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2016届高考数学(文)一轮复习专题课件:第3章+第5讲+三角函数的图象与性质


第三章 三角函数、解三角形

第5讲

三角函数的图象与性质

正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y=sin x y=cos x y=tan x

图象
{x|x∈R 且 x≠k π + π ,k∈Z} 2

定义域

R

R

函数

y=sin x

y=cos x

y=tan x

值域
周期性

[-1,1]
2π 奇函数 __________

[-1,1]
2π 偶函数 __________

R
π

奇偶性

奇函数

函数

y=sin x

y=cos x

y=tan x

π [2k π - ,2k π 2
π ? π + ](k∈Z) 为 [2k π , 2k π + ?kπ - 2 , 2 π ](k∈Z) 为减; π? 增; kπ + [2 k π - π , 2 k 2? 单调性 π [2k π + ,2k π π ](k∈Z)为增 (k∈Z)为增 2

3π + ](k∈Z) 为 2 减

函数

y=sin x

y=cos x

y=tan x

对称中心

(kπ,0) __________ (k∈Z)

π kπ (kπ+ ,0) ( 2 2 ,0) (k∈Z) (k∈Z)

对称轴

π x=kπ + 2 __________ (k∈Z)

x=kπ __________ (k∈Z)



[做一做] π? ? 1.设函数 f(x)=sin 2x- ,x∈R,则 f(x)是( B ) 2? ? A.最小正周期为π 的奇函数 B.最小正周期为π 的偶函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 π D.最小正周期为 的偶函数 2 ? ? ? π kπ ?x x≠ + ,k∈Z? 6 3 ? ? ?. 2.函数 y=tan 3x 的定义域为_____________________

1.辨明三个易误点 (1)y=tan x 不能认为其在定义域上为增函数,应在每个区 π π? ? 间 kπ - ,kπ + (k∈Z)内为增函数. 2 2? ? (2)三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结. (3)求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时, 应注意ω 的符号, 只有当ω >0 时,才能把 ωx+φ 看作一个整体,代入 y=sin t 的相应单调区间求解.

2.求三角函数值域(最值)的两种方法 (1)将所给函数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,通过分析 ωx +φ 的范围,结合图象写出函数的值域; (2)换元法:把 sin x(cos x)看作一个整体,化为二次函数来 解决.

[做一做] 3.若函数 f(x)=-cos 2x,则 f(x)的一个递增区间为( B ) π ? A. - ,0? ? 4 ? π 3π ? ? C. , 4 ? ?2 π? ? B. 0, 2? ? 3π ? D. ,π ? ? 4 ?

π? ? 解析:.由 f(x)=-cos 2x 知递增区间为 kπ ,kπ + ,k 2? ? ∈Z,故只有 B 项满足.

π? π? ? ? 4 .函数 f(x) = sin 2x- 在区间 0, 上的最小值为 4? 2? ? ? ( B ) A.-1 2 B.- 2 2 C. 2 D.0

π ? π 3π ? π? ? 解析: .由已知 x∈ 0, ,得 2x- ∈ - , ,所以 4 2 4 4 ? ? ? ? π? ? 2 ? ? sin 2x- ∈ - ,1 , 4? ? 2 ? ? π? π? 2 ? ? 故函数 f(x)=sin 2x- 在区间 0, 上的最小值为- . 2 4? 2? ? ?

考点一 考点二 考点三

三角函数的定义域和值域 三角函数的单调性(高频考点) 三角函数的奇偶性、周期性及对称性

考点一 三角函数的定义域和值域
(1)函数 y= sin x-cos x的定义域为
? ? π 5π ?x|2kπ + ≤x≤2kπ + ,k∈Z? 4 4 ? ? __________________________________________;

(2)(2014· 高考大纲全国卷)函数 y=cos 2x+2sin x 的最大值 3 为________ . 2

[解析] (1)要使函数有意义,必须有 sin x-cos x≥0, 即 sin x≥cos x,同一坐标系中作出 y=sin x,y=cos x,x ∈[0,2π ]的图象如图所示.

结合图象及正、 余弦函数的周期是 2π 知, 函数的定义域为
? ? π 5π ?x|2kπ + ≤x≤2kπ + ,k∈Z?. 4 4 ? ?

(2)y=cos 2x+2sin x=-2sin2x+2sin x+1,设 t=sin x(-
2 1 t- ? 1≤t≤1),则原函数可以化为 y=-2t2+2t+1=-2? ? 2?

3 1 3 + ,∴当 t= 时,函数取得最大值 . 2 2 2

π 本例(2)变为函数 y=cos 2x+4sin x(|x|≤ )的 6 5 2 最大值为________ .

