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成都市实验外国语学校高2012级(高三)12月月考数学试题理科


成都市实验外国语学校高 2012 级(高三)12 月月考数学试题 理科 命题人:赵光明
一、选择题:本大题共 10 小题 ,每小题 5 分,共 50 分. 1、复数 z 为纯虚数,若 (2 ? i ) z ? a ? i ( i 为虚数单位),则实数 a 的值为( D A. ? )

1 2

B.2

C.

? 2

D.

1 2

2、在锐角△ ABC 中,角 A 、B、C 所对应的边分别为 a, b, c ,若 b ? 2a sin B ,则角 A 等 于( A )
o A. 30
o B. 45

C.

60o

D.

75o
D )

3、已知等差数列 A. ? 2014

?an ?中, a2 , a2013 是方程 x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 的两根,则 S 2014 ? (
B. ? 1007 C.1007 )

D.2014

4、若某程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的 B 等于( A

A.63
2 2

B.31
2 2

C.127

D.15

5、若圆 C1:x +y =1 与圆 C2:x +y -6x-8y+m=0 外切, 则 m=( C )

A.21

B.19

C.9

D.-11 )

6、 已知正四面体 ABCD 中, E 是 AB 的中点, 则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为( B 1 A. 6 B. 3 6 1 C. 3 D. 3 3

7、已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ),x ? R (其中 A ? 0,? ? 0, ?

?
2

?? ?

?
2

) ,其部 分图

像如下图所示,将 f ( x) 的图像纵坐标不变,横坐标变成原来的 2 倍,再向右平移 1 个单位 得到 g ( x) 的图像,则函数 g ( x) 的解析式为( B ) A. g ( x) ? sin

?
2

( x ? 1) x ? 1)

B. g ( x) ? sin

?
8

( x ? 1) x ? 1)

C. g ( x) ? sin(

?
2

D. g ( x) ? sin(

?
8

x+y-7≤0, ? ? 8、已知圆 C:(x-a)2+(y-b)2=1,平面区域Ω :?x-y+3≥0,若圆心 C∈Ω ,且圆 C 与 ? ?y≥0. x 轴相切,则 a2+b2 的最大值为( C ) A.5 B.29 C.37 D.49

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上的任意一点,若∠PF1F2=α, a 2 b2 3 5 ∠PF2F1=β,且 cosα= ,sin(α+β)= ,则此椭圆的离心率为( D ) 5 5
9、已知 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆 A

3 4

B

3 3

C

2 4

D

5 7

10.设函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1 ? a ln x 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,则( D ) A f ( x2 ) ? ?

1 ? 2 ln 2 1 ? 2 ln 2 1 ? 2 ln 2 B. f ( x2 ) ? C. f ( x2 ) ? 4 4 4

D.f ( x2 ) ?

1 ? 2 ln 2 4

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分.

11、已知集合 A ? {x | x2 ? x ? 2 ? 0} , 集合 B 为整数集, 则 A B ? ??1,0,1,2? .
12、已知 tan ? ? 2.则

3 sin ? ? 4 cos ? ? 10 2 sin ? ? 3 cos ?

13、已知向量 a ? (2,1) ,向量 b ? (3,4) ,则 a 在 b 方向上的投影为__2___
14、已知函数 f ( x) ?

1 2 2013 2014 4x ?1 )? f ( ) ? ... ? f ( )? f ( ) ? _4028_. ,则 f ( 2x ?1 2015 2015 2015 2015

15、已知下列五个命题: ①若一个圆锥的底面半径缩小到原来的

1 1 ,其体积缩小到原来的 ; 2 4

②若两组数据的中位数相等,则它们的平均数也相等; ③直线 x ? y ? 1 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ?

1 相切; 2

④“ 10 a ? 10b ”是“ lg a ? lgb ”的充分不必要条件.

