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重庆市涪陵实验中学2017届高三(上)第一次月考数学试卷(文科)(解析版)


2016-2017 学年重庆市涪陵实验中学高三(上)第一次月考数学 试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M={x|x2+x﹣2<0},N={x|log2x<1},则 M∩N=( A. (﹣2,1) B. (﹣1,2) C. (0,1) D. (1,2) 2.设复数 z= A.﹣1 B.1 (i 为虚数单位) ,则 z 的虚部是( C.﹣i D.i ) D.p 假 q 假 ,则 与 的夹角为( D. ) ) ) )

3.若命题“p 或 q”为真,“非 p”为真,则( A.p 真 q 真 4.设向量 A. B. B.p 假 q 真 满足 C. C.p 真 q 假

5.已知倾斜角为 θ 的直线 l 与直线 m:x﹣2y+3=0 垂直,则 sin2θ=( A. B. C. D.

6.已知 sinφ= ,且 φ∈(

,π) ,函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0)的图象的 ,则 f( )的值为( )

相邻两条对称轴之间的距离等于 A.﹣ B.﹣ C. D.

7.一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视 图的是( )

A.

B.

C.

D.

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8.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损 术”.执行该程序框图,若输入 a,b 分别为 14,18,则输出的 a=( )

A.0

B.2

C.4

D.14 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若|AB|=4,则 )

9.过双曲线 满足条件的直线 l 有(

A.4 条 B.3 条 C.2 条 D.无数条 10.如图,为了测量 A、C 两点间的距离,选取同一平面上 B、D 两点,测出四 边形 ABCD 各边的长度(单位:km) :AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B 与∠D 互补,则 AC 的长为( )km.

A.7

B.8

C.9

D.6 的一个零点,若 a∈(1,x0) ,b∈

11.已知 x0(x0>1)是函数 f(x)=lnx﹣ (x0,+∞) ,则( )

A.f(a)<0,f(b)<0

B.f(a)>0,f(b)>0

C . f ( a )< 0 , f (b )

>0 D.f(a)>0,f(b)<0 12.直线 l 与抛物线 C:y2=2x 交于 A,B 两点,O 为坐标原点,若直线 OA,OB 的斜率 k1,k2 满足 ,则 l 的横截距(
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A.为定值﹣3 B.为定值 3

C.为定值﹣1 D.不是定值

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.如图,在边长为 2 的正方形中随机撒 1000 粒豆子,有 380 粒落到阴影部分, 据此估计阴影部分的面积为 .

14.x,y 满足条件

,则 z=x﹣2y 的最小值是



15. 如图所示, 四面体 P﹣ABC 中, 则四面体 P﹣ABC 的外接球的表面积为 .

PA=4, PB=2, ,



16.已知函数

,则

=



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三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤) 17.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,2a1+1=a2. (Ⅰ) 求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 若数列{bn}满足 an=log2(bn﹣n) ,求{bn}的前 n 项和 Tn. 18. 哈三中某兴趣小组为了调查高中生的数学成绩是否与物理成绩有关系,在高 二年级随机调查了 50 名学生,调查结果表明:在数学成绩较好的 25 人中有 18 人物理成绩好,另外 7 人物理成绩一般;在数学成绩一般的 25 人中有 6 人物理 成绩好,另外 19 人物理成绩一般. (Ⅰ) 试根据以上数据完成以下 2×2 列联表,并运用独立性检验思想,指出是 否有 99.9%把握认为高中生的数学成绩与物理成绩有关系. 数学成绩好 物理成绩好 物理成绩一般 总计 (Ⅱ) 现将 4 名数学成绩好且物理成绩也好的学生分别编号为 1,2,3,4, 数学成绩一般 总计

将 4 名数学成绩好但物理成绩一般的学生也分别编号 1,2,3,4,从这两组学 生中各任选 1 人进行学习交流,求被选取的 2 名学生编号之和不大于 5 的概率. 附: P(K2≥k) k 0.050 3.841 . 19.边长为 4 的菱形 ABCD 中,满足∠DCB=60°,点 E,F 分别是边 CD 和 CB 的中 点,AC 交 BD 于点 H,AC 交 EF 于点 O,沿 EF 将△CEF 翻折到△PEF 的位置,使 平面 PEF⊥平面 ABD,连接 PA,PB,PD,得到如图所示的五棱锥 P﹣ABFED. (Ⅰ)求证:BD⊥PA; (Ⅱ)求点 D 到平面 PBF 的距离. 0.010 6.635 0.001 10.828

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20.已知椭圆 C:

的焦距为 4,设右焦点为 F,过原点 O 的

B 两点, 直线 l 与椭圆 C 交于 A, 线段 AF 的中点为 M, 线段 BF 的中点为 N, 且 ? =﹣ .

