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2013版高中全程复习方略配套课件:4.1平面向量的概念及其线性运算(人教A版·数学理)浙江专用


第一节 平面向量的概念及其线性运算

完全与教材同步,主干知识精心提炼。素质和能力源于基 础,基础知识是耕作“半亩方塘”的工具。视角从【考纲点击

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中升华。科学的训练式梳理峰回路转,别有洞天。去尽情畅游

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/> 三年3考 1.了解向量的实际背景;

高考指数:★★

2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;
3.理解向量的几何表示; 4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义; 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含 义; 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

1.平面向量的线性运算及共线向量定理是高考考查的重点,也

是热点,难度中等偏下.
2.题型以客观题为主,与解析几何交汇命题则以解答题为主.

1.向量的有关概念 (1)定义:既有大小又有 方向的量叫做向量. (2)表示方法:用有向线段 来表示向量.有向线段的长度表示 向量的 大小,用箭头所指的方向表示向量的方向.用a,b,或用
? ??? ??? ? , 来表示. AB CD
????? ? (3)模:向量的长度 叫做向量的模,记作|a|,|b|或 | AB |, ???? ? CD .

【即时应用】 (1)判断下列命题的真假:(请在括号中填写“真”或“假”) ①向量的大小是实数 ②向量可以用有向线段表示 ③向量就是有向线段
??? ? ??? ? ④向量 AB 的长度和向量 BA 的长度相等

( ( ( (

) ) ) )

(2)请写出物理中的三个向量

.

【解析】(1)向量是既有大小又有方向的量,向量的大小为实
数,故①为真;向量可以用有向线段来表示,有向线段的长度

为向量的大小,有向线段的方向为向量的方向,所以②为真;
??? ③为假; ? 与 BA 是大小相等、方向相反的向量,故④为真. AB ??? ?

(2)由向量的定义可知,物理中的速度、力、加速度等都为向 量. 答案:(1)①真 ②真 ③假 ④真

(2)速度、力、加速度(答案不唯一)

2.特殊向量

(1)零向量:长度为__的向量叫做零向量,记作0;零向量的 0
方向不确定 . (2)单位向量:长度为1个单位的向量叫做单位向量. (3)共线向量:方向相同或 相反的向量叫做共线向量,共线 向量也叫做 平行向量;规定:零向量与任何向量共线. (4)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. (5)相反向量:长度 相等且方向 相反的向量叫做相反向量.

【即时应用】 (1)判断下列命题的真假:(请在括号中填写“真”或“假”) ①若a与b平行,则b与a方向相同或相反 ②若a与b平行同向,且|a|>|b|,则a>b ③|a|=|b|与a、b的方向没有关系 ( ( ( ) ) )

(2)把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的
终点所构成的图形是 .

【解析】(1)①假,当a为零向量时,方向是不确定的.

②假,向量不能比较大小.
③真,向量a与b的模相等,即长度相等,与方向无关. (2)这些向量的终点所构成的图形是以共同的始点为圆心,以 单位1为半径的圆. 答案:(1)①假 ②假 ③真 (2)圆

3.向量的加法与减法
向量运算 定义 法则(或几何意义)
a?b

运算律
(1)交换律: b?a a ? b ? _____ .

求两个

b

加法

向量和
的运算

a
三角形法则
b
a?b

(2)结合律:

a 平行四边形法则

?a ? b ? ? c ? a ? ?b ? c? __________ .

求 a与 b 的 相反向量
b

a?b

减法

?b的和的 运算叫做 a与b的差

a

三角形法则

【即时应用】
(1)下列命题是否正确.(请在括号中填“√”或“×”)

① OA ? OB ? AB
② AB ? BA ? 0 ③ AC ? BD ? CD ? AB ? 0
??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

(
( (

)
) ) .

??? ??? ??? ? ? ? (2)若菱形ABCD的边长为2,则|AB ? CB ? CD |=

【解析】(1)①不正确.因为 OA ? OB ? BA

??? ??? ? ?

??? ?