⑤过 M(2,0)的直线 l 与椭圆

x2 ? y 2 ? 1 交于 P1P2 两点,线段 P1P2 中点为 P,设直线 l 2
1 2

的斜率为 k1(k1≠0) ,直线 OP 的斜率为 k2,则 k1k2 等于- 其中真命题的序号是:1,3,5

三、解答题:大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要文字说明,证明过程或演算步骤.

x x x 1 ?ABC 三个内角 A, B, C 16、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 3 sin cos ? cos 2 ? , 2 2 2 2
的对边分别为 a , b, c . (I)求 f ( x ) 的单调递增区间及对称轴的方程; (Ⅱ)若 f ( B ? C ) ? 1, a ? 3, b ? 1 ,求角 C 的大小.

x x x 1 解: (I)因为 f ( x ) ? 3 sin cos ? cos 2 ? 2 2 2 2

3 cos x ? 1 1 sin x ? ? 2 2 2 3 1 ? sin x ? cos x 2 2 π ? sin( x ? ) 6 ?
令 2 kπ ?

π π π ? x ? ? 2 kπ ? 2 6 2

解得 2kπ ?

2π π ? x ? 2 kπ ? 3 3

所以函数 f ( x ) 的单调增区间为 (2kπ ? 对称轴的方程

2π π , 2 kπ ? ) , ( k ? Z ) 3 3

x ? k? ?

?
3

(k ? Z )

π (Ⅱ) 因为 f ( B ? C ) ? 1, 所以 sin( B ? C ? ) ? 1 , 6 π π 7π ?( , ) 6 6 6 π π π 所以 B ? C ? ? , B ? C ? , 6 2 3 2π 所以 A ? 3 sin B sin A ? 由正弦定理 b a
又 B ? C ? (0, π) , B ? C ?

把 a ? 3, b ? 1 代入,得到 sin B ? 又 b ? a , B ? A ,所以 B ?

1 2

π π ,所以 C ? 6 6 17、成都市海关对同时从 A,B,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区 进口此种商品的数量(单位:件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测.

地区 数量

A 50

B 150

C 100

(1)求这 6 件样品中来自 A,B,C 各地区商品的数量; (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测, 求这 2 件商品中来自 C 地区的样品数 X 的分布列及数学期望。 解:(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 6 1 = , 50+150+100 50 1 1 1 =1,150× =3,100× =2. 50 50 50

所以样本中包含三个地区的个体数量分别是:50×

所以 A,B,C 三个地区的商品被选取的件数分别是 1,3,2. (2) 由题意可知 X 可为 0,1,2. 则 2 1 1 8

P( x ? 0) ?

C4 6 ? 2 C6 15
0

P( x ? 1) ?

C4C2 ? 2 15 C6
1

P( x ? 2) ?

2 C2 1 ? 2 C6 15

x p 则

2

6 15

8 15

1 15

Ex ? 0 ?

6 8 1 10 2 ? 1? ? 2 ? ? ? 15 15 15 15 3

18、已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角 形,俯视图为直角梯形. (1)证明:BN⊥平面 C1B1N; (2)求二面角 的正弦值

B1 ? CN ? A

8

C
4 正视图 侧视图

C1

B
4 俯视图

B1

A
4

N

18.解(1)证明:由题意:该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形. 则 B1C1 ? 面ABB1N,且在ABB1N内,易证 ?BNB1为直角 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 ? B1C1 ? 面ABB 1 N且BN ? 面ABB 1N 错 误 ! 未 找 到 引 用

源。,? B1C1 ? BN 错误!未找到引用源。

又? BN ? B1N,且B1N ? B1C1 ? B1 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ? BN ? 面C1B1 N
(2)以 B 为原点,BA 为 x 轴,BB1 为 Y 轴,BC 为 Z 轴建立空间直角坐标系 可得二平面的法向量 m ? (1,1,2), n ? (2,0,2) 。 cos? ?

m?n mn

?

1 3 则所求值为 2 2

19、 已知数列 {an } 满足:a1 ? 1 ,2an?1 ? 2an ? 1, n ? N? .数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ,

?1? Sn ? 9 ? ? ? ? 3?

n?2

, n ? N? .

(Ⅰ)求数列 {an }, {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 c ? a ? b , n ? N? .求数列 {c } 的前 n 项和 T . n n n n n 1 解: (Ⅰ)由 2an?1 ? 2an ? 1 得 an ?1 ? an ? , n ? N ? ,又 a1 ? 1 , 2 n ?1 1 n ? N? . 所以 {an }是以 1 为首项, 为公差的等差数列, 则 an ? a1 ? (n ? 1)d ? , 2 2

?1? 当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? 9 ? ? ? ? 3?
?1? 当 n ? 2 时, Sn?1 ? 9 ? ? ? ? 3?