(Ⅰ) 若离心率 e= ,求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求椭圆 C 的长轴长的取值范围. 21.已知函数 f(x)= ax2﹣(2a+1)x+2lnx(a∈R) (1)当 a= 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)设 g(x)=(x2﹣2x)ex,如果对任意 x1∈(0,2],均存在 x2∈(0,2], 使得 f(x1)<g(x2)成立,求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分.[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,A,B 是⊙O 上的两点,P 为⊙O 外一点,连结 PA,PB 分别交⊙O 于 点 C,D,且 AB=AD,连结 BC 并延长至 E,使∠PEB=∠PAB. (Ⅰ) 求证:PE=PD; (Ⅱ) 若 AB=EP=1,且∠BAD=120°,求 AP.

[选修 4-4:极坐标和参数方程]
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23.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) .在极坐

标与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为 极轴的极坐标系中,圆 C 的方程为 ρ=4cosθ. (Ⅰ) 求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ) 设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为(2,1) ,求|PA|+|PB|.

[选修 4-5:不等式选讲] 24.设函数 f(x)=|x+2|+|x﹣2|,x∈R,不等式 f(x)≥6 的解集为 M. (Ⅰ) 求 M (Ⅱ) 当 a,b∈M 时,求证: .

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2016-2017 学年重庆市涪陵实验中学高三(上)第一次月 考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M={x|x2+x﹣2<0},N={x|log2x<1},则 M∩N=( A. (﹣2,1) B. (﹣1,2) C. (0,1) D. (1,2) 【考点】交集及其运算. 【分析】利用交集的性质和不等式的性质求解. 【解答】解:集合 M={x|x2+x﹣2<0}=(﹣2,1) ,N={x|log2x<1}=(0,2) , 则 M∩N=(0,1) , 故选:C. )

2.设复数 z= A.﹣1 B.1

(i 为虚数单位) ,则 z 的虚部是( C.﹣i D.i



【考点】复数的基本概念. 【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出. 【解答】解:复数 z= 故选:A. = = = = ﹣i,则 z 的虚部是﹣1.

3.若命题“p 或 q”为真,“非 p”为真,则( A.p 真 q 真 B.p 假 q 真 C.p 真 q 假

) D.p 假 q 假

【考点】复合命题的真假. 【分析】根据“非 p”为真,得到 p 假,根据命题“p 或 q”为真,则 p 真或 q 真,从 而得到答案. 【解答】解:若命题“p 或 q”为真,则 p 真或 q 真,
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若“非 p”为真,则 p 为假, ∴p 假 q 真, 故选:B.

4.设向量 A. B.

满足 C. D.

,则 与 的夹角为(



【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由 ⊥( + ) ,得数量积为 0,列出方程求出向量 与 的夹角. 【解答】解:∵向量| |=1,| |= ,且 ⊥( + ) ,

设 与 的夹角为 θ,则有 ?( + )=0, 即 + ? =12+1× , ×cosθ=0,

cosθ=﹣

又 0≤θ≤π, ∴θ= , .

∴ 与 的夹角为 故选:C.

5.已知倾斜角为 θ 的直线 l 与直线 m:x﹣2y+3=0 垂直,则 sin2θ=( A. B. C. D.



【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【分析】求出直线 l 的斜率是﹣2,即 tanθ=﹣2,根据同角的三角函数的关系求 出 sinθ,cosθ 的值,根据二倍角公式计算即可. 【解答】解:直线 m:x﹣2y+3=0 的斜率是: , ∵l⊥m, ∴直线 l 的斜率是﹣2, 故 tanθ=﹣2,∴ <θ< ,

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解得:sinθ=

,cosθ=﹣



∴sin2θ=2sinθcosθ=﹣ , 故选:C.

6.已知 sinφ= ,且 φ∈(

,π) ,函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0)的图象的 ,则 f( )的值为( )

相邻两条对称轴之间的距离等于 A.﹣ B.﹣ C. D.

【考点】正弦函数的图象. 【分析】由周期求出 ω,由条件求出 cosφ 的值,从而求得 f( )的值.

【解答】解:根据函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0)的图象的相邻两条对称轴之 间的距离等于 可得 = = , ,∴ω=2. ,π) ,可得 cosφ=﹣ , +φ)=cosφ=﹣ ,

由 sinφ= ,且 φ∈( ∴则 f( 故选:B. )=sin(

7.一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视 图的是( )

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A.

