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【恒高教育】高二数学必修 5 测试题
一.选择题(共 12 题,每题 5 分) 1.在ΔABC 中,已知 a=1,b= 3 , A=30°,则 B 等于 A、60° B、60°或 120° C、30°或 150° D、120° 2.等差数列{an}中,已知 a1 = ( ( ) ) ) )

1 , a 2 ? a5 =4,an=33,则 n 为 3



A、50 B、49 C、48 D、47 3.已知等比数列{an }的公比为 2,前 4 项的和是 1,则前 8 项的和为 ( A、15 B、17 C、19 D、21 4.三个数 a,b,c 既是等差数列,又是等比数列,则 a,b,c 间的关系为 ( A、 b ? a ? c ? b B、 b ? ac
2

C、 a ? b ? c
0 2

D、 a ? b ? c ? 0

5.在三角形 ABC 中,已知 C = 120 ,两边 a , b 是方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的两根, 则 c 等于 ( ) A、 5 6.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n ? n ? 1? ,则 a5 的值为 A、80 B、40 C、20 D、10 a b 7.若实数 a、b 满足 a+b=2,则 3 +3 的最小值是 A、18 B、6 8.若 b<0<a, d<c<0,则 A、ac > bd B、 C、2 3 D、2 4 3 ( D、a-c > b-d ) . ) B、 7 C、

11

D、 13 ( ( ) )

a b ? C、a + c > b + d c d 9.数列 {an } 满足 an?1 ? an ? n ,且 a1 ? 1 ,则 a8 ? (

A.29 B.28 C.27 D.26 10.为测量一座塔的高度,在一座与塔相距 20 米的楼的楼顶处测得塔顶的仰角为 30 ? ,测得塔基的俯角 为 45 ? ,那么塔的高度是( )米.

3 3 C. 20(1 ? 3) D. 30 ) B. 20(1 ? ) 3 2 2 2 2 2 11.在 ?ABC 中,若 b sin C ? c sin B ? 2bc cos B cos C ,则 ?ABC 是
A. 20(1 ?

( ) . A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 12.等差数列 {an } 满足 7a5 ? ?5a9 ,且 a1 ? ?17 ,则使数列前 n 项和 Sn 最小的 n 等于( ) . A.5 B.6 二.填空题(共 4 题,每题 4 分) 13.已知 0<2a<1,若 A=1+a , B=
2

C.7

D.8

1 , 则 A 与 B 的大小关系是 。 1? a 14.若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ?10n (n ? 1,, 2 3, ?) ,则此数列的通项公式



1 ? , C ? 150 , BC ? 1 ,则 AB ? 3 16. ?ABC 中, a、b、c 分别是 ?A、?B、?C 的对边,下列条件 ① b ? 26 , c ? 15, C ? 23? ; ② a ? 84 , b ? 56 , c ? 74 ; ③ A ? 34? , B ? 56? , c ? 68 ; ④ a ? 15 , b ? 10 , A ? 60? 能唯一确定 ?ABC 的有 (写出所有正确答案的序号) .
15.在 △ ABC 中,若 tan A ? 三.解答题(共 6 题,17,18,19,20,21 每题 12 分,22 题 14 分) 17、已知等差数列前三项为 a, 4,3a ,前 n 项的和为 s n , s k =2550. (1)求 a 及 k 的值; (2)求



1 1 1 ? ?? ? s1 s2 sn

18、设 {an } 是一个公差为 d (d ? 0) 的等差数列,它的前 10 项和 S10 ? 110 ,且满足 a22 ? a1a4 . 求数列 {an } 的通项公式.

19 .

在 △ ABC 中 , 已 知 B ? 45? , D 是 BC 上 一 点 , AD ? 5 , AC ? 7 , DC ? 3 ,求 AB 的长.

A

B

D

C

20.在 △ ABC 中, tan A ? (Ⅰ)求角 C 的大小;

1 3 , tan B ? . 4 5 (Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长.

21.某村计划建造一个室内面积为 800 m 的矩形蔬菜温室。在温室内,沿左.右两侧与后侧内墙各保 留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时?蔬菜的种植面积最 大。最大种植面积是多少?

2

22.已知等比数列{an}满足 a1+a6=11,且 a3a4= (2)如果至少存在一个自然数 m,恰使

32 . 9

(1)求数列{an}的通项 an;

4 2 a m ?1 , a m 2 ,am+1+ 这三个数依次成等差数列,问这样的等比 9 3

数列{an}是否存在?若存在,求出通项公式;若不存在,请说明理由.

