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上海市闸北区2010学年度第一学期高三数学(文科)期末定位考试卷(2011.1)


闸北区 2010 学年度第一学期高三数学(文科)期末练习卷(2011.1)
考生注意: 1. 本次测试有试题纸和答题纸,作答必须在答题纸上,写在试题纸上的解答无效. 2. 答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号,以及试卷类型等填写清楚,并在规 定区域内贴上条形码. 3. 本试卷共有 18 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、填空题(本题满分

50 分)本大题共有 10 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 5 分,否则一律得零分. 1. lim
1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? ( 2 n ? 1) Cn
2 n? ?

?



2.已知两条不同的直线 m 、 n 和平面 ? .给出下面三个命题: ① m ? ? , n ? ? ? m // n ;② m // ? , n // ? ? m // n ;③ m // ? , n ? ? ? m ? n . 其中真命题的序号有 . (写出你认为所有真命题的序号) 3.若复数 z 满足: z ? z ? 2 i , z ? iz , i 为虚数单位) ( ,则 z 4.设函数 f ( x ) ?
1
2
2

?

. .

x ( x ? 0 ) 与函数 g ( x ) 的图像关于直线 y ? x 对称,则 g ( x ) ? 4 5.如图,矩形 ABCD 由两个正方形拼成,则 ? CAE 的正切值为 . 6.在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O , E 是线段 CD 的

中点,若 AC ? a , BD ? b ,则 AE ?

. (用 a 、 b 表示)

7.现剪切一块边长为 4 的正方形铁板,制作成一个母线长为 4 的圆锥 V 的侧面,那么,当剪切 掉作废的铁板面积最小时,圆锥 V 的体积为 . 8.某班级在 5 人中选 4 人参加 4×100 米接力.如果第一棒只能从甲、乙、丙三人中产生,最后 一棒只能从甲、乙两人中产生,则不同的安排棒次方案共有 种. (用数字作答) . 9 . 若 不 等式 ax ? bx ? c ? 0 的 解 集 为 { x | ? 1 ? x ? 2} , 则 不 等 式
2

2a ? b x

? c ? b | x | 的 解集




x

10.设常数 a ? R ,以方程 | x ? a | ? 2 ? 2011 的根的可能个数为元素的集合 A ?



二、选择题(本题满分 15 分)本大题共有 3 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是 正确的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 11.我们称侧棱都相等的棱锥为等腰棱锥. 设命题甲: “四棱锥 P ? ABCD 是等腰棱锥” 命题乙: ; “四棱锥 P ? ABCD 的底面是长方形,且底面中心与顶点的连线垂直于底面” .那么,甲是乙的 【 】 A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 12.函数 y ? arccos(sin A. ?
?? 5? ? , ? ? 6 6 ?
2? ? ? ? x )? ? ? x ? ? 的值域是 3 ? ? 3


2? ? ? 3 ?



B. ?

??

2? ? ? ? 6 3 ? ,

C. ? 0,
?

?

D. ? 0,
?

?

5? ? ? 6 ?

13.某人从 2010 年 9 月 1 日起,每年这一天到银行存款一年定期 1 万元,且每年到期的存款将本 和利再存入新一年的一年定期,若一年定期存款利率 2 . 50 % 保持不变,到 2015 年 9 月 1 日将 所有的存款和利息全部取出,他可取回的钱数约为 【 】

A. 11314 元 B. 53877 元 C. 11597 元 D.63877 元 三、解答题(本题满分 85 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对 应的题号)内写出必要的步骤. 14. (满分 14 分)本题有 2 小题,第 1 小题 7 分,第 2 小题 7 分. 已知在平面直角坐标系 xOy 中, ? AOB 三个顶点的直角坐标分别为 A ( 4 ,3 ) , O ( 0 , 0 ) ,
B (b , 0 ) .

(1)若 b ? 5 ,求 cos 2 A 的值; (2)若 ? A 为钝角,求 b 的取值范围. 15. (满分 15 分)本题有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 9 分.
AB CD ? ? 如图, 在直角梯形 ABCD 中, B ? ? C ? 90 , ? 2 2 , (及其内部)绕 AB 所在的直线旋转一周,形成一个几何体. (1)求该几何体的体积 V ;
?

2, BC ? 2 . A C D 将B

(2)设直角梯形 ABCD 绕底边 AB 所在的直线旋转角 ? ( ? CBC 若 AD ? AD ,求角 ? 的值.
'

'

? ? ? ( 0 , ? ) )至 ABC D ,
' '

?