B.

C.

D.

【考点】简单空间图形的三视图. 【分析】由三视图的作法规则,长对正,宽相等,对四个选项进行比对,找出错 误选项. 【解答】 解: 本题中给出了正视图与左视图, 故可以根据正视图与俯视图长对正, 左视图与俯视图宽相等来找出正确选项 A 中的视图满足三视图的作法规则; B 中的视图满足三视图的作法规则; C 中的视图不满足三视图的作法规则中的宽相等,故其为错误选项; D 中的视图满足三视图的作法规则; 故选 C

8.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损 术”.执行该程序框图,若输入 a,b 分别为 14,18,则输出的 a=( )

A.0

B.2

C.4

D.14

【考点】程序框图. 【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 a,b 的值,当 a=b=2 时 不满足条件 a≠b,输出 a 的值为 2. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得
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a=14,b=18 满足条件 a≠b,不满足条件 a>b,b=4 满足条件 a≠b,满足条件 a>b,a=10 满足条件 a≠b,满足条件 a>b,a=6 满足条件 a≠b,满足条件 a>b,a=2 满足条件 a≠b,不满足条件 a>b,b=2 不满足条件 a≠b,输出 a 的值为 2. 故选:B.

9.过双曲线 满足条件的直线 l 有(

的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若|AB|=4,则 )

A.4 条 B.3 条 C.2 条 D.无数条 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】双曲线的两个顶点之间的距离是 2,小于 4,过抛物线的焦点一定有两 条直线使得交点之间的距离等于 4,当直线与实轴垂直时,做出直线与双曲线交 点的纵标,得到也是一条长度等于 4 的线段. 【解答】解:∵双曲线的两个顶点之间的距离是 2,小于 4, ∴当直线与双曲线左右两支各有一个交点时, 过双曲线的焦点一定有两条直线使 得两交点之间的距离等于 4, 当直线与实轴垂直时,有 3﹣ =1,解得 y=±2,

∴此时直线 AB 的长度是 4,即只与右支有交点的弦长为 4 的线仅有一条. 综上可知有三条直线满足|AB|=4, 故选:B.

10.如图,为了测量 A、C 两点间的距离,选取同一平面上 B、D 两点,测出四 边形 ABCD 各边的长度(单位:km) :AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B 与∠D 互补,则 AC 的长为( )km.
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A.7

B.8

C.9

D.6

【考点】解三角形的实际应用. 【分析】分别在△ACD,ABC 中使用余弦定理计算 cosB,cosD,令 cosB+cosD=0 解出 AC. 【解答】解:在△ACD 中,由余弦定理得:cosD= 在△ABC 中,由余弦定理得:cosB= ∵B+D=180°,∴cosB+cosD=0,即 解得 AC=7. 故选:A. + = =0, . = ,

11.已知 x0(x0>1)是函数 f(x)=lnx﹣ (x0,+∞) ,则( )

的一个零点,若 a∈(1,x0) ,b∈

A.f(a)<0,f(b)<0

B.f(a)>0,f(b)>0

C . f ( a )< 0 , f (b )

>0 D.f(a)>0,f(b)<0 【考点】函数零点的判定定理. 【分析】在同一坐标系中作出函数 y=1nx 与 y= 【解答】解:令 f(x)=lnx﹣ =0,从而有 lnx= 的图象,由图可得结论. ,

此方程的解即为函数 f(x)的零点, 在同一坐标系中作出函数 y=1nx 与 y= 由图可得 f(a)<0,f(b)>0, 故选:C. 的图象,

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12.直线 l 与抛物线 C:y2=2x 交于 A,B 两点,O 为坐标原点,若直线 OA,OB 的斜率 k1,k2 满足 ,则 l 的横截距( )

A.为定值﹣3 B.为定值 3 【考点】抛物线的简单性质.

C.为定值﹣1 D.不是定值

【分析】直线 l:x=my+b,代入抛物线方程可化为 y2﹣2my﹣2b=0,y1y2=﹣2b, 结合 ,即可得出结论. = .

【解答】解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则



= ,

∴y1y2=6, 直线 l:x=my+b,代入抛物线方程可化为 y2﹣2my﹣2b=0, ∴y1y2=﹣2b, ∴﹣2b=6,∴b=﹣3, ∴l 的横截距为﹣3 故选:A.