②正确.因为 AB ? BA ? AB ? AB ? 0
③正确.因为 AC ? BD ? CD ? AB ? AC ? CD) (
??? ??? ??? ??? ? ? ? ? (AB ? BD) AD ? AD ? 0 ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? (2) AB ? CB ? CD ? AB ? BC ? CD ? AD ? 2 . ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

答案:(1)①× (2)2

②√

③√

4.向量的数乘与共线向量定理 (1)向量的数乘 ①长度:|λ a|= |λ ||a| ②方向 当λ >0时,λ a的方向与a的方向 相同 ; 当λ <0时,λ a的方向与a的方向 相反 ,

当λ =0时,λ a= 0 ,其方向是任意的.

(2)向量的数乘的运算律 设λ ,μ 为实数,则 ①λ (μ a)= (λ μ )a; ②(λ +μ )a=λ a+μ a (3)共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ ,使得 b=λ a . ;③λ (a+b)= λ a+λ b .

【即时应用】 (1)思考:在共线向量定理中,当a=0时,λ 还唯一吗? 提示:当a=0且b=0时,λ可以为任意实数,不唯一,

当a=0且b≠0时,λ不存在.

(2)填空 ①8(a+c)+7(a-c)-c= . .

1 1 ② [ (2a)+8b-(4b+2b)]= 3 2

③设两非零向量e1,e2不共线,且k(e1+e2)∥(e1+ke2),则实数k 的值为 .
??? ? ? ??? 3 ??? ? ??? ? ④点C在线段AB上,且 AC = AB, 则 AC =_____ CB. 5

【解析】①原式=8a+8c+7a-7c-c=15a.
1 ②原式= 1 (a+8b-4b-2b)= (a+2b) 3 3

③∵k(e1+e2)∥(e1+ke2), ∴k(e1+e2)=λ(e1+ke2) 即(k-λ)e1=(λk-k)e2 ∵e1,e2不共线,

k ?? ? 0 ∴ ? ?

? ?k ? k ? 0

解得k=0或1.
??? ??? ??? ? ? ? ④∵ AB ? AC ? CB
??? ? ??? ? ??? ??? , ? ? 又∵ AC ? 3 AB ? 3 AC ? CB) ( 5 ??? 3 ??? ? ? ∴ AC ? CB 2 5

答案:①15a ②

1 (a+2b) 3

③0或1 ④

3 2

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平面向量的有关概念

【方法点睛】
1.平面向量的概念辨析题的解题方法

准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键,特别是对相
等向量、零向量等概念的理解要到位,充分利用反例进行否定 也是行之有效的方法.

2.几个重要结论 (1)相等向量具有传递性,非零向量的平行具有传递性;

(2)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量;
(3)平行向量与起点无关.

【例1】已知下列命题:
①单位向量都相等 ②若a与b是共线向量,b与c是共线向量,则a与c是共线向量 ③两个有共同起点而长度相等的非零向量,它们的终点必相同 ④由于0方向不确定,故0不能与任意向量平行 ⑤如果a=b,b=c,则a=c ⑥如果|a|=|b|,则a与b的方向相同 .

其中不正确的命题是___(请把不正确的命题的序号都填上).
【解题指南】以概念为判断依据,或通过举反例说明其不正确.

【规范解答】各单位向量的模都相等,但方向不一定相同,故 ①不正确;当b=0时,a与c可以为任意向量,故②不正确;两个 有共同起点而长度相等的非零向量,如果它们的方向相同,则 它们的终点必相同,否则终点不相同,故③不正确;规定0与任 意向量平行,故④不正确;如果a、b、c都为零向量,则a=c,如 果a、b、c为非零向量,则它们的长度都相等、方向相同,所以

a=c,故⑤正确;⑥不正确.
答案:①②③④⑥

【反思·感悟】平面向量的基本概念较多,比较容易遗忘,复

习时要构建良好的知识结构来帮助记忆,还可以与物理中、生
活中的模型进行类比和联想来记忆.

平面向量的线性运算 【方法点睛】 1.平面向量的线性运算法则的应用 三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法,共

起点的向量和用平行四边形法则,差用三角形法则.

2.两个重要结论 (1)向量的中线公式:若P为线段AB中点,则 OP = ( OA ? OB )
??? ? ? ? 1 ??? ??? 2

(2)向量加法的多边形法则
????? ?????? ?????? ? ??????? ????? ? ? A1A2 ? A2 A3 ? A3A 4 ??? A n ?1A n ? A1A n

【提醒】当两个向量共线(平行)时,三角形法则同样适用.向
量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的,但 当两个向量共线(平行)时,平行四边形法则就不适用了.

