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2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第四节双曲线及其性质AB卷文


【大高考】 2017 版高考数学一轮总复习 第 9 章 平面解析几何 第四 节 双曲线及其性质 AB 卷 文 新人教 A 版

1 1.(2015·新课标全国Ⅱ,15)已知双曲线过点(4, 3),且渐近线方程为 y=± x,则该 2 双曲线的标准方程为______________. 1 x 2 解析 由双曲线渐近线方程为 y=± x,可设该双曲线的标准方程为 -y =λ (λ ≠0), 2 4 4 2 已知该双曲线过点(4, 3),所以 -( 3) =λ ,即 λ =1,故所求双曲线的标准方程为 4
2 2

x2
4

-y =1.

2

答案

x2
4

-y =1
2

2

2.(2015·新课标全国Ⅰ,16)已知 F 是双曲线 C:x - =1 的右焦点,P 是 C 的左支上一 8 点,A(0,6 6).当△APF 周长最小时,该三角形的面积为________. 解析 设左焦点为 F1,|PF|-|PF1|=2a=2, ∴|PF|=2+|PF1|,△APF 的周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2+|PF1|,△APF 周 长最小即为|AP|+|PF1|最小, 当 A、 P、 F1 在一条直线时最小, 过 AF1 的直线方程为
2

y2

+ -3 6 6

x

y

=1.与 x - =1 联立,解得 P 点坐标为(-2,2 6),此时 S=S△AF1F-S△F1PF=12 6. 8 答案 12 6

y2

3.(2014·新课标全国Ⅰ,4)已知双曲线 2- =1(a>0)的离心率为 2,则 a=( a 3 A.2 C. 5 2 B. 6 2

x2 y2

)

D.1

1

解析 由双曲线方程知 b =3,从而 c =a +3,又 e=2,因此 2= 以 a=1,故选 D. 答案 D

2

2

2

c2 a2+3 =4,又 a>0,所 a a2

4.(2013·新课标全国Ⅰ,4)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 的渐近线方程为( 1 A.y=± x 4 1 C.y=± x 2 解析 ∵e= 5 c 5 c 5 ,∴ = ,即 2= . 2 a 2 a 4
2 2

x2 y2 a b

5 ,则 C 2

) 1 B.y=± x 3 D.y=±x

b 1 b 1 2 2 2 ∵c =a +b ,∴ 2= .∴ = . a 4 a 2
∵双曲线的渐近线方程为 y=± x, 1 ∴渐近线方程为 y=± x.故选 C. 2 答案 C

b a

1.(2015·安徽,6)下列双曲线中,渐近线方程为 y=±2x 的是( A.x - =1 4 C.x - =1 2
2 2 2

)

y2 y2

B. -y =1 4 D. -y =1 2

x2 x2

2

2

解析 由双曲线渐近线方程的求法知;双曲线 x - =1 的渐近线方程为 y=±2x,故选 4 A. 答案 A 2.(2015·天津,5)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0 )的一个焦点为 F(2,0),且双曲线 的渐近线与圆(x-2) +y =3 相切,则双曲线的方程为(
2 2

y2

x2 y2 a b

)

2

A. - =1 9 13 C. -y =1 3 解析 双曲线 2- 2=1 的一个焦点为 F(2,0), 则 a +b =4, 双曲线的渐近线方程为 y=± x, 由题意得 2b = 3,
2 2

x2 x2

y2
2

B.

- =1 13 9
2

x2

y2

D.x - =1 3

y2

x2 y2 a b



b a

a2+b2


2

联立①②解得 b= 3,a=1,所求双曲线的方程为 x - =1,选 D. 3 答案 D 3.(2014·天津,6)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x +10,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( A. - =1 5 20 C. 3x 3y - =1 25 100
2 2

y2

x2 y2 a b

)

x

2

y

2

B. D.

x

2

20

- =1 5
2 2

y

2

3x 3y - =1 100 25
2 2

解析 由题意可得 =2,c=5,所以 c =a +b =5a =25,解得 a =5,b =20,则所求 双曲线的方程为 - =1. 5 20 答案 A

b a

2

2

2

2

x2

y2

x2 y 2 4.(2014·江西,9)过双曲线 C: 2- 2=1 的右顶点作 x 轴的垂线,与 C 的一条渐近线相 a b
交于点 A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲 线 C 的方程为( A. - =1 4 12 C. - =1 8 8 ) B. - =1 7 9 D. - =1 12 4
2 2