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.如图,在边长为 2 的正方形中随机撒 1000 粒豆子,有 380 粒落到阴影部分, 据此估计阴影部分的面积为 1.52 .

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【考点】几何概型. 【分析】根据几何槪型的概率意义,即可得到结论 【解答】解:正方形的面积 S=22=4,设阴影部分的面积为 S, ∵随机撒 1000 粒豆子,有 380 粒落到阴影部分, ∴由几何槪型的概率公式进行估计得 即 S=1.52, 故答案为:1.52. ,

14.x,y 满足条件

,则 z=x﹣2y 的最小值是

﹣3



【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值 即可. 【解答】解:由 z=x﹣2y 得 y= ,

作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分 ABC) : 平移直线 y=
第 14 页(共 25 页)

由图象可知当直线 y= 由 ,解得

, 过点 A 时, 直线 y= ,即 A(3,3) .

的截距最大, 此时 z 最小,

代入目标函数 z=x﹣2y, 得 z=3﹣2×3=﹣3. ∴目标函数 z=x﹣2y 的最小值是﹣3. 故答案为:﹣3.

15. 如图所示, 四面体 P﹣ABC 中, 则四面体 P﹣ABC 的外接球的表面积为 25π .

PA=4, PB=2, ,



【考点】球的体积和表面积;球内接多面体. 【分析】以 PA、PB、PC 为过同一顶点的三条棱,作长方体如图,则长方体的外 接球同时也是三棱锥 P﹣ABC 外接球.算出长方体的对角线即为球直径,结合球 的表面积公式,可算出三棱锥 P﹣ABC 外接球的表面积. 【解答】解:由题意,以 PA、PB、PC 为过同一顶点的三条棱,作长方体如图, 则长方体的外接球同时也是三棱锥 P﹣ABC 外接球. ∵PA=4,PB=2, ,

∴长方体的对角线长为 5, ∴球直径为 5,半径 R=2.5, 因此,三棱锥 P﹣ABC 外接球的表面积是 4πR2=4π×2.52=25π 故答案为:25π.

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16.已知函数 【考点】函数的值.

,则

=



【分析】利用函数性质及对数运算法则求解. 【解答】解:∵函数 ,



=

+ln3+1+

+ln +1

= = = .

+ +2

+ln3﹣ln3+2

故答案为:



三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤) 17.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,2a1+1=a2. (Ⅰ) 求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 若数列{bn}满足 an=log2(bn﹣n) ,求{bn}的前 n 项和 Tn. 【考点】数列的求和;等差数列的性质. 【分析】 (1)利用已知条件求出首项与公差,然后求解通项公式.
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(2)求出 bn,然后求解数列的和. 【解答】解: (1)由已知 S4=4S2,2a1+1=a2.可得 4a1+6d=4a1+4d,2a1+1=a1+d, 解得 a1=1,d=2,….. 则 an=2n﹣1….. (2)数列{bn}满足 an=log2(bn﹣n) , 则 = ….. ,…

18. 哈三中某兴趣小组为了调查高中生的数学成绩是否与物理成绩有关系,在高 二年级随机调查了 50 名学生,调查结果表明:在数学成绩较好的 25 人中有 18 人物理成绩好,另外 7 人物理成绩一般;在数学成绩一般的 25 人中有 6 人物理 成绩好,另外 19 人物理成绩一般. (Ⅰ) 试根据以上数据完成以下 2×2 列联表,并运用独立性检验思想,指出是 否有 99.9%把握认为高中生的数学成绩与物理成绩有关系. 数学成绩好 物理成绩好 物理成绩一般 总计 (Ⅱ) 现将 4 名数学成绩好且物理成绩也好的学生分别编号为 1,2,3,4, 数学成绩一般 总计

将 4 名数学成绩好但物理成绩一般的学生也分别编号 1,2,3,4,从这两组学 生中各任选 1 人进行学习交流,求被选取的 2 名学生编号之和不大于 5 的概率. 附: P(K2≥k) k 0.050 3.841 . 【考点】独立性检验的应用. 【分析】 (Ⅰ)根据所给数据,得出 2×2 列联表,求出 K2,与临界值比较,即 可得出结论,
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0.010 6.635

