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【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)压轴大题突破练 三角函数


中档大题规范练
中档大题规范练——三角函数
?sin x-cos x?sin 2x 1.已知函数 f(x)= . sin x (1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间. 解 (1)由 sin x≠0 得 x≠kπ(k∈Z), 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}. ?sin x-cos x?sin 2x 因为 f(x)= sin x =2cos x(sin x-cos x) =sin 2x-2cos2x =sin 2x-(1+cos 2x) π 2x- ?-1, = 2sin? 4? ? 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π. 2 (2)函数 y=sin x 的单调递增区间为 ?2kπ-π,2kπ+π?(k∈Z). 2 2? ? π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,x≠kπ(k∈Z), 2 4 2 π 3π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,x≠kπ(k∈Z). 8 8 所以 f(x)的单调递增区间为 ?kπ-π,kπ?和?kπ,kπ+3π?(k∈Z). 8 8? ? ? ? 2.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,角 B 所对的边 b= 3,且函数 f(x)=2 3sin2x +2sin xcos x- 3在 x=A 处取得最大值. (1)求 f(x)的值域及周期; (2)求△ABC 的面积. 解 (1)因为 A,B,C 成等差数列, 所以 2B=A+C,又 A+B+C=π, π 2π 所以 B= ,即 A+C= . 3 3
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因为 f(x)=2 3sin2x+2sin xcos x- 3 = 3(2sin2x-1)+sin 2x=sin 2x- 3cos 2x π? =2sin? ?2x-3?, 2π 所以 T= =π. 2 π? 又因为 sin? ?2x-3?∈[-1,1], 所以 f(x)的值域为[-2,2]. (2)因为 f(x)在 x=A 处取得最大值, π? 所以 sin? ?2A-3?=1. 2 π π 因为 0<A< π,所以- <2A- <π, 3 3 3 π π 故当 2A- = 时,f(x)取到最大值, 3 2 5 π 所以 A= π,所以 C= . 12 4 3 c 由正弦定理,知 = ?c= 2. π π sin sin 3 4 π π 2+ 6 + ?= 又因为 sin A=sin? , ?4 6? 4 3+ 3 1 所以 S△ABC= bcsin A= . 2 4 3.已知函数 f(x)= 3sin 2x+2cos2x+a. (1)求函数 f(x)的最小正周期以及单调递增区间; π (2)当 x∈[0, ]时,函数 f(x)有最大值 4,求实数 a 的值. 4 解 f(x)= 3sin 2x+2cos2x+a =cos 2x+ 3sin 2x+1+a π =2sin(2x+ )+a+1. 6 (1)函数 f(x)的最小正周期为 2π =π, 2 π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 6 2 π π 解得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 3 6 π π 故函数 f(x)的单调递增区间为[kπ- ,kπ+ ](k∈Z). 3 6 π π π 2π (2)∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , ], 4 6 6 3 π 1 从而 sin(2x+ )∈[ ,1]. 6 2 π ∴f(x)=2sin(2x+ )+a+1∈[a+2,a+3], 6
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∵f(x)有最大值 4,∴a+3=4,故 a=1. π 4.设向量 a=( 3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈[0, ]. 2 (1)若|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a· b,求 f(x)的最大值. 解 (1)由|a|2=( 3sin x)2+(sin x)2=4sin2x, |b|2=(cos x)2+(sin x)2=1, 由|a|=|b|,得 4sin2x=1. π 1 又 x∈[0, ],从而 sin x= , 2 2 π 所以 x= . 6 (2)f(x)=a· b= 3sin x· cos x+sin2x 3 1 1 = sin 2x- cos 2x+ 2 2 2 π 1 =sin(2x- )+ . 6 2 π π π 当 x= ∈[0, ]时,sin(2x- )取最大值 1, 3 2 6 3 所以 f(x)的最大值为 . 2 π 5.已知函数 f(x)=4cos ωx· sin(ωx- )+1(ω>0)的最小正周期是 π. 6 (1)求 f(x)的单调递增区间; π 3π (2)求 f(x)在[ , ]上的最大值和最小值. 8 8 π 解 (1)f(x)=4cos ωx· sin(ωx- )+1 6 =2 3sin ωxcos ωx-2cos2ωx+1 π = 3sin 2ωx-cos 2ωx=2sin(2ωx- ). 6 2π 最小正周期是 =π,所以 ω=1, 2ω π 从而 f(x)=2sin(2x- ). 6 π π π 令- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z. 2 6 2 π π 解得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z. 6 3 π π 所以函数 f(x)的单调递增区间为[- +kπ, +kπ](k∈Z). 6 3 π 3π π π 7π (2)当 x∈[ , ]时,2x- ∈[ , ], 8 8 6 12 12 6 - 2 π f(x)=2sin(2x- )∈[ ,2], 6 2 6- 2 π 3π 所以 f(x)在[ , ]上的最大值和最小值分别为 2, . 8 8 2
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6.在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为 15° ,如图所示, 向山顶前进 100 m 后,又从 B 点测得斜度为 45° ,设建筑物的高为 50 m.求此山对于地平面 的斜度 θ 的余弦值.

