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【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)课件:专题整合6(数列)


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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第六章
数 列

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/>1

知 识 网 络

2

题 型 归 类

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知识网络

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题型归类

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函数与方程的思想在数列中的应用 在数列中,数列本身就是一种函数.这种函数的定义域是 N+(或其子集),从而表现在图像上就是孤立的点.数列具有单

调性,如等差数列 ( 除去公差为 0 的情况 ) ,等比数列 ( 如 a1>0,
q>1).因此研究数列问题,可以类比函数的一些性质来研究, 用运动变化的观点来研究,例如数列中求某项的范围问题,某 个字母的范围问题、最值问题等就可以利用函数思想,转化成 求函数值域问题,或解不等式.在等差、等比数列问题中,已 知五个基本量中的几个,求另外几个时,往往是设出基本量, 建立方程或方程组来解决问题.但需注意数列看作函数时的定 义域与一般函数定义域的区别.
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已 知 数 列

{an}的 前 n项 和 为 an;

Sn , 点 (n,Sn)在 函 2 ( 2an-1 n∈N+).

数 f(x)=2x-1 的 图 像 上 , 数 列 1 ( ) 求 数 列 {an}的 通 项 公 式

{bn}满 足 bn=o l g

2 ( ) 当 数 列 {bn}的 前 n项 和 最 小 时 , 求

n的 值 ; Tn<bn 的 解 集 .

3 ( ) 设 数 列 {bn}的 前 n项 和 为 Tn , 求 不 等 式

[ 思路分析]

先利用函数关系求出 Sn 的 表 达 式 , 再 依

an 与

Sn 关系求出 an.进而求出 bn、Tn,使问题解决.

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[规范解答] 由题意得Sn=2n-1.
(1)当n=1时,a1=S1=1; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1. 又∵a1=1=21-1,∴an=2n-1. (2)bn=log2an-12=log22n-1-12

=(n-1)-12=n-13,
∴bn=n-13,令bn≥0得n≥13, ∴数列{bn}的前12项均为负数,第13项为0,从第14项起均 为正数. ∴当n=12或13时,数列{bn}的前n项和最小.
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3 ( ) ∵bn+1-bn=1,∴数列{bn}为等差数列. n?n-25? ∴Tn= <n-13, 2 整理得 n2-27n+2 6 < 0 ,解得 1<n< 2 6 . ∴Tn<bn 的解集为{n1 < | n< 2 6 ,n∈N+}.

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设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项 和 , 已 知
?Sn? S15=-75,Tn 为数列? n ?的前 ? ?

S7=21,

n 项和,求 Tn 的最大值.

[ 思路分析]

列方程组可求得 Sn, 继 而 求 得

Tn,把 Tn 看成

关于自变量 n 的函数来求最大值即可.

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[规 范 解 答

]

设 等 差 数 列

{an}公 差 为 d,

1 则 Sn=n a 1+2n(n-1 ) D. ∵S7=2 1 ,S15= -7 5,
? 1 d=2 1, ?7a1+2 ∴? ? 5 a1+1 0 5 d= -7 5 ?1 ? ?a1+3d=3, 即? ? - 5, ?a1+7d=



解 得

? ?a1=9, ? ? -2 . ?d=

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n?n-1? ∴Sn=n a 1+ 2 d=9n-(n2-n)=1 0 n-n2, Sn 则 n =1 0 -n, Sn+1 Sn ∵ -n= - 1, n+1 ∴数 列
?Sn? ? ?是 以 ?n?

