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高一数学任意角的三角函数及其诱导公式课件 必修4


任意角的三角函数及其诱导公式

一、 任意角的 的三角函数.
角?的 终 边 与 单 位 圆 相 交 点 于P(a , b ); b 则 si n? ? ? b 1
P(a,b)

b 称为角 ? 的正弦函数; 记作 b=sin? ;

?

一般用x表示自变量,y表示函数; 所

以正弦函数表示:y=sin x (x ? R) 相类似余弦函数是y=cos x;正弦函数是y=tan x

思考问题
1、用任意角的正弦值的定义判断下列各对角的 正弦值的关系.

?

7? 和 3 3

2? 14? - 和- 3 3

2、与角 x 终边相同的角怎么表示?x ? 它们的正弦值有什么关系?

2 k?

sin x ? sin(x ? 2k? )

练习:600与4200,(-π/4)与(-9π/4)的三角 函数值相等吗?为什么? 4200 600
y

P(a,b)
x

y
x

P(a,b)
Sin(2kπ+α)= Sinα

-π/4
-9π/4

小结:正弦函数是周期函数,周期是 2k? 其中最小正周期为 2?

余弦函数是周期函数,周期是 2k? 其中最小正周期为 2?

你记住了吗?

弧 度
sin ?

0 0 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600

0 ?
1 2

? ? ? 2? 3? 5?
4 3
2 2 2 2

6
3 2 3 3

2

3 4 6
3 2 ?1 ? ? 2 2 2 1 2 3 ? ? ? 2 2 2 3 ? 3 ? 3 3 ? 3 ? 3

?

3? 2

2?

cos ?
tan ? cot ?

0 1 0

1 2

3 2

1 0
0

3

1 1

3
3 3

?1 ?1

0 ?1 0 ?1 0 1 0 0 0

2)同终边角的同名三角函数值相等. Sin(2kπ+α)= Sinα

cos(2kπ+α)= cosα
tan(2kπ+α)= tanα 2kπ是三角函数的周期 诱导公式1

练习:确定下列函数值的符号
1)sin1900的符号是——?

2)cos(-3920)的符号是——?
3)tan(-16500)的符号是——?

3)sin(-21π/5)的符号是——?

练习:求值 19? 23? 1、 sin ; 2、con(); 4 3 0 3、 tan ( ? 1110 )

二、三角函数的诱导公式

1、若α是一个正锐角,怎样用α表示第一、二、 三、四象限角,并研究其终边位置关系.









2kπ+α π-α

π+α

2π-α或α

与α终 与α终边 与α终边 与α终边 边相同 关于y轴 互为反向 关于x轴对 对称 延长线 称

2、角2kπ+α π-α π+α 2π-α或-α与角α的正 弦函数值的关系
Sin(2kπ+α)__?____sin α Sin(-α)___?__sin α Sin(2π-α)_?____sin α Sin(π-α)__?____sin α Sin(π+α)__?____sin α

方法一、利用单位圆研究

关于x轴对称的角 的正弦线互为相反数 关于y轴对称的角 的正弦线 相等
Sin(2kπ+α)=sin α Sin(-α)=- sin α Sin(2π-α)=-sin α Sin(π-α)=sin α Sin(π+α)=sin α

π- α

α

正 弦 诱 导 公 式
π+α

函数名不变,符号 看象限



余弦函数的诱导公式 cos(2kπ+α)=cosα cos(-α)=cos α cos(2π-α)=cos α cos(π-α)= - cosα cos(π+α)= - cosα 函数名不变,符号看象限

2、研究角π/2+α与角α的正、余弦函数值的关系 在单位圆中,画出角α和角 π/2+α的终边, 由终边的位置关系可得

Sinα=MP1,cosα=OM Sin(π/2+α)=NP2; cos(π/2+α)=ON Rt△OP1M≌Rt△P2ON
Sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)= -Sinα

π/2+α

P2 P1 α

∴ NP2=OM, ON=-MP1

N

O

M

函数名称变,符号看象限

思考:公式 Sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)= Sinα的证明方法 所有的诱导公式中的角α的取值范围是使 公式有意义的任意角,记忆公式时可将α看成 锐角,从而确定符号. π/2-α P2 P1 α

O NM



正弦、余弦诱导公式 =>正切诱导公式 Sin(2kπ+α)=sin α => tan(2kπ+α)=tan α cos(2kπ+α)=cosα Sin(-α)=- sin α => tan(-α)= - tan α cos(-α)=cos α Sin(2πα)=-sin α => tan(2π-α)= - tan α cos(2π-α)=cos α Sin(π-α)=sin α => tan(π-α)= - tan α cos(π-α)= - cosα Sin(π+α)=sin α => tan(π+α)= tan α cos(π+α)= - cosα

Sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)= -Sinα Sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)= Sinα

=> tan(π/2+α)= -cotα => tan(π/2-α)=cotα

常用的正弦、余弦、正切诱导公式 1、同终边诱导公式 Sin(2kπ+α)=sin α cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tan α 2、负角诱导公式 Sin(-α)=- sin α cos(-α)=cos α tan(-α)= - tan α 3、四象限诱导公式 Sin(2π-α)=-sin α cos(2π-α)=cos α tan(2π-α)= - tan α

4、二象限诱导公式 Sin(π-α)=sin α cos(π-α)= - cosα tan(π-α)= - tan α
5、三象限诱导公式 Sin(π+α)=- sin α cos(π+α)=- cosα tan(π+α)= tan α 视α为锐角,函数名不 变,符号看象限

6、锐角互余诱导公式 7、钝角互余诱导公式 Sin(π/2-α)=cosα Sin(π/2+α)=cosα cos(π/2-α)= Sinα cos(π/2+α)= -Sinα tan(π/2-α)=cotα tan(π/2+α)= -cotα 视α为锐角,函数名称变互余,符号看象限

1、熟记诱导公式的规律;
2、注意符号

例:求值 1)sin(-16500)
2) sin(-150015/) 3) sin(-7π/4) 方法步骤:负角化为正角,正角化为锐角. 例:化简

sin(2? ? ? ) sin(3? ? ? ) sin(?? ? ? ) sin(3? ? ? ) sin(?? ? ? )

例 化简 cos(2? ? ? ) cos(3? ? ? ) () 1 cos(?? ? ? ) cos(3? ? ? ) cos(?? ? ? )
tan(2? ? ? ) tan(3? ? ? ) (2) tan(?? ? ? ) tan(3? ? ? ) tan(?? ? ? )

课外练习
1 (1)已知 cos ?? ? ? ? ? ? ,求 tan?? ? 9?? 的值. 2
(2)已知

3 ?? ? ? 5? ? cos? ? ? ? ? ,求 cos? 的值. ?? ? ?6 ? 3 ? 6 ?

? 3? ? ? 3? ? (3)已知 cos? 的值. ? ? ? ? ,求 3 cos? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ?


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