解 在△ABC 中,∠BAC=15° ,∠CBA=180° -45° =135° ,AB=100 m, 所以∠ACB=30° . 100 BC 100sin 15° 由正弦定理,得 = ,即 BC= . sin 30° sin 15° sin 30° 100sin 15° 在△BCD 中,因为 CD=50,BC= ,∠CBD=45° ,∠CDB=90° +θ, sin 30° 100sin 15° sin 30° 50 由正弦定理,得 = , sin 45° sin?90° +θ? 解得 cos θ= 3-1. 因此,山对地面的斜度的余弦值为 3-1.

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中档大题规范练——数列
1.已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足:a2a4=64,a1+a5=18. (1)若 1<i<21,a1,ai,a21 是某等比数列的连续三项,求 i 的值. n (2)设 bn= ,是否存在一个最小的常数 m 使得 b1+b2+…+bn<m 对于任意的正整数 n ?2n+1?Sn 均成立,若存在,求出常数 m;若不存在,请说明理由. 解 (1)数列{an}为等差数列,因为 a1+a5=a2+a4=18, 又 a2a4=65,所以 a2,a4 是方程 x2-18x+65=0 的两个根, 又公差 d>0,所以 a2<a4,所以 a2=5,a4=13. ?a1+d=5, ? 所以? ① ? ?a1+3d=13, 所以 a1=1,d=4.所以 an=4n-3. 由 1<i<21,a1,ai,a21 是某等比数列的连续三项, 所以 a1a21=a2 i, 即 1×81=(4i-3)2,解得 i=3. n?n-1? (2)由(1)知,Sn=n×1+ ×4=2n2-n, 2 1 1 1 1 所以 bn= = ( - ),② ?2n-1??2n+1? 2 2n-1 2n+1 所以 b1+b2+…+bn 1 1 1 1 1 1 = (1- + - +…+ - ) 2 3 3 5 2n-1 2n+1 n = , 2n+1 n 1 1 1 因为 = - < ,③ 2n+1 2 2?2n+1? 2 1 所以存在 m= 使 b1+b2+…+bn<m 对于任意的正整数 n 均成立. 2 2.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 a1≠0,2an-a1=S1· Sn,n∈N*. (1)求 a1,a2,并求数列{an}的通项公式; (2)求数列{nan}的前 n 项和.
2 解 (1)令 n=1,得 2a1-a1=a2 1,即 a1=a1.

因为 a1≠0,所以 a1=1. 令 n=2,得 2a2-1=S2=1+a2,解得 a2=2. 当 n≥2 时,由 2an-1=Sn,2an-1-1=Sn-1,
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两式相减得 2an-2an-1=an,即 an=2an-1. 于是数列{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列. 因此,an=2n 1.