解析:y=cos 2x+4sin x=-2sin2x+4sin x+1,设 t=sin 1 1 x(- ≤t≤ ),则原函数可以化为 y=-2t2+4t+1=-2(t 2 2 1 5 -1) +3,∴当 t= 时,函数取得最大值 . 2 2
2

[规律方法]

(1)三角函数定义域的求法:

求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组), 常 借助三角函数线或三角函数图象来求解. (2)三角函数值域的不同求法: ①利用 sin x 和 cos x 的值域直接求. ②把所给的三角函数式变换成 y=Asin(ωx+φ)的形式求值 域(本讲典例 2(3)). ③把 sin x 或 cos x 看作一个整体, 转换成二次函数求值域. ④利用 sin x±cos x 和 sin xcos x 的关系转换成二次函数求 值域.

1.(1)函数 y=

2+log1x+ tan x的定义域为
2

? ? π ?x|0<x< 或π ≤x≤4? 2 ? ? ____________________________________ ;

(2)函数 y=sin x+cos x+sin xcos x 的值域为 1 [-1, + 2] 2 _____________________________________________ .
解析:(1)要使函数有意义

? 0<x≤4, ? ?x>0 ? 则? ?? π tan x≥0 ? ?kπ ≤x<kπ + 2 (k∈Z). π ? ?x≠kπ + 2 ,k∈Z
2+log1x≥0
2

利用数轴可得函数的定义域是
? ? π ?x|0<x< 或π ≤x≤4?. 2 ? ?

(2)设 t=sin x+cos x, t2-1 则 sin xcos x= (- 2≤t≤ 2). 2 1 1 1 1 y=t+ t2- = (t+1)2-1, 当 t= 2时,y 取最大值为 2+ , 2 2 2 2 1 当 t=-1 时,y 取最小值为-1. ∴函数值域为[-1, + 2]. 2

考点二 三角函数的单调性(高频考点)
三角函数的单调性是每年高考命题的热点,题型既有选择 题也有填空题,或解答题某一问出现,难度适中,多为中 档题. 高考对三角函数单调性的考查有以下四个命题角度: (1)求已知三角函数的单调区间; (2)已知三角函数的单调区间求参数; (3)利用三角函数的单调性求值域(或最值); (4)利用三角函数的单调性比较大小.

π? ? (1)函数 f(x)=tan 2x- 的单调递增区间是( B ) 3? ? k π π kπ 5 π ? ? A. ? 2 -12, 2 + 12 ?(k∈Z) kπ π kπ 5π ? ? B. (k∈Z) - , + 12 ? ? 2 12 2 π 2π ? ? C. kπ + ,kπ + (k∈Z) 6 3 ? ? π 5π ? ? D. kπ - ,kπ + (k∈Z) 12 12 ? ?

π π π kπ π [解析] (1)由 kπ - <2x- <kπ + (k∈Z),得 - 2 3 2 2 12 k π 5π π? ? <x< + (k∈Z),所以函数 f(x)=tan 2x- 的单调递 2 12 3? ? kπ π k π 5 π ? ? 增区间为 (k∈Z),故选 B. - , + 12 ? ? 2 12 2

π ? ?π ? (2)已知 ω>0,函数 f(x)=sin ω x+ 在 ,π ?上单调递 4? ?2 ? ? 减,则 ω 的取值范围是( A ) 1 5? ? A.?2,4? 1? ? C.?0,2? 1 3? ? B.?2,4? D.(0,2)

π ωπ π π π (2)由 <x<π ,ω >0,得 + <ω x+ <ω π + , 2 2 4 4 4

? π 3π ? ? 又 y=sin x 在 , 上递减,所以? 2 ? ?2 π 3π ?ω π + 4 ≤ 2 ,
1 5 解得 ≤ω ≤ ,故选 A. 2 4

ωπ π π + ≥ , 2 4 2

(3)(2015· 江西南昌模拟 )已知函数 f(x)= (sin x+ cos x)2 + 2cos2x-2. ①求 f(x)的单调增区间; π 3π ? ? ②当 x∈ , 时,求函数 f(x)的最大值,最小值. 4 ? ?4

π π? ? 解: ①f(x)=sin 2x+cos 2x= 2sin 2x+ , 令 2kπ - ≤ 2 4? ? π π 2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 4 2 3π π 则 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8 3π π? ? 故 f(x)的单调增区间为 kπ - ,kπ + ,k∈Z. 8 8? ?

3π π 7π π 3π ? ? ②∵x∈ , ,∴ ≤2x+ ≤ , 4 4 4 4 ? ?4 π? 2 ? ∴-1≤sin 2x+ ≤ , 4? 2 ? ∴- 2≤f(x)≤1, π 3π ? ? ∴当 x∈ , 时,函数 f(x)的最大值为 1,最小值为 4 ? ?4 - 2.