16. (满分 16 分)本题有 2 小题,第 1 小题 7 分,第 2 小题 9 分. 据测算:2011 年,某企业如果不搞促销活动,那么某一种产品的销售量只能是 1 万件;如果 搞促销活动,那么该产品销售量(亦即该产品的年产量) m 万件与年促销费用 x 万元( x ? 0 ) 满足 m ? 3 ?
2 x ?1

.已知 2011 年生产该产品的前期投入需要 8 万元,每生产 1 万件该产品需要

再投入 16 万元,企业将每件该产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(定价不考虑促 销成本) . (1)若 2011 年该产品的销售量不少于 2 万件,则该产品年促销费用最少是多少? (2)试将 2011 年该产品的年利润 y (万元)表示为年促销费用 x (万元)的函数,并求 2011 年的最大利润. 17. (满分 20 分)本题有 2 小题,第 1 小题 12 分,第 2 小题 8 分. 设 f ( x ) 为 定 义 域 为 R 的 函 数 , 对 任 意 x ? R , 都 满 足 : f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,
f (1 ? x ) ? f (1 ? x ) ,且当 x ? [ 0 ,1] 时, f ( x ) ? x ? 2 x .
2

(1)请指出 f ( x ) 在区间 [ ? 1,1] 上的奇偶性、单调区间、最大(小)值和零点,并运用相关定义 证明你关于单调区间的结论; (2)试证明 f ( x ) 是周期函数,并求其在区间 [ 2 k ? 1, 2 k ]( k ? Z ) 上的解析式. 18. (满分 20 分)本题有 3 小题,第 1 小题 5 分,第 2 小题 7 分,第 2 小题 8 分. 已知数列{ a n }中, a 1 ? 1, a 2 ? 2 ,且 a n ? 1 ? (1 ? q ) a n ? qa n ?1 ( n ? 2 , q ? 0 ) . (1)设 b n ? a n ? 1 ? a n ( n ? N ) ,证明:数列{ b n }是等比数列;
*

(2)试求数列{ a n }的通项公式; (3)若对任意大于 1 的正整数 n ,均有 a n ? b n ,求 q 的取值范围.

闸北区 2010 学年度第一学期高三数学(文科)期末练习卷答案
一、1.2; 7.
15 3

2011.1

2.①③;
? ;

3. 2 ;

4. ? 2 x ( x ? 0 ) ;

5.

1 3



6.

3 4

a?

1 4

b;

8.24;

9. { x | ? 2 ? 1 ? x ? 0} ;

10. {1, 2 , 3} ;

二、11.C.12.D.13.B. 三、14.解: 【解一】 AO ? ( ? 4 , ? 3 ) , AB ? ( b ? 4 , ? 3 ) , (1) 若 b ? 5 ,则.………………………………………………………………………… ….2 分 所以, cos A ?
AO ? AB | AO | ? | AB |
2

?

10 10

, …………………………………………………….2 分

所以, cos 2 A ? 2 cos

A ?1 ? ?

4

. .……………………………………………………….3 分

5 【解二】 cos 2 A ? cos( ? A ? ? B )

.……………………………………………………….2 分
4 5

? cos( ? ? ? AOB ) .……………………………………………………….2 分

? ? cos ? AOB ? ?

.…………………………………………………….3 分

(2) 【解一】若 ? A 为钝角,则 AO ? AB ? 0 ,…………………………………………….3 分 即 ? 4 b ? 16 ? 9 ? 0 ,…………………………………………………….……………2 分 解得 b ?
25 4

,故, b ? (

25 4

, ?? ) . ..…………………………………………………2 分

【解二】用平面几何或解析几何的方法同样给分 15.解: (1)如图,作 DE ? AB ,则由已知,得 DE ? 2 , AE ? AB ? EB ? 所以, V ?
1 3

2 ,….2 分

? ?2 ?
2

2 ?? ?2 ?
2

2 ?
'

16 3

2

? . ………………….………………….4 分
'2

(2)连接 DD , CC ,有 AD ? AD ?
' '

6 , DD

? CC

'2

? 8 ? 8 cos ? ,………….3 分

由题意,得 DD ? AD ? AD , ……………….…………………….………………….2 分 即 8 ? 8 cos ? ? 12 ……………….………………….……………….………………….2 分
2

'2

'2

cos ? ? ?

1 2


?

? ?

2 3

? (或 120 ) .

……………….………………….……………….………………….2 分
2 x ?1 ? 2 , …………………………………………….3 分

16.解: (1)由题意,有 m ? 3 ?

解得 x ? 1 . 所以,则该产品年促销费用最少是 1 万元. ………………………………………….4 分 (2)由题意,有每件产品的销售价格为 1 . 5 ? 所以,2011 年的利润 y ? m ? [1 . 5 ?
8 ? 16 m m
? 4 ? 8m ? x

8 ? 16 m m

(元) ,

] ? ( 8 ? 16 m ? x )

? 4 ? 8 ? (3 ? ? 28 ? x ?