1? 2

?6,

n ?3



? ? 1 ? n ? 2 ? ? ? 1 ? n ?3 ? 2 bn ? Sn ? Sn ?1 ? ?9 ? ? ? ? ? ?9 ? ? ? ? ? n ? 2 , ? ? ?3? ? ? ? ? ?3? ? ? 3

又n ?1时

2 3
n?2

? 6 ? b1 ,所以 bn ?

2 3
n?2

, n ? N? .
n?2

n ?1 2 ?1? bn ? n ? 2 , n ? N? , (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知 an ? , 所以 cn ? an bn ? (n ? 1) ? ? 2 3 ? 3?

, n ? N? .

?1? ?1? ?1? 所以 Tn ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? 3? ? 3? ? 3?

?1

0

1

?1? ? (n ? 1) ? ? ? ? 3?

n ?2

???(1)

1 等式两边同乘以 得 3
1 ?1? ?1? ?1? Tn ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? 3 ? 3? ? 3? ? 3?
0 1 2

?1? ? (n ? 1) ? ? ? ? 3?

n ?1

???(2)

(1)-(2)得

2 ?1? ?1? ?1? Tn ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ?3? ?3? ?3? ?1? 1? ? ? 3 =6+ ? ? 1 1? 3
所以
n ?1

?1

0

1

?1? ?? ? ?3?

n?2

?1? ? (n+1) ? ? ?3?

n ?1

?1? ? (n+1) ? ? ?3?
n ?2

n ?1

Tn ?

45 2n ? 5 ? 1 ? ? ? ? 4 4 ? 3?

, n ? N?

.

1 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点 O 为圆 2 2 a b 心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切
20、 (本小题满分 13 分)已知椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程 (Ⅱ)若直线 L: y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,且 kOA ? kOB ? ? 求证: ?AOB 的面积为定值 解: (Ⅰ)由题意得, b ?

b2 a2

c 1 |0?0? 6 | ? 3 , ? ,又 a 2 ? b 2 ? c 2 , a 2 2 2 x y2 联立解得 a 2 ? 4, b 2 ? 3 ,? 椭圆的方程为 ? ? 1. 4 3 ? x2 y2 ? ? ?1 (Ⅱ)设 A( x1, y1 ) , B ( x 2, y 2 ) 则 A,B 的坐标满足 ? 4 3 ? ? y ? kx ? m
消去 y 化简得, 3 ? 4k 2 x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0

?

?

? x1 ? x 2 ? ?

8km 4m 2 ? 12 , , ? ? 0 得 4k 2 ? m 2 ? 3 ? 0 x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 y1 y 2 ? (kx1 ? m)(kx 2 ? m) ? k 2 x1 x 2 ? km( x1 ? x 2 ) ? m 2
=k2

4m 2 ? 12 8km 3m 2 ? 12k 2 2 。 ? km(? )?m ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 3 y y 3 ? K OA ? K OB ? ? , 1 2 ? ? ,即 y1 y 2 ? ? x1 x 2 4 4 4 x1 x 2
?

3m 2 ? 12k 2 3 4m 2 ? 12 即 2m 2 ? 4k 2 ? 3 ?? ? 2 2 4 3 ? 4k 3 ? 4k

? AB ? (1 ? k 2 ) ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? (1 ? k 2 ) ?
=

?

?

48(4k 2 ? m 2 ? 3) (3 ? 4k 2 ) 2

48(1 ? k 2 ) 3 ? 4k 2 ? ? 2 (3 ? 4k 2 ) 2

m 24(1 ? k 2 ) 。O 到直线 y ? kx ? m 的距离 d ? 3 ? 4k 2 1? k 2

? S ?AOB ?
=

1 1 d AB ? 2 2

m 1? k 2

24(1 ? k 2 ) = 1 m 2 24(1 ? k 2 ) ? 2 1 ? k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
为定值.

1 3 ? 4k 2 24 = ? 3 2 2 3 ? 4k 2
f ( x) ?