[规律方法] 三角函数单调性问题解题策略 (1)已知三角函数解析式求单调区间.①求函数的单调区间 应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单 调性规律“同增异减”;②求形如 y=Asin(ωx+φ)或 y= Acos(ωx+φ)(其中 ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为 一个整体,通过解不等式求解.但如果 ω<0,那么一定先 借助诱导公式将 ω 化为正数,防止把单调性弄错.

(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区 间,然后利用集合间的关系求解. (3) 利 用 三 角 函 数 的 单 调 性 求 值 域 ( 或 最 值 ) . 形 如 y = Asin(ωx+φ)+b 或可化为 y=Asin(ωx+φ)+b 的三角函数 的值域(或最值)问题常利用三角函数的单调性解决.

π? π? ? ? 2.(1)已知函数 f(x)=2sin x+ , 设 a=f , 3? ? ?7? π? π? ? ? b=f ? 6 ?,c=f? 3 ?,则 a,b,c 的大小关系是( B ) A.a<c<b C.b<a<c B.c<a<b D.b<c<a

(2)(2015· 山东聊城期末测试)已知函数 f(x)=2sin ω x(ω>0) π π? ? 在区间 - , 上的最小值是-2,则 ω 的最小值等于 ? 3 4? ( B ) 2 A. 3 C.2 3 B. 2 D.3

π ? (3)函数 y=cos -2x?的单调减区间为 ?4 ?

?kπ +π ,kπ +5π ?(k∈Z) 8 8 ? ? _____________________________________.
(4)函数 y=|tan x|的单调增区间为 ?kπ ,kπ +π ?,k∈Z 2? ? _______________________________________.

π π? π? π? 10 ? ? ? 解析: (1)a=f b=f c=f ? 7 ?=2sin 21π , ? 6 ?=2sin 2 =2, ?3? 2π π =2sin =2sin , 3 3 π? ? 因 y=sin x 在 0, 上递增,则 c<a<b. 2? ?

π π ωπ ωπ (2)∵ω>0,- ≤x≤ ,∴- ≤ω x≤ . 3 4 3 4 ωπ π 3 由已知条件知- ≤- ,∴ω ≥ . 3 2 2 π π? ? ? ? (3)由 y=cos -2x =cos 2x- 得 4? ?4 ? ? π 2kπ ≤2x- ≤2kπ +π (k∈Z), 4 π 5π 故 kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z). 8 8 π 5π ? ? 所以函数的单调减区间为 kπ + ,kπ + (k∈Z). 8 8 ? ?

(4) 如 图 , 观 察 图 象 可 知 , y = |tan x| 的 增 区 间 是

?kπ ,kπ +π ?,k∈Z. 2? ?

考点三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性

(1)(2014· 高考课标全国卷Ⅰ)在函数①y= cos|2x|, π? π? ? ? ②y=|cos x|,③y=cos 2x+ ,④y=tan 2x- 中,最 6? 4? ? ? 小正周期为π 的所有函数为( C ) A.②④ C.①②③ B.①③④ D.①③

π (2)(2015· 揭阳模拟)当 x= 时, 函数 f(x)=sin(x+φ)取得最 4 3π ? 小值,则函数 y=f -x?( C ) ? 4 ? π ? A.是奇函数且图象关于点 ,0?对称 ?2 ? B.是偶函数且图象关于点(π ,0)对称 π C.是奇函数且图象关于直线 x= 对称 2 D.是偶函数且图象关于直线 x=π 对称

解析] (1)①y=cos|2x|=cos 2x,T=π . ②由图象知,函数的周期 T=π . ③T=π . π ④T= . 2 综上可知,最小正周期为π 的所有函数为①②③.

π (2)∵当 x= 时,函数 f(x)取得最小值, 4 3π π ? ? ∴sin +φ =-1,∴φ =2kπ - (k∈Z). 4 4 ? ? 3π ? 3π ? ? ? ∴f(x)=sin x+2kπ - =sin x- (k∈Z). 4 ? 4 ? ? ? 3π ? ∴y=f -x?=sin(-x)=-sin x. ? 4 ? π 3π ? ? ∴y=f -x 是奇函数,且图象关于直线 x= 对称. 2 ? 4 ?

[规律方法] (1)三角函数的奇偶性的判断技巧: 首先要知道基本三角函数的奇偶性,再根据题目去判断所 求三角函数的奇偶性;也可以根据图象做判断. (2)求三角函数周期的方法: ①利用周期函数的定义. ②利用公式:y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正 2π π 周期为 ,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 . |ω | |ω | ③利用图象.

(3)三角函数的对称性: 正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形, 正切函数的图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴 和对称中心,并注意数形结合思想的应用.

[提醒] 判断函数的奇偶性时, 必须先分析函数定义域是否 关于原点对称.