所以数列{an}的通项公式为 an=2n 1.


(2)由(1)知,nan=n· 2n 1 .


记数列{n· 2n 1}的前 n 项和为 Bn,于是


Bn=1+2×2+3×22+…+n×2n 1,①


2Bn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n.② ①-②,得 -Bn=1+2+22+…+2n 1-n· 2n=2n-1-n· 2n.


从而 Bn=1+(n-1)· 2 n. 即数列{nan}的前 n 项和为 1+(n-1)· 2n. 3.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn=an+1-2n 1+1,n∈N*,且 a1=1,设数列{bn}满足


bn=an+2n. (1)求证数列{bn}为等比数列,并求出数列{an}的通项公式; 6n-3 (2)若数列 cn= ,Tn 是数列{cn}的前 n 项和,证明:Tn<3. bn n+1 ? ?2Sn=an+1-2 +1, (1)解 当 n≥2 时,由? n ?2Sn-1=an-2 +1 ? ?2an=an+1-an-2n ?an+1=3an+2n, 从而 bn+1=an+1+2n 1=3(an+2n)=3bn,


故{bn}是以 3 为首项,3 为公比的等比数列, bn=an+2n=3×3n 1=3n,


an=3n-2n(n≥2), 因为 a1=1 也满足,于是 an=3n-2n. 6n-3 2n-1 (2)证明 cn= = n-1 , bn 3 2n-3 2n-1 1 3 5 则 Tn= 0+ 1+ 2+…+ n-2 + n-1 ,① 3 3 3 3 3 2n-3 2n-1 1 1 3 5 T = + + +…+ n-1 + n ,② 3 n 31 32 33 3 3 2n-1 2 1 2 2 2 ①-②,得 Tn= 0+ 1+ 2+…+ n-1- n 3 3 3 3 3 3
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1 1- n-1 3 2n-1 2 =1+ · - n 3 1 3 1- 3 2n-1 1 =2- n-1- n 3 3 2?n+1? =2- , 3n n+1 故 Tn=3- n-1 <3. 3 1 2 4.已知单调递增数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 Sn= (an +n). 2 (1)求数列{an}的通项公式; 1 ? ?a2 -1,n为奇数, +1 n (2)设 c =?
n

? ?3×2an-1+1,n为偶数,

求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

1 解 (1)n=1 时,a1= (a21+1),得 a1=1, 2 1 2 由 Sn= (an+n),① 2 1 则当 n≥2 时,Sn-1= (a2 +n-1),② 2 n-1 1 ①-②得 an=Sn-Sn-1= (a2 -a2 +1), 2 n n-1
2 化简得(an-1)2-an -1=0,

an-an-1=1 或 an+an-1=1(n≥2), 又{an}是单调递增数列,故 an-an-1=1, 所以{an}是首项为 1,公差为 1 的等差数列,故 an=n. 1 ? ?a2 -1,n为奇数, + (2)cn=? n 1

? ?3×2an-1+1,n为偶数,

当 n 为偶数时, Tn=(c1+c3+…+cn-1)+(c2+c4+…+cn) 1 1 1 n - =( 2 + 2 +…+ 2 )+3×(21+23+…+2n 1)+ 2 2 -1 4 -1 n -1 n 2?1-4 ? 2 n 1 1 1 = + +…+ +3× + 2 1×3 3×5 ?n-1?×?n+1? 1-4 1 1 1 1 1 1 1 n n = ×( - + - +…+ - )+2×(4 -1)+ 2 1 3 3 5 2 2 n-1 n+1 2 n -2n-4 + =2n 1+ . 2?n+1? 当 n 为奇数时, Tn=(c1+c3+…+cn)+(c2+c4+…+cn-1)
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n-1 1 1 1 - + 2 +…+ ]+3×(21+23+…+2n 2)+ 2 2 2 -1 4 -1 ?n+1? -1 n-1 n-1 1 1 1 1 1 1 1 = ×( - + - +…+ - )+2×(4 -1)+ 2 1 3 3 5 n n+2 2 2 2 n -2n-9 =2n+ . 2?n+2? =[
2