21、设函数

x ? a ln(1 ? x), g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 1? x .

(1)若函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值,求函数 f ( x) 的最大值; (2)是否存在实数 b ,使得关于 x 的不等式 g ( x) ? 0 在

? 0, ?? ? 上恒成立?

若存在,求出 b 的取值范围;若不存在,说明理由;

(3)记

?a
k ?1

n

k

? a1 ? a2 ? ... ? an ,证明:不等式
f ?( x) ? 1 ?

?1 ? ?

k 1 ? ln n ? ? n ? 1, 2, ???? 2 k ?1 k ? 1 .
2

n

21.解析: (1)由已知得:

?1 ? x ?

2

a 1? x

,且函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值

f ?(0) ?


1

?1 ? 0 ?
1

2

?

a ?0 1? 0

,即 a ? 1

f ( x) ?


x ? ln(1 ? x), 1? x

f ?( x) ?
∴ 当 当

?1 ? x ?

2

?

1 ?x ? 1 ? x ?1 ? x ?2

x ? ? ?1, 0 ?

? 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; ? 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减;

x ? ? 0, ?? ?

∴函数 f ( x) 的最大值为 f (0) ? 0

g ?( x) ?
(2)由已知得:

1 ?b 1? x g ?( x) ?
时,

①若 b ? 1 ,则

x ? ? 0, ?? ?

1 ?b ? 0 1? x

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在

?0, ?? ? 上为减函数,

? 0, ?? ? 上恒成立; ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 在

②若 b ? 0 ,则

x ? ? 0, ?? ?

g ?( x) ?
时,

1 ?b ? 0 1? x

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在

?0, ?? ? 上为增函数,

? 0, ?? ? 上恒成立; ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 ,不能使 g ( x) ? 0 在
③若 0 ? b ? 1 ,则

g ?( x) ?

1 1 ?b ? 0 x ? ?1 1? x b , 时,

? 1 ? ? 1 ? x ? ?0, ? 1? 0, ? 1? ? b ? 时, g ?( x) ? 0 ,∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ? ? b ? 上为增函数, 当
此时 g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 , ∴不能使 g ( x) ? 0 在

? 0, ?? ? 上恒成立;
x ? ?1, ?? ?

综上所述, b 的取值范围是

x ? ln(1 ? x) ? x( x ? 0) (3) 由(1) 、 (2)得: 1 ? x x?


1 1 1 1 ? ln(1 ? ) ? n 得: 1 ? n n n



xn ? ?

k ? ln n k ?1 k ? 1 ,
2

n



x1 ?

n 1 ? n 1 1 ? 1 xn ? xn ?1 ? 2 ? ln ?1 ? ? ?? 2 ?0 ?? 2 n ?1 n ?1 ? n ?1 n n ? 1 n ? 2, .

?

?

因此

xn ? xn ?1 ? ??? ? x1 ?

1 2.

n n ?1 ? 1? ln n ? ? ? ln k ? ln k ? 1 ? ln1 ? ln ?1 ? ? ? ? ?? ? ? ? k ?, k ?2 k ?1 又



xn ? ?

n ?1 k n ? 1 ? n ?1 ? k ? 1 ?? ? ln ? ln ?1 ? ? ? ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? 2 2 ? k ? k ?1 ? k ? 1 ? k ?? n ? 1 k ?1 k ? 1 k ?1 n

因此

xn ? xn ?1 ? ??? ? x1 ?

1 2.

n n ?1 ? 1? ln n ? ? ? ln k ? ln k ? 1 ? ln1 ? ln ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? k ?, k ?2 k ?1 又



xn ? ?

n ?1 k n ? 1 ? n ?1 ? k ? 1 ?? ? ln ? ln ?1 ? ? ? ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? 2 2 ? k ? k ?1 ? k ? 1 ? k ?? n ? 1 k ?1 k ? 1 k ?1 n

n ?1 n ?1 n ?1 1? 1 1 1 ? k ? ?? 2 ? ? ? ?? 2 ? ?? ? ?1 ? ? ? 1 k? n k ?1 ? k ? 1 k ?1 ? k ? 1? k k ?1 ? k ? 1? k


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