0.001 10.828

(Ⅱ)一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件数是 4×4=25 种结果,满足 条件的事件是可以通过列举得到结果,根据概率公式计算即可 【解答】解: (Ⅰ) 数学成绩 好 物理成绩好 物理成绩一般 总计 K2≈11.53>10.828 故有 99.9%把握认为高中生的数学成绩与物理成绩有关系. (Ⅱ)试验发生包含的事件数是 4×4=16 种结果, 从这两组学生中各任选 1 人进行学习交流, 求被选取的 2 名学生编号之和不大于 5, 可以列举出共有(1,1) , (1,2) (1,3) , (1,4) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (3,1) , (3,2) , (4,1)共有 10 种结果, 故被选取的 2 名学生编号之和不大于 5 的概率为 . 18 7 25 数学成绩一 般 6 19 25 总 计 24 26 50

19.边长为 4 的菱形 ABCD 中,满足∠DCB=60°,点 E,F 分别是边 CD 和 CB 的中 点,AC 交 BD 于点 H,AC 交 EF 于点 O,沿 EF 将△CEF 翻折到△PEF 的位置,使 平面 PEF⊥平面 ABD,连接 PA,PB,PD,得到如图所示的五棱锥 P﹣ABFED. (Ⅰ)求证:BD⊥PA; (Ⅱ)求点 D 到平面 PBF 的距离.

【考点】点、线、面间的距离计算. 【分析】 (Ⅰ)根据面面垂直的性质定理即可证明 BD⊥PA; (Ⅱ)设点 D 到平面 PBF 的距离为 h,由等体积可得点 D 到平面 PBF 的距离.
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【解答】 (Ⅰ)证明:∵平面 PEF⊥平面 ABD,平面 PEF∩平面 ABD=EF,PO? PEF, ∴PO⊥平面 ABD 则 PO⊥BD, 又 AO⊥BD,AO∩PO=O,AO? APO,PO? APO, ∴BD⊥平面 APO, ∵AP? 平面 APO,∴BD⊥PA…. (Ⅱ)解:由题意,O 到 BC 的距离为 ∴P 到 BC 的距离为 设 点 D 到 平 面 = PBF , 的 距 离 为 , ∴h= … h , 则 由 等 体 积 可 得 ,PO= ,

20.已知椭圆 C:

的焦距为 4,设右焦点为 F,过原点 O 的

B 两点, 直线 l 与椭圆 C 交于 A, 线段 AF 的中点为 M, 线段 BF 的中点为 N, 且 ? =﹣ .

(Ⅰ) 若离心率 e= ,求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求椭圆 C 的长轴长的取值范围. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (Ⅰ)由椭圆的焦距为 4,离心率 e= ,列出方程组,求出 a,b,由此 能求出椭圆 C 的方程. (2)设 ,推

导出

, 设 l 方 程 为 y=kx , 和 椭 圆 方 程 ,由此能求出长轴长的取值范围.

联立,得到

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【解答】解: (Ⅰ)∵椭圆 C:

的焦距为 4,离心率 e= ,



,解得 a=4,c=2,b=

=2



∴椭圆 C 的方程



(2)∵右焦点为 F(2,0) ,过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点, 线段 AF 的中点为 M,线段 BF 的中点为 N,且 ∴设 ,则 设 l 方程为 y=kx,和椭圆方程 , 联立, ? =﹣ . ,

消元整理得 ∴当 =0 时,

, =5,a2﹣4=5,解得 a=3;当 . 时, ,a= .

∴长轴长的取值范围是

21.已知函数 f(x)= ax2﹣(2a+1)x+2lnx(a∈R) (1)当 a= 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)设 g(x)=(x2﹣2x)ex,如果对任意 x1∈(0,2],均存在 x2∈(0,2], 使得 f(x1)<g(x2)成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 (1)利用导数直接求单调区间; (2)若要命题成立,只需当 x∈(0,2]时,f(x)max<g(x)max.分别求出最 大值即可.
第 20 页(共 25 页)

【解答】解: (1)f′(x)=ax﹣(2a+1)+ ,… 所以 a= 时,f′(x)= , . …

其单调递增区间为(0, ) , (2,+∞) ,单调递减区间为(

(2)若要命题成立,只需当 x∈(0,2]时,f(x)max<g(x)max. 由 g′(x)=(x2﹣2)ex 可知,当 x∈(0,2]时,g(x)在区间(0, 递减,在区间( ,2]上单调递增, )上单调

g(0)=g(2)=0,故 g(x)max=0,… 所以只需 f(x)max<0. 对函数 f(x)来说,f′(x)=ax﹣(2a+1)+ = 当 a≤0 时,由 x∈(0,2],f′(x)≥0,函数 f(x)在区间(0,2]上单调递增, f(x)max=f(2)=2ln2﹣2a﹣2<0,故 ln2﹣1<a≤0 当 0<a≤2 时, ,由 x∈(0,2) ,ax﹣1≥0,故 f′(x)≥0,