【例2】(1)在△ABC中,若D是AB边上一点,且 AD ? 2DB ,
??? 1 ??? ? ? ??? ? CD ? CA ? ?CB ,则λ =( 3 1 (A)2 (B) 3 3 (C) 1 (D)? 2 ? 3 3

??? ?

??? ?

)

(2)在△ABC中,若O是△ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且
??? ??? ??? ? ? ? ) 2OA ? OB ? OC =0,那么( ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? (A) ? OD (B) ? 2OD AO AO ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? (C) ? 3OD (D) 2AO ? OD AO

(3)(2012·杭州模拟)平面上点P与不共线的三点A、B、C满 足关系: ? PB ? PC ? AB ,则下列结论正确的是( PA
??? ??? ??? ? ? ??? ?

)

(A)P在CA上,且 CP ? 2PA
(B)P在AB上,且 AP ? 2PB
??? ? ???

??? ?

??? ?

(C)P在BC上,且 BP ? 2PC
(D)P点为△ABC的重心

??? ?

??? ?

? ??? ? ??? uur 【解题指南】(1)D是AB边上的三等分点,把 CD 用 CA 、 CB 表 ??? ??? ? ? ??? ? 示;(2)由D为BC边中点可得 OB ? OC ? 2OD 即可求解;(3)把 ??? ??? ??? ? ? AB化成以P为起点的向量,即 AB ? PB ? PA.

【规范解答】(1)选A. CD = CA ? AD ? CA + AB ? CA + 2 CB ? CA) ( 3 3 ??? 2 ??? ? ? = 1 CA ? CB ,所以λ= 2 ,故选A.
3 3 3

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

? 2 ???

??? ?

??? ??? ? ?

(2)选A.因为D为BC边中点,∴ OB ? OC ? 2OD,又 2OA ? OB ? OC ? 0,
∴ 2OA ? 2OD =0,即AO ? OD ,故选A.
??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ??? ??? ? ? ?

(3)选A.∵PA ? PB ? PC ? AB ? PB ? PA,
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∴ PC ? ?2PA,即CP ? 2PA ,∴P在CA上.

??? ??? ??? ? ?

??? ?

??? ??? ?

【反思·感悟】用已知向量来表示另外一些向量是解向量问题 的基础,除了利用向量的线性运算法则外,还应充分利用平面 几何的一些定理,如三角形的中位线定理、相似三角形的对应 边成比例等.

共线向量定理的应用 【方法点睛】

1.共线向量定理及其应用
(1)可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共线 求参数的值. (2)若a,b不共线,则λ a+μ b=0的充要条件是λ =μ =0,这一结 论结合待定系数法应用非常广泛.

2.证明三点共线的方法
若 AB =λ AC ,则A、B、C三点共线.
??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 【例3】已知a,b不共线, =a,OB ? b,OC ? c,OD ? d,OE =e,设 OA

t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在 一条直线上?若存在,求出实数t的值,若不存在,请说明理由. 【解题指南】先假设存在,再用a,b表示目标向量,最后判断是 否有 CE ? kCD 成立即可.
??? ? ??? ?

【规范解答】由题设知, =d-c=2b-3a, CE =e-c=(t-3)a+tb,C, CD D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得 ,

??? ?

??? ?

即(t-3)a+tb=-3ka+2kb, CE ? kCD
整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.

??? ?

??? ?

因为a,b不共线,所以有 ? t ? 3 ? 3k ? 0 ,解之得t= 6 . ?
故存在实数t= 使C,D,E三点在一条直线上.
6 5

? t ? 2k ? 0

5

【反思·感悟】(1)注意待定系数法在解决此类问题中的应用 .其中的k只是桥梁,可设而不求.

(2)本例中应用待定系数法求t的值时,不可忽视a,b不共线的
条件.