2

x ?1 16

)? x

x ?1

. ……………………………………………….4 分

? ( x ? 1) ? 8 , x ?1 16 ? ( x ? 1)] ? 29 ? ? 8 ? 29 ? 21 , ………………………………………4 分 所以 y ? ? [ x ?1 16 ? x ? 1 ,即 x ? 3 (万元)时,利润最大为 21 万元.…………………..1 分 当且仅当 x ?1

因为 x ? 0 ,

16

17.解: (1)偶函数; .………………………………………………………………………1 分 最大值为 2、最小值为 0; .…………….……………………………………………………1 分 单调递增区间: [ ? 1, 0 ] ,单调递减区间: [ 0 ,1]; ...………………………………………1 分 零点: x ? 0 . .…………………………..……………………………………………………1 分 单调区间证明: 当 x ? [ 0 ,1] 时, f ( x ) ? x ? 2 x .
2

设 x 1, x 2 ? [ 0 ,1] , x 1 ? x 2 , x 1 ? x 2 ? 2 ,
f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ( x 1 ? 2 x 1 ) ? ( x 2 ? 2 x 2 ) ? ( x 1 ? x 2 )( x 1 ? x 2 ? 2 ) ? 0
2 2

所以, f ( x ) 在区间 [ 0 ,1] 上是递减函数. ………………………………………………….4 分 以下证明 f ( x ) 在区间 [ ? 1, 0 ] 上是递增函数. 【证明一】因为 f ( x ) 在区间 [ ? 1,1] 上是偶函数. 对于任取的 x 1, x 2 ? [ ? 1, 0 ] , x 1 ? x 2 ,有 ? x 1 ? ? x 2 ? 0
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( ? x1 ) ? f ( ? x 2 ) ? 0

所以, f ( x ) 在区间 [ ? 1, 0 ] 上是递增函数. ………………………………………………...4 分 【证法二】设 x ? [ ? 1, 0 ] ,由 f ( x ) 在区间 [ ? 1,1] 上是偶函数,得
f ( x ) ? f ( ? x ) ? x ? 2 x.
2

以下用定义证明 f ( x ) 在区间 [ ? 1, 0 ] 上是递增函数 ………………………………………..4 分 (2)设 x ? R , f ( x ? 2 ) ? f [(1 ? x ) ? 1] ? f [( 1 ? x ) ? 1] ? f ( x ) , 所以,2 是 f ( x ) 周期. ……………………………………………………………4 分
2 2

当 x ? [ 2 k ? 1, 2 k ] 时, 2 k ? x ? [ 0 ,1] , 所以 f ( x ) ? f ( ? x ) ? f ( 2 k ? x ) ? ( 2 k ? x ) ? 2 ( 2 k ? x ) ? x ? 2 (1 ? 2 k ) ? 4 k ( k ? 1). 4 分 18.解: (1)由 a n ? 1 ? (1 ? q ) a n ? qa n ?1 ( n ? 2 , q ? 0 ) 得,
a n ? 1 ? a n ? q ( a n ? a n ?1 ) ,即 b n ? qb n ? 1 ( n ? 2 ) .

又 b1 ? a 2 ? a 1 ? 1 , q ? 0 , b n ? 0 . 所以,{ b n }是首项为 1,公比为 q 的等比数列.…………………………………………..5 分 (2)由(1)有, b n ? q
? 1? q ? ??? ? q
n ?1

a n ? a 1 ? ( a 2 ? a 1 ) ? ( a 3 ? a 2 ) ? ? ? ? ? ( a n ? a n ?1 )
n?2

(n ? 2)

所以,当 n ? 2 时, a n

n ?1 ? 1? q , q ? 1, ?1 ? ……………………………………………..6 分 ? ? 1? q ?   n ,    q ? 1 . ?

上式对 n ? 1 显然成立.………………………………………………………………………1 分 (3) q ? 1 符合题意;…………………………………………………………………………2 分 若 q ? 1 ,1 ?
(1 ? q
n ?1

1? q

n ?1

1? q
1 1? q

? q

n ?1

)( 1 ?

) ? 0 ………………………………………………………………………2 分

?1 ? q n ? 1 ? 0 , ?1 ? q n ? 1 ? 0 , ? ? 或? 1 1 ? ? 0. ? 0 ?1 ? ?1 ? 1? q 1? q ? ?

解得: q ? ( 0 ,1) ? (1, 2 ) ………………………………………………………………………..3 分 综上, q ? ( 0 , 2 ) ………………………………………………………………………………..1 分

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