n -2n-9 2+ ? ? 2?n+2? ?n为奇数?, 所以 T =? n -2n-4 2 + ?n为偶数?. ? ? 2?n+1?
n n 2 n+1

2

2x+3 1 5.已知函数 f(x)= ,数列{an}满足 a1=1,an+1=f( ),n∈N*. 3x an (1)求数列{an}的通项公式; m-2 014 1 (2)令 bn= (n≥2),b1=3,Sn=b1+b2+…+bn,若 Sn< 对一切 n∈N*恒成立,求 2 an-1an 最小正整数 m. 2 +3 an 2+3an 1 2 解 (1)∵an+1=f( )= = =an+ , an 3 3 3 an 2 ∴{an}是以 1 为首项, 为公差的等差数列. 3 2 2 1 ∴an=1+(n-1)× = n+ . 3 3 3 1 1 (2)当 n≥2 时,bn= = 2 1 2 1 an-1an ? n- ?? n+ ? 3 3 3 3 1 9 1 1 = = ( - ), ?2n-1??2n+1? 2 2n-1 2n+1 9 9 1 又 b1=3= (1- ), 2 3 9 1 1 1 1 1 9 1 9n ∴Sn=b1+b2+…+bn= (1- + - +…+ - )= (1- )= , 2 3 3 5 2 2n-1 2n+1 2n+1 2n+1 m-2 014 ∵Sn< 对一切 n∈N*恒成立, 2 9n m-2 014 即 < 对一切 n∈N*恒成立, 2 2n+1 m-2 014 9 9n 9 又 < ,∴ ≥ , 2 2 2n+1 2 即 m≥2 023. ∴最小正整数 m 为 2 023. 6.某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中 的维护费用会逐年增加,第一年的维护费用是 4 万元,从第二年到第七年,每年的维护费用 均比上年增加 2 万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加 25%.
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(1)设第 n 年该生产线的维护费用为 an,求 an 的表达式; (2)若该生产线前 n 年每年的平均维护费用大于 12 万元时,需要更新生产线.求该生产线前 n 年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线? 解 (1)由题意知,当 n≤7 时,数列{an}是首项为 4,公差为 2 的等差数列, 所以 an=4+(n-1)×2=2n+2. 当 n≥8 时, 数列{an}从 a7 开始构成首项为 a7=2×7+2=16, 5 公比为 1+25%= 的等比数列, 4 5 ?n-7 则此时 an=16×? ?4? , 2n+2,n≤7, ? ? 所以 an=? ?5?n-7 ? ?16×?4? ,n≥8. (2)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和, n?n-1? 当 1≤n≤7 时,Sn=4n+ ×2=n2+3n, 2 当 n≥8 时,由 S7=72+3×7=70, 5?n-7 1-? ?4? 5?n-7 5 则 Sn=70+16× × =80×? ?4? -10, 4 5 1- 4 ∴该生产线前 n 年的每年平均维护费用为 n+3,1≤n≤7, ? S ?5? = n ?80×?4? -10 ,n≥8. ? n
n n-7

?Sn? 当 1≤n≤7 时,? n ?为递增数列, ? ?

当 n≥8 时,

?5?n-6 ?5?n-7 Sn+1 Sn 80×?4? -10 80×?4? -10 ∵ - = - n n+1 n n+1 5?n-7 ?n ? 80×? ?4? · ?4-1?+10 = >0, n?n+1? Sn+1 Sn ∴ > . n+1 n ?Sn? ∴? n ?也为递增数列. ? ? 5 80× -10 4 S7 S8 又∵ =10<12, = =11.25<12, 7 8 8
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5?2 80×? ?4? -10 S9 = ≈12.78>12, 9 9 则第 9 年年初需更新生产线.

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