥2(a 与 b 同号). 1 1 (3)a+ ≥2(a>0) ,a+ ≤-2(a<0).

b a a b a

a

(4)ab≤?

?a+b? (a,b∈R). ? ? 2 ?

2

1

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)不等式 Ax+By+C>0 表示的平面区域一定在直线 Ax+By+C=0 的上方.(×) 2 2 (2)不等式 x -y <0 表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分 线围成的含有 y 轴的两块区域.(√) 3x-y-6<0, ? ? (3)不等式组?x-y+2>0, 表示的平面区域是如图所示的阴影部分.(×) ? ?x≥0,y≥0

(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.(√) 1 3 (5)若 a>0,则 a + 2的最小值为 2 a.(×)

a

(6)a +b +c ≥ab+bc+ca(a,b,c∈R).(√)

2

2

2

2x+y≥4, ? ? 1.设 x,y 满足?x-y≥1, 则 z=x+y(B) ? ?x-2y≤2, A.有最小值 2,最大值 3 B.有最小值 2,无最大值 C.有最大值 3,无最小值 D.既无最小值,也无最大值 解析:画出不等式表示的平面区域,如图,由 z=x+y,得 y=-x+z,令 z=0,画出 y=-x 的图象,当它的平行线经过 A(2,0)时,z 取得最小值,最小值为 z=2,无最大值.

2

故选 B.

x+2≥0, ? ? 2.(2015·天津卷)设变量 x,y 满足约束条件?x-y+3≥0, 则目标函数 z=x+6y ? ?2x+y-3≤0,
的最大值为(C) A.3 B.4 C.18 D.40 解析:由题意作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.

作直线 x+6y=0 并向右上平移,由图可知,过点 A(0,3)时 z=x+6y 取得最大值, 最大值为 18. 2 3.若 x>0,则 x+ 的最小值为

x

W.

2 2 解析:∵x>0? x+ ≥2 2,当且仅当 x= ? x= 2时取等号.

x

x

答案:2 2 4.(2015·天津卷)已知 a>0,b>0,ab=8,则当 a 的值为 (2b)取得最大值. 8 解析:由于 a>0,b>0,ab=8,所以 b= .

时,log2a·log2

a

?16? 2 所以 log2a·log2(2b)=log2a·log2? ?=log2a· (4-log2a)=-(log2a-2) +4, a ? ?
当且仅当 log2a=2,即 a=4 时,log2a·log2(2b)取得最大值 4. 答案:4

3


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