3.(1)(2015· 宁 夏 银 川 联 考 ) 已 知 函 数 f(x) = 3π ? ? sin 2x+ (x∈R),下面结论错误的是( C ) 2 ? ? A.函数 f(x)的最小正周期为π B.函数 f(x)是偶函数 π C.函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称 4 π? ? D.函数 f(x)在区间 0, 上是增函数 2? ?

(2)(2014· 高考北京卷)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω ,φ π π? ? 是常数, A>0, ω >0). 若 f(x)在区间 , 上具有单调性, ?6 2? π? 2π ? π? ? ? ? 且 f ? 2 ? = f ? 3 ? = - f ? 6 ? , 则 f(x) 的 最 小 正 周 期 为

π ________ .

3π ? ? 解析:(1)f(x)=sin 2x+ =-cos 2x,故其最小正周期 2 ? ? 为π ,故 A 正确;易知函数 f(x)是偶函数,B 正确;由函 数 f(x)=-cos 2x 的图象可知,函数 f(x)的图象不关于直线 π x= 对称,C 错误;由函数 f(x)的图象易知,函数 f(x)在 4

?0,π ?上是增函数,D 正确,故选 C. 2? ?

π π? T π π ? (2)∵f(x)在 , 上具有单调性,∴ ≥ - , 2 2 6 ?6 2? 2π ∴T≥ . 3 π ? ?2π ? ? ∵f ? 2 ?=f? 3 ?, π 2π + 2 3 7π ∴f(x)的一条对称轴为 x= = . 2 12

π? π? ? ? 又∵f ? 2 ?=-f? 6 ?, π π + 2 6 π ∴f(x)的一个对称中心的横坐标为 = . 2 3 7π π π 1 ∴ T= - = ,∴T=π . 4 12 3 4

考题溯源——函数y=Asin(ωx+φ)的性质
(2014· 高考福建卷 )已知函数 f(x)= 2cos x(sin x+ cos x). 5π ? ? (1)求 f ? 4 ?的值; (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间.

5π ? 5π ? 5π 5π ? ? [解] 法一:(1)f ? 4 ?=2cos 4 ?sin 4 +cos 4 ? π? π π? =-2cos =2. -sin -cos 4? 4 4? (2)因为 f(x)=2sin xcos x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1= 2 π? ? sin 2x+ +1, 4? ? 2π 所以 T= =π . 2 π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2

3π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z, 8 8 3π π? ? 所以 f(x)的单调递增区间为 kπ - ,kπ + ,k∈Z. 8 8? ? 法二:f(x)=2sin xcos x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1 π? ? = 2sin 2x+ +1. 4? ? 11π π 5π ? ? (1)f ? 4 ?= 2sin 4 +1= 2sin 4 +1=2.

2π (2)T= =π . 2 π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8 3π π? ? 所以 f(x)的单调递增区间为 kπ - ,kπ + ,k∈Z. 8 8? ?

[考题溯源] 本考题源于教材人教 A 版必修 4 P147 复习参考 题 A 组 11 题 “已知函数 f(x)=2sin x(sin x+cos x). (1)求 f(x)的最小正周期和最大值; π π? ? (2)画出函数 y=f(x)在区间 - , 上的图象.” ? 2 2?

(2015· 河北高阳中学第一次月考)已知函数 f(x) π? π? ? π? ? ? =cos 2x- +2sin x- sin x+ . 3? 4? ? 4? ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程; π π? ? (2)求函数 f(x)在区间 - , 上的值域. ? 12 2 ?

π? π? π? ? ? ? 解:(1)∵f(x)=cos 2x- +2sin x- ·sin x+ 3? 4? 4? ? ? ? 1 3 = cos 2x+ sin 2x+(sin x-cos x)· (sin x+cos x) 2 2 1 3 = cos 2x+ sin 2x+sin2x-cos2x 2 2 π? 1 3 ? = cos 2x+ sin 2x-cos 2x=sin 2x- . 2 2 6? ? 2π ∴函数 f(x)的最小正周期为 T= =π ,对称轴方程为 x 2 π kπ = + ,k∈Z. 3 2

π π? ? (2)∵x∈ - , , ? 12 2 ?

π ? π 5π ? ∴2x- ∈ - , . 6 ? 3 6 ?

π? π π? ? ? ∴f(x)=sin 2x- 在区间 - , 上单调递增, 在区间 6? ? ? 12 3 ?

?π ,π ?上单调递减, ?3 2?

π ∴当 x= 时,f(x)取最大值 1. 3

π? 3 ?π ? 1 ? 又∵f - =- <f = , 2 ?2? 2 ? 12? π 3 ∴当 x=- 时,f(x)取最小值- . 12 2 π π? 3 ? ? ? 所以函数 f(x)在区间 - , 上的值域为 - ,1 . ? 12 2 ? ? 2 ?

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