x2

y2

x2 y2 x2

x2 y2

y2

解析 设双曲线的右焦点为 F,则 F(c,0)(其中 c= a +b ),且 c=|OF|=r=4,不妨 将直线 x=a 代入双曲线的一条渐近线方程 y= x,得 y=b,则 A(a,b).由|FA|=r=4, 得 (a-4) +b =4,即 a -8a+16+b =16,所以 c -8a=0,所以 8a=c =4 ,解得
2 2 2 2 2 2 2

b a

x2 y2 a=2,所以 b2=c2-a2=16-4=12,所以所求双曲线的方程为 - =1.
4 12

3

答案 A π x y y x 5.(2013·湖北, 2)已知 0<θ < , 则双曲线 C1: 2 - 2 =1 与 C2: 2 - 2 4 sin θ cos θ cos θ sin θ =1 的( ) B.虚轴长相等 D.焦距相等
2 2 2 2 2 2

A.实轴长相等 C.离心率相等

解析 在双曲线 C1 中,实轴长 2a=2sin θ ;虚轴长 2b=2cos θ ;焦距 2c=2 a +b = 2 cos θ +sin θ =2;
2 2

c 1 离心率 e= = . a sin θ
在双曲线 C2 中,实轴长 2a=2cos θ ;虚轴长 2b=2sin θ ; 焦距 2c=2 a +b =2 cos θ +sin θ =2;
2 2 2 2

c 1 离心率 e= = . a cos θ
即两条双曲线的焦距相等.故选 D. 答案 D 6.(2016·北京,12)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为 2x+y=0,一个焦 点为( 5,0),则 a=________;b=________. 解析 由 2x+y=0 得 y=-2x,所以 =2. 又 c= 5,a +b =c ,解得 a=1,b=2. 答案 1 2
2 2 2 2

x2 y2 a b

b a

7.(2015·北京,12)已知(2,0)是双曲线 x - 2=1(b>0)的一个焦点,则 b=________. 解析 由题意:c=2,a=1,由 c =a +b .得 b =4-1=3,所以 b= 3. 答案 3
2 2 2 2

y2 b

x2 y2 8.(2015·湖南,6)若双曲线 2- 2=1 的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心 a b
率为( A. 7 3 ) B. 5 4

4

C.

4 3

D.

5 3

解析 由条件知 y=- x 过点(3,-4), ∴ 3b

b a

a

=4,即 3b=4a,∴9b =16a ,
2 2 2

2

2

∴9c -9a =16a , 5 2 2 ∴25a =9c ,∴e= .故选 D. 3 答案 D 9.(2015·四川,7)过双曲线 x - =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条 3 渐近线于 A,B 两点,则|AB|=( A. 4 3 3 ) B.2 3 D.4 3
2 2

y2

C.6

解析 右焦点 F(2,0),过 F 与 x 轴垂直的直线为 x=2,渐近线方程为 x - =0,将 x 3 =2 代入渐近线方程得 y =12, ∴y=±2 3,∴A(2,2 3),B(2,-2 3),∴|AB|=4 3. 答案 D 10.(2015·重庆,9)设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点是 F,左、右顶点分别是 A1,
2

y2

x2 y2 a b

A2,过 F 作 A1A2 的垂线与双曲线交于 B,C 两点,若 A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜
率为( 1 A.± 2 C.±1 ) B.± 2 2

D.± 2

解析 双曲线 2- 2=1 的右焦点 F(c,0),左、右顶点分别为 A1(-a,

x a

2

y b

2

0),A2(a,0),易求 B?c, ?,C?c,- ?,则 kA2C= a a

? ?

b?

2

?

? ?

b?

2

b2 a

?

c+a

,kA1B=

b2 a

a-c



又 A1B 与 A2C 垂直,

则有 kA1B·kA2C=-1,即

b2 a

c+a a-c

·

b2 a

=-1,∴

b4 a2

c2-a2

=1,∴a =b ,即 a=b,

2

2

∴渐近线斜率 k=± =±1.

b a

5

答案 C 11.(2015·湖北,9)将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b(a≠b)同时增加

m(m>0)个单位长度,得到离心率为 e2 的双曲线 C2,则(
A.对任意的 a,b,e1<e2 B.当 a>b 时,e1<e2;当 a<b 时,e1>e2 C.对任意的 a,b,e1>e2 D.当 a>b 时,e1>e2;当 a<b 时,e1<e2 解析 e1=