9为 首 项 , 公 差 为 -

1的 等 差 数 列 .

n9 [ · +?1 0 -n?] 1 2 1 9 则 Tn= = - 2n + 2 n 2 9 ?2 3 1? 1 6 1 = - 2?n- 2 ? + 8 . ? ? ∵n∈N+,∴当 n=9 或 n=1 0 时 , Tn 有 最 大 值 4 5 .
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分类讨论思想在数列中的应用 分类讨论思想在数列中的体现,主要是表现在对字母范围 的讨论上.例如,涉及等比数列前n项和问题时,需要对公比q 进行讨论,在对公比 q 进行讨论时,除去 q = 1 , q≠1 两种情况 外,有时还需对 0<q<1 及 q>1 进行讨论,这需认真审题弄清题 意,切实做到分类讨论时不漏不重,合情合理.已知 Sn 求 an

时,需对n =1与n≥2两种情况进行讨论.最后需进行验证,能
否将通项公式写为一个通式.若能,则写为一个通式;若不 能,则需写成分段函数的形式. 1.在研究与项数有关的问题时,有时需对n是奇数还是偶 数进行讨论.
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在数列{an}中,a1=1,an· an+1=3n.求数列{an}的 前 n 项和 Sn.

[规 范 解 答

]

∵a1=1,an· an+1=3n,

∴a2=3,an+1· an+2=3n+1, an+2 ∴ a =3, n ∴a1,a3,a5,…,a2m-1,…是 以 1为 首 项 , 比 数 列 . a2,a4,a6,…,a2m,…是 以 3为 首 项 , 3为 公 比 的 等 比 数 列 .
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3为 公 比 的 等

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所以当 n 为奇数 2m-1 时, Sn =(a1 + a3+a5 +…+a2m-1) +(a2+a4 +a6 +…+a2m-2)= 1-3m 3?1-3m-1? + 1-3 1-3 n+1 =3 -2=3 2 -2;
m

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当n为 偶 函 数

2m 时 ,

Sn=(a1+a2+a3+…+a2m-1)+a2m n =3 -2+3 =2×3 -2=2×32-2 .
m m m

? n+1 奇 数 , ?3 2 -2,n为 ∴Sn=? ?2×3n-2,n为 偶 数 . 2 ?

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2. 涉 及 等 比 数 列 前 讨 论 : q=1 或 q≠1 . 设 等 比 数 列 1 2 , ,…). 1 ( ) 求q的 取 值 范 围 ;

n项 和 问 题 时 , 有 时 需 要 对 公 比

q进 行

{an}的 公 比 为

q, 前 n项 和 Sn> 0 ( n=

3 2 ( ) 设 bn=an+2-2an+1,记{bn}的 前 n项 和 为 Tn, 试 比 较 和 Tn 的 大 小 .

Sn

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[规 范 解 答

]

1 ( ) 因 为 {an}是 等 比 数 列 ,

Sn>0,

可 得 a1=S1>0,q≠0 . 当 q=1 时 , Sn=n a 1>0; a1?1-qn? 1-qn 当 q≠1 时 , Sn= >0,∴ > 0 . 1-q 1-q
? ?1-q<0 ∴? n ? ?1-q <0 ? ?1-q>0 或? n ? ?1-q >0

.

∴-1 < q<0 或 0 < q<1 或 q> 1 . 综 上 所 述 , q>-1 且 q≠0 .

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? 2 3 ? 3 2 ( ) 由 bn=an+2-2an+1 得 bn=an?q -2q?, ? ? ? 2 3 ? ∴Tn=?q -2q?Sn ? ? ? 2 3 ? ? 1? ∴Tn-Sn=Sn?q -2q-1?=Sn?q+2?(q-2 ) ? ? ? ?



1 ∴当 -1 < q<-2或 q>2 时 , Tn>Sn; 1 当 - 2<q<2 且 q≠0 时 , Tn<Sn; 1 当 q= - 2或 q=2 时 , Tn=Sn.
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转化思想在数列中的运用 在数列中,处处体现转化与化归的思想.例如,求 a1 、 an、n、Sn、d、q时,往往是设出基本量,转化为解方程(组)问 题;等差数列的单调性、前 n 项和最值问题可转化为解不等式 组、二次函数或利用图像来解决;数列的求和问题往往转化为

等差、等比数列的求和问题;求数列的通项公式、解数列应用
题等都要进行相应的转化.