函数 f(x)在区间(0,2)上单调递增, f(x)max=f(2)=2ln2﹣2a﹣2<0,a>ln2﹣1 故 0<a≤2 满足题意 当 a> 时, 上单调递减, f(x)max=f( =﹣2lna﹣ ﹣2. ,函数 f(x)在区间(0, )上单调递增,在区间(

若 a≥1 时,显然小于 0,满足题意; 若 时,可令 h(a)=﹣2lna﹣ 时单调递减, ,满足题意,所以 a> 满足题意. 综上所述:实数 a 的取值范围是(ln2﹣1,+∞) … ﹣2 , ,

可知该函数在

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分.[选修 4-1:几何证明选讲]
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22.如图,A,B 是⊙O 上的两点,P 为⊙O 外一点,连结 PA,PB 分别交⊙O 于 点 C,D,且 AB=AD,连结 BC 并延长至 E,使∠PEB=∠PAB. (Ⅰ) 求证:PE=PD; (Ⅱ) 若 AB=EP=1,且∠BAD=120°,求 AP.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (Ⅰ) 证连结 DC, 只要判断△PEC≌△PDC, 利用三角形全等的性质即得. (Ⅱ)判断△ABC∽△APB,利用全等的性质得到 AB2=AP?AC=AP(AP﹣PC) ,进 一步得到 ,解得;

【解答】 (Ⅰ)证明:连结 DC, 因为∠PCE=∠ACB=∠ADB,∠PCD=∠ABD,又因为 AB=AD, 所以∠ABD=∠ADB, 所以∠PCE=∠PCD… 由已知∠PEB=∠PAB,∠PDC=∠PAB, 所以∠PEC=∠PDC,且 PC=PC, 所以△PEC≌△PDC,所以 PE=PD… (Ⅱ)因为∠ACB=∠PBA,∠BAC=∠PAB 所以△ABC∽△APB,则 AB2=AP?AC=AP(AP﹣PC) , 所以 AP2﹣AB2=AP?PC=PD?PB=PD(PD+BD) 又因为 PD=AB,AB=1,所以 所以 所以 . … ,…

[选修 4-4:极坐标和参数方程]
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23.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) .在极坐

标与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为 极轴的极坐标系中,圆 C 的方程为 ρ=4cosθ. (Ⅰ) 求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ) 设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为(2,1) ,求|PA|+|PB|. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)利用 x=ρcosθ,ρ2=x2+y2,将曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ,两边 同乘 ρ,化成直角坐标方程; (2)利用参数的几何意义,即可求|PA|+|PB|. 【解答】解: (1)曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ,所以 ρ2=4ρcosθ,它的直角 坐标方程是:x2+y2=4x,即(x﹣2)2+y2=4…. (2)设点 A、B 对应的参数分别为 t1,t2,将 ,代入(x﹣2)2+y2=4

整理得 又|PA|+|PB|=

,则

,….. …..

[选修 4-5:不等式选讲] 24.设函数 f(x)=|x+2|+|x﹣2|,x∈R,不等式 f(x)≥6 的解集为 M. (Ⅰ) 求 M (Ⅱ) 当 a,b∈M 时,求证: 【考点】不等式的证明;绝对值不等式的解法. 【分析】 (I)对 x 进行讨论,化简 f(x) ,解不等式即可; (II)使用作差法比较它们的平方即可得出大小关系. 【解答】解: (I)当 x≤﹣2 时,f(x)=﹣x﹣2﹣x+2=﹣2x, 令﹣2x≥6 得 x≤﹣3, 当﹣2<x<2 时,f(x)=x+2+2﹣x=4,
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当 x≥2 时,f(x)=x+2+x﹣2=2x, 令 2x≥6 得 x≥3, 综上,f(x)≥6 的解集为 M=(﹣∞,﹣3]∪[3,+∞) . (II)证明:∵( |a+b|)2﹣(|ab+3|)2=3(a2+2ab+b2)﹣(a2b2+6ab+9) ,

=3a2+3b2﹣a2b2﹣9=(a2﹣3) (3﹣b2) , ∵a,b∈M, ∴(a2﹣3) (3﹣b2)<0,即( ∴( ∵ |a+b|)2<(|ab+3|)2, |a+b|≥0,|ab+3|≥0, |a+b|<|ab+3|. |a+b|)2﹣(|ab+3|)2<0,

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2017 年 3 月 29 日

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