答案 一选择题 BABDB 一. 填空题 13.

CBCAA A<B 14.

CB 2n-11 15.

10 16. ②③④. 2 三.解答题 17.(1)设该等差数列为 ?an ? ,则 a1 ? a, a2 ? 4, a3 ? 3a ,由已知有 a ? 3a ? 2 ? 4 ,解得
公差 d ? a2 ? a1 ? 2 , 将 s k =2550 代入公式 sk ? ka1 ? a1 ? a ? 2 , 去)

k (k ? 1) ?d , 得 k ? 50, k ? ?50 (舍 2

? a ? 2, k ? 50 。
n(n ? 1) 1 1 1 1 ?d ,得 sn ? n(n ? 1) , ? ? ? 2 sn n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ?? ? = n(n ? 1) s1 s2 sn 1? 2 2 ? 3 1 1 1 1 1 ) = (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? 2 2 3 n n ?1 1 =1 ? n ?1 18. 解:设数列 {an } 的公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d , a4 ? a1 ? 3d ,
(2)由 sn ? n?a1 ? ∵ a22 ? a1a4 ,即 (a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d ) , 整理,得 a12 ? 2a1d ? d 2 ? a12 ? 3a1d ∴ d (a1 ? d ) ? 0 , 又 d ? 0 ,∴ a1 ? d , 又 S10 ? 10a1 ?

10 ? 9 d ? 55a1 ? 110 , 2 ∴ a1 ? d ? 2 ,

数列 {an } 的通项公式为: an ? a1 ? (n ?1)d ? 2n . 19.解:在 ?ADC 中,由余弦定理得 cos ?ADC ? ∵ ?ADC ? (0 , ? ) ,∴ ?ADC ? 120? , ∴ ?ADB ? 60? , 在 ?ABD 中,由正弦定理得 AB ? 20.解: (Ⅰ)∵ C ? ? ? ( A ? B) ,

32 ? 52 ? 72 1 ?? , 2 ? 3? 5 2

AD sin ?ADB 5sin 60? 5 6 ? ? . sin B sin 45? 2

1 3 ? ? tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 4 5 ? ?1 . 1 3 1? ? 4 5 3 又∵ 0 ? C ? π ,? C ? π . 4 3 (Ⅱ)∵ C ? ? , 4 ? AB 边最大,即 AB ? 17 ? 又 tan A ? tan B ,A ,B ? (0 , ) , ? 所以 ? A 最小, BC 边为最小边.

sin A 1 ? ? , ?tan A ? ? π? 由? cos A 4 且 A ? ? 0, ? , ? 2? ?sin 2 A ? cos 2 A ? 1, ? 17 得 sin A ? . 17 AB BC AB sin A ? ? 2. 由 得: BC ? sin C sin A sin C 所以,最小边 BC ? 2 .
21.解:设矩形温室的左侧边长为 a m,后侧边长为 b m,蔬菜的种植面积 S 则 ab=800. 蔬菜的种植面积 S ? (a ? 4)(b ? 2) ? ab ? 4b ? 2a ? 8 ? 808? 2(a ? 2b). 所以 S ? 808? 4 2ab ? 648 (m2 ). 当 a ? 2b,即a ? 40(m),b ? 20(m)时, S最大值 ? 648 (m2 ). 答: 当矩形温室的左侧边长为 40m, 后侧边长为 20m 时, 蔬菜的种植面积最大, 最大种植面积为 648m .
2

32 ? ?a1 ? a1 q 5 ? 11, 1 a1 ? , ? ? ? ? ?a1 ? , 3 或? 22.解: (1)由题意得 ? 3 32 ? ? 2 3 ?a1 q ? a1 q ? ?q ? 1 ? ?q ? 2. 9 ? ? 2 ? 1 32 1 n ?1 1 ( ) ? ×26-n 或 an= 〃2n-1. ∴an= 3 3 2 3 1 n-1 (2)对 an= 〃2 ,若存在题设要求的 m,则 3 1 1 m-1 2 2 m-2 1 m 4 2( 〃2 ) = 〃 〃2 + 〃2 + . 3 3 3 3 9
∴(2 ) -7〃2 +8=0. m ∴2 =8,m=3. 对 an=
m 2 m

1 6-n 6-m 2 6-m 〃2 ,若存在题设要求的 m,同理有(2 ) -11〃2 -8=0. 3
2

而Δ=11 +16×8 不是完全平方数,故此时所需的 m 不存在. 综上所述,满足条件的等比数列存在,且有 an=

1 n-1 〃2 . 3


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