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5 1 数 列 {an}中 , a1=7,an=2- (n≥2,n∈N+), an-1 1 数 列 {bn}满 足 bn= (n∈N+). an-1 1 ( ) 求 证 : 数 列 2 ( ) 求 an; 3 ( ) 求 数 列 {an}中 的 最 大 项 与 最 小 项 . {bn}是 等 差 数 列 ;

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[ 思路分析 ]
定义证明.

(1) 根据已知 an 与bn 的关系式利用等差数列的

(2) 利用 (1) 的结论,数列 {bn} 是等差数列,确定其通项公 式,根据已知an与bn的关系求解. (3)利用(2)的结论,即求出的an的表达式,利用函数的单调

性求解即可. [ 规范解答]
= 1 1

1 1 (1)证明:∵bn-bn-1= - an-1 an-1-1 1 - =1(n≥2). an-1-1

2- -1 an-1

∴{bn}是等差数列.
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2 ( ) ∵{bn}是 等 差 数 列 , 首 项

1 7 b1= = - 2且 公 差 为 a1-1

1,

7 9 ∴bn= - 2+(n-1 ) ×1, 即 bn=n-2, 2n-7 1 9 1 ∴ =n-2,an= 9+1=2n-9. an-1 n-2

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3 ( ) ∵an= 9+1, n-2 而函数 f(x)= 数 , ∴a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>…, 且 当 n≤4 时 , an<1;当 n>4 时 , an>1, ∴最 大 项 为 a5=3, 最 小 项 为 a4= -1 . 9+1 x-2 1
? 9? ?9 + 在?-∞,2?,?2, ? ? ? ? ∞?上都是减函 ?

1

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数形结合思想在数列中的运用
数形结合是解决数列问题的过程中常用的思想方法之一, 数形结合的思想可以使某些抽象的数列问题直观化、形象化、 生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握问题的本

质,使得问题迎刃而解,解法简便快捷.

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等差数列{an}中,a1=25,S17=S9, 问 数 列 前 多 少项和最大? [规 范 解 答 ]

d 2 d Sn=2n +(a1-2)n,d< 0 . 如 图 .

Sn 的 图 像 是 开 口 向 下 的 抛 物 线 上 一 群 离 散 的 点 , 最 高 点 的 横 坐 标 为 9+1 7 3 . 2 =1 S17=S9 和 a1=2 5 可 求 得 d, 进 而 求 得 S13
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即 S13 最 大 , 由 =1 6 9 .

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定义的应用 深刻理解等差、等比数列的定义,能正确运用定义和等 差、等比数列的性质,是学好本板块的关键.在正确理解定义 的基础上,要认真分析等差数列、等比数列定义中所蕴含的各 自的特点,不要被某些问题的表面现象所迷惑,特别是一些与

定义有关的题目,可能会在关键词部位做手脚,使人产生错觉
而出错.

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已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,又有数列{bn}, 它们满足关系 b1=a1,对 n∈N+,有 an+Sn=n,bn+1=an+1-an. 求证:数列{bn}是等比数列,并写出它的通项公式. 1 [ 规范解答] 当 n=1 时,a1=S1,故 a1=b1=2.

当 n≥2 时,an+Sn=n,an+1+Sn+1=n+1, 两 式 相 减 得
+1

2an

-an=1 将①中的 n 换为 n-1,有 2an-an-1=1

① ②

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由①-②得 2 ( an+1-an)-(an-an-1)=0 ( n≥2 ), 即 2bn+1=bn(n≥2 ), bn+1 1 于 是 b =2(n≥2 ). n 3 1 又 由 a2+S2=2, 得 a2=4,b2=a2-a1=4, bn+1 1 b2 1 于 是 b =2.所 以 b =2(n∈N+). n 1 因 此 , 数 列 通 项 公 式 为 {bn}是 等 比 数 列 , 公 比 1 bn=2n(n∈N+).
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1 q=2, 首 项 为

1 2,

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