把握高考命题动向,体现区域化考试特点。本栏目以最新 的高考试题为研究素材,解析经典考题,洞悉命题趋势,展示 现场评卷规则。对例题不仅仅是详解评析,更是从命题层面评 价考题,从备考角度提示规律方法,拓展思维,警示误区。【 考题体验】让你零距离体验高考,亲历高考氛围,提升应战能 力。为你顺利穿越数学高考时空增添活力,运筹帷幄、决胜千

里。

【创新探究】以向量为背景的新定义问题
【典例】(2011·山东高考)设A1、A2、A3、A4是平面直角坐标
????? ? ????? ? ????? ? 系中两两不同的四点,若λ A1A3 =λ A1A 2 (λ ∈R),A1A 4 = ????? ? μ A A (μ ∈R),且 1 + 1 =2,则称A3,A4调和分割点A1,A2,已知 1 2
?
?

平面上的点C,D调和分割点A,B则下面说法正确的是(

)

(A)C可能是线段AB的中点

(B)D可能是线段AB的中点
(C)C,D可能同时在线段AB上

(D)C,D不可能同时在线段AB的延长线上
????? ? ????? ? 【解题指南】本题为信息题,由 A1A3 =λA1A 2 (λ∈R), ????? ? ????? ? =μA A (μ∈R)知:A1,A2,A3,A4四点共线,且不重合.因为 A1A 4 1 2

C,D调和分割点A,B,所以A,B,C,D四点在同一直线上,设
1 , AC ? cAB AD ?+dAB ,则 =2,然后逐项代入验证. d c

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

1

【规范解答】选D.由 A1A3 =λ A1A 2 (λ∈R), 1A 4 = A
????? μA A? (μ∈R)知:四点A1,A2,A3,A4在同一条直线上,且不重合.
1 2

????? ?

????? ?

????? ?

因为C,D调和分割点A,B,所以A,B,C,D四点在同一直线
上,设AC ? cAB,AD ? dAB,则 1 ? 1 =2,选项A中c= 1 ,此时d不存
c d 2

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

在,故选项A不正确;同理选项B也不正确;选项C中,0<c<1,
0<d<1,1 ? 1 >2,也不正确,故选D.
c d

【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究,我们可以得到以下创 新点拨和备考建议: 本题有以下创新点: 创 新 点 拨 (1)命题背景新颖,本题为新定义题目,用新定义

考查阅读能力与知识迁移能力;
(2)考查内容创新:以共线向量为背景,结合不等 式,通过创新情境,考查化归与转化的数学思想方 法和分析问题、解决问题的能力.


考 建

(1)可通过特例、验证等方法理解新定义问题; (2)化生为熟、化新为旧,设法把新定义问题转化 为熟悉的问题来解决;

(3)“按规则办事”,新定义问题怎么规定,就怎
议 么办.

??? ? ??? ? ??? ? 1.(2012·丽水模拟)如图所示,向量 OA =a, OB =b,OC =c,A、 ??? ? ??? ? B、C在一条直线上,且 AC ? ?3CB ,则( ) 3 1 1 3 (A)c=- a ? b (B)c= a ? b 2 2 2 2

(C)c=-a+2b
??? ?

(D)c=a+2b
??? ??? ? ? ??? ? ??? ?

【解析】选A.∵ OC ? OA ? AC ? OA ? 3BC
??? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? = OA ? 3(OC ? OB) ? 3OC ? OA ? 3OB ??? ? ??? ? ??? ? ∴ 2OC ? ?OA ? 3OB ??? ? ∴c= OC ? ? 1 a ? 3 b. 2 2

2.(2011·四川高考)如图,正六边形 ABCDEF中, ? CD ? EF =( BA
??? ??? ??? ? ?

)

(A)0

???? ??? ? ??? (B) (C) (D) AD BE CF

【解析】选D.BA ? CD ? EF ? DE ? CD ? EF
??? ??? ??? ? ? =( CD ? DE )+ EF

??? ??? ??? ? ?

??? ??? ??? ? ?

= CE ? EF ? CF .故选D.

??? ??? ?

???

3.(2011·北京高考改编)已知向量a、b不共线,若a-2b与 3a+kb共线,则实数k= .

【解析】因为a-2b与3a+kb共线,所以存在实数λ使得a2b=λ(3a+kb),整理得(3λ-1)a+(kλ+2)b=0,又因为向量a、
1 ? 3? ? 1 ? 0 ?? ? b不共线,所以 ? ,? ? 3 . ? ?k? ? 2 ? 0 ?k ? ?6 ?

答案:-6


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