)

b2 1+ 2, e2= a

(b+m) b b+m 1+ 化简得 < (m>0), 得 bm<am, 2.不妨令 e1<e2, (a+m) a a+m

2

得 b<a.所以当 b>a 时,有 > 答案 B

b b+m b b+m ,即 e1>e2;当 b<a 时,有 < ,即 e1<e2.故选 B. a a+m a a+m

12.(2014·重庆,8)设 F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线 上存在一点 P 使得(|PF1|-|PF2|) =b -3ab,则该双曲线的离心率为( A. 2 C.4 B. 15 D. 17
2 2 2 2 2

x2 y2 a b

)

解析 根据双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=2a.又(|PF1|-|PF2|) =b -3ab,所以 4a

=b -3ab,即(a+b)(4a-b)=0,又 a+b≠0,所以 b=4a,所以 e= = 1+4 = 17. 答案 D 13.(2014·广东,8)若实数 k 满足 0<k<5,则曲线 ( ) B.虚半轴长相等 D.焦距相等
2

2

c a

2 ?b? 1+? ? =

?a?

- =1 与曲线 - =1 的 16 5-k 16-k 5

x2

y2

x2

y2

A.实半轴长相等 C.离心率相等

解析 若 0<k<5,则 5-k>0,16-k>0,故方程 - =1 表示焦点在 x 轴上的双曲线, 16 5-k 且实半轴的长为 4,虚半轴的长为 5-k,焦距 2c=2 21-k,离心率 e= 方程 21-k ;同理 4

x2

y2

- =1 也表示焦点在 x 轴上的双曲线,实半轴的长为 16-k,虚半轴的长为 16-k 5

x2

y2

6

5,焦距 2c=2 21-k,离心率 e= 答案 D

21-k 16-k

.可知两曲线的焦距相等.故选 D.

14.(2013·浙江, 9)如图, F1, F2 是椭圆 C1: +y =1 与双曲线 C2 的公共焦点, 4

x2

2

A,B 分别是 C1,C2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2
的离心率是( A. 2 C. 3 2 ) B. 3 D. 6 2
2 2

解析 根据椭圆的定义可得 AF1+AF2=4,又根据勾股定理,得 AF1+AF2=12.解得 AF1=2 2 3 6 - 2,AF2=2+ 2.所以 C2 的离心率为 = . 2 (2+ 2)-(2- 2) 答案 D

x2 y2 15.(2012·福建,5)已知双曲线 2- =1 的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于 a 5
( A. C. ) 3 14 14 3 2
2 2 2

B. D.

3 2 4 4 3
2

解析 ∵右焦点为(3,0),∴c=3,又∵c =a +b =a +5=9,

c 3 2 ∴a =4,a=2,∴e= = . a 2
答案 C 16.(2016·山东,14)已知双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0).若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上,AB,CD 的中点为 E 的两个焦点,且 2|AB|=3|BC|,则 E 的离心率是________. 2b 解析 由已知得|AB|= ,|BC|=2c,
2

x2 y2 a b

a

2b ∴2× =3×2c.

2

a

2 c ?c? 2 2 2 2 2 2 2 又∵b =c -a ,整理得:2c -3ac-2a =0,两边同除以 a 得 2? ? -3 -2=0,即 2e

?a?

a

-3e-2=0,解得 e=2. 答案 2
7

17.(2016·浙江,13)设双曲线 x - =1 的左、焦点分别为 F1,F2,若点 P 在双曲线上, 3 且△F1PF2 为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是________. 解析 如图,由已知可得 a=1,b= 3,c=2,从而|F1F2|=4,由对称性 不妨设 P 在右支上,设|PF2|=m,则|PF1|=m+2a=m+2,由于△PF1F2 为 锐角三角形, 结合实际意义需满足
? ?(m+2) <m +4 , ? 2 2 2 ? ?4 <(m+2) +m ,
2 2 2

2

y2

解得-1+ 7<m<3,又|PF1|+|PF2|=2m+2,∴2 7<2m+2<8. 答案 (2 7,8) 18.(2015·山东,15)过双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的 直线,交 C 于点 P.若点 P 的横坐标为 2a,则 C 的离心率为________.

x2 y2 a b

x2 y2 解析 把 x=2a 代入 2- 2 =1 a b
得 y=± 3b. 不妨取 P(2a,- 3b).又∵双曲线右焦点 F2 的坐标为(c,0), ∴kF2P= 3b 3b b .由题意,得 = . c-2a c-2a a

∴(2+ 3)a=c.∴双曲线 C 的离心率为 e= =2+ 3. 答案 2+ 3

c a

8


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