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2012学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学试卷


2012 学年度广州市高中二年级学生学业水平测试

数 学
本试卷共 4 页. 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡指定的位 置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案,

答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上 要求作答的答案无效. 4. 本次考试不允许使用计算器. 5. 考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是 符合题目要求的. 1. 已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5} , 集合 A ? ?1,3? , , 则 ? A ? ( U A. ? B. ?1,3? C. ) D. ?1,2,3,4,5? ) D. ) D.

?2,4,5?
3 4 1 2

2. 已知点 P(3, ?4) 是角 ? 终边上的一点, 则 tan? ? ( A. ?

4 3

B. ?

3 4

C.

4 3

3. 若直线 y ? ax ? 3 与直线 y ? ?2 x ? a 垂直, 则实数 a 的值为( A . ?2 B. 2 C. ?

1 2

4. 要用一根铁丝焊接围成一个面积为 9 的矩形框, 不考虑焊接损耗, 则需要铁丝的长度至少为 ( ) A .24 B. 1 2 C. 6 D. 3

5. 如图 1, 在边长为 2 的正方形 ABCD 内随机取一点 P, 分别以 A、B、C、D 为圆心、1 为半径作圆, 在正方形 ABCD 内的四段弧所围成的封闭区域记为 M(阴影部分), 则点 P 取自区域 M 的概率是( )

? 2 ? C. 1 ? 4
A.

B.

? 4

D. 1 ?

? 2

图1

6. 某几何体的三视图(均为直角三角形)及其尺寸如图 2 所示, 则 该几何体的体积为( A. C. ) B.

1 6 1 2

1 3
D.

1

7. 函数 f ( x) ? x ?

2 的零点所在的区间为( x
B.

)

A . ? 0, ?

? ?

1? 2?

?1 ? ? ,1? ?2 ?

C. ?1, ?

? 3? ? 2?

D.

?3 ? ? ,2? ?2 ?
)

?1? 8. 已知等差数列 {an } 的首项为 4, 公差为 4, 其前 n 项的和为 Sn , 则数列 ? ? 的前 n 项和为( ? Sn ?
A.

n 2(n ? 1)

B.

1 2n(n ? 1)
)

C.

2 n(n ? 1)

D.

2n n ?1

???? ??? ? 9. 在长方形 ABCD 中, AB=2, AD=1, 则 AC ? CD ? (
A. 4 B. 2 C.

?2

D. ?4

10. 设函数 f ? x ? 的定义域为 R,若存在与 x 无关的正常数 M, 使 f ( x) ? M x 对一切实数 x 恒成立, 则 称 f ? x ? 为有界泛函. 有下面四个函数: ① f ( x) ? 1 ; ② f ( x) ? x 2 ; ) B. ③④ C. ①③ D. ②④ ③ f ( x) ? 2 x sin x ; ④ f ( x) ?

x . x ?x?2
2

其中属于有界泛函的是( A. ①②

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 已知幂函数 f ( x) ? x? 的图象过点 2, 2 , 则 函数 f ( x) 的定义域是 12. 如图 3, 给出的是计算 S ? 1 ? .

开始 i=1,S=0


?

?

1 1 1 ? ? ? ? 值的 2 3 n
.

一个程序框图, 当程序结束时, n 的值为

i<2013 ?



13. 已知△ ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(2, 4,0) ,

1 S=S+ i
i=i+1

输出 S

B(2,0,3) , C (2, 2, z ) , 若 ?C ? 90? , 则 z 的
值为 .

结束

? x ? 3, ? 14. 设实数x, y 满足 ? x ? y ? 2 ? 0, 则 x 2 ? y 2 的取值范围是 ? x ? y ? 4 ? 0, ?

图3
.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知 A(3,1), C(1,0) (1)求以点 C 为圆心, 且经过点 A 的圆 C 的标准方程; (2)若直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 9 ? 0 , 判断直线 l 与圆 C 的位置关系, 并说明理由.

16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x, x ? R . (1)求函数 f ( x ) 的的最小正周期;

?? 6 ?? ? ? ?? ? (2)若 f ? ? ? ? ? , ? ? ? 0, ? , 求 f ? 2? ? ? 的值. 3? 5 3? ? ? 2? ?

17.(本小题满分 14 分) 对某校高二年级学生参加社区服务系数惊醒统计, 随机抽取 N 名学生作为样本, 得到这 N 名学生 参加社区服务的次数. 根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下: 分组 [3, 6) [6, 9) [9, 12) [12, 15) 合计 频数 10 n 4 2 N 频率 m p q 0.05

1

(1)求出表中 N,p,及图中的 a 的值; (2) 在所取样本中, 从参加社区服务的次数不少于 9 次的学生中任选 2 人, 求至少有一人参加社区服 务次数在区间 ?12,15? 内的概率.

18. (本小题满分 14 分) 如图 4 所示, AB 是⊙O 的直径, 点 C 是⊙O 圆周上不同于 A、 的任意一点, B

AB PA⊥平面 ABC, 点 E 是线段 PB 的中点, 点 M 在 ? 上, 且 MO //AC .
(1)求证: BC⊥平面 PAC; (2)求证: 平面 EOM // 平面 PAC. 图4

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? an ? ? ? 2n (n ? N* , ?为常数) , 且 a1 , a2 ? 2, a3 成等差数列. (1)求 ? 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)设数列 ?bn ? 满足 bn ?

n2 9 , 证明: b ? . an ? 3 16

20. (本小题满分 14 分) 设 a 为常数, a ? R , 函数 f ( x) ? x2 ? | x ? a | ?1, x ? R. (1)若函数 f ( x) 是偶函数, 求实数 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的最小值.


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