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广东省广州市重点学校备战2017高考数学一轮复习 三角函数试题精选05


三角函数 05
解答题 9. 化 简 f ( x) ? cos(

6k ? 1 6k ? 1 ? ? ? 2 x) ? cos( ? ? 2 x) ? 2 3 sin( ? 2 x)( x ? R, k ? Z ), 并 3 3 3

求函数 f ( x) 的值域和最小正周期. 解:

? ? ? ? 2 x

) ? cos( 2k? ? ? 2 x) ? 2 3 sin( ? 2 x) 3 3 3 ? ? ? 2 cos( ? 2 x) ? 2 3 sin( ? 2 x) 3 3 f ( x) ? cos( 2k? ?
? 4 cos 2 x
所以函数 f(x)的值域为 ?? 4,4?,最小正周期 T ?

2?

?

??

10.

已知 tan

?
2

=2,求

(I) tan(? ?

?
4

) 的值;

(II)

6 sin ? ? cos ? 的值. 3sin ? ? 2 cos ?

11.

已知 tan

?
2

=2,求

(I) tan(? ?

?
4

) 的值;

(II)

6 sin ? ? cos ? 的值. 3sin ? ? 2 cos ?

-1-

? 2 tan ? 2 ? 2? 2 ? ? 4 ; 解: (I)∵ tan =2, ∴ tan ? ? ? 1? 4 2 3 1 ? tan 2 2 4 ? ? ?1 tan ? ? tan ? 1 4 ? tan ? ? 1 = 3 所以 tan(? ? ) ? ?? ; 4 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? 4 7 4 3
4 6 sin ? ? cos ? 6 tan ? ? 1 (II)由(I), tanα =- , 所以 = = 3 3sin ? ? 2 cos ? 3 tan ? ? 2
12. 设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图像的一条对称轴是直线 x ? (Ⅰ)求 ? ; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调增区间; (Ⅲ)画出函数 y ? f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的图像。 本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识,考查推理和运算能力,满分 12 分.

4 6(? ) ? 1 7 3 ? . 4 3(? ) ? 2 6 3

?
8



(Ⅲ)由 y ? sin( 2 x ?

3? )知 4

x

0

? 8
2 2

3? 8

5? 8

7? 8

?
? 2 2

y

?

-1

0

1

0

[0, ? ]上图像是 故函数 y ? f ( x)在区间

-2-

13.已知 ? 为第二象限的角,sin ? ? 值.

3 5 ,? 为第一象限的角,cos ? ? .求 tan(2 ? ? ? ) 的 5 13

已知函数 f ( x) ? 2sin 2 x ? sin 2 x, x ?[0, 2? ]. 求使 f ( x ) 为正值的 x 的集合.

14.已知函数 f(x)=- 3 sin x+sinxcosx.

2

(Ⅰ) 求 f( 解: (Ⅰ)

? 1 25? 3 )的值; (Ⅱ) 设 ? ∈(0, ? ),f( )= - ,求 sin ? 的值. 2 4 6 2

? sin

25? 25? 25? 25? 25? 1 25? 3 ?f( ) ? ? 3 sin 2 ? sin cos ?0 ? , cos ? 6 6 6 6 6 2 6 2
(Ⅱ) f ( x) ?

3 3 1 cos 2 x ? ? sin 2 x 2 2 2

? 3 1 3 1 3 ?f( )? cos ? ? sin ? ? ? ? 2 2 2 2 4 2

-3-

16sin 2 ? ? 4 sin ? ? 11 ? 0

解得 sin ? ?

1? 3 5 8

? ? ? (0, ?) ? sin ? ? 0 ? sin a ?

1? 3 5 8

15.已知函数 f(x)=2sinxcosx+cos2x. (Ⅰ) 求 f(

? ? 2 )的值;(Ⅱ) 设 ? ∈(0, ? ),f( )= ,求 sin ? 的值. 4 2 2

解:(Ⅰ)? f ( x) ? sin 2 x ? cos2 x

? ? ? ? f ( ) ? sin ? cos ? 1 4 2 2
(Ⅱ) ? f ( ) ? sin ? ? cos? ?

? 2

2 2

? 1 ? 3 ? sin(? ? ) ? , cos(? ? ) ? ? 4 2 4 2 sin ? ? sin(? ? ? ? ? )? 4 4 2? 6 2
1? 3 5 8

? ? ? (0, ?) ? sin ? ? 0 ? sin a ?
16. 已知向量 a ? (2 cos

x x ? x ? x ? , tan( ? )), b ? ( 2 sin( ? ), tan( ? )), 令f ( x) ? a ? b . 2 2 4 2 4 2 4

求函数 f(x)的最大值,最小正周期,并写出 f(x)在 0,π ]上的单调区间.

-4-

17.已知在△ABC 中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0,求角 A、B、C 的大小. . 解 法 一 由

sin A(sin B ? cos B) ? sin C ? 0



sin A sin B ? sin A cos B ? sin( A ? B) ? 0.
所 以

s

As i B ? i s n Ac n i B ?o s n Ac s i B ?o c n As s o B ? i0.s

n即

sin B(sin A ? cos A) ? 0.
因为 B ? (0, ? ), 所以 sin B ? 0 ,从而 cos A ? sin A.

? 3 . 从而 B ? C ? ? . 4 4 3 由 sin B ? cos 2C ? 0得 sin B ? cos 2( ? ? B) ? 0. 4
由 A ? (0, ? ), 知 A ? 即 sin B ? sin 2B ? 0.亦即sin B ? 2 sin B cos B ? 0. 由此得 cos B ?

1 ? 5? ? ? 5? , B ? ,C ? . 所以 A ? , B ? , C ? . 2 3 12 4 3 12

-5-

18.若函数 f ( x) ?

1 ? cos2 x 4 sin( ? x) 2

?

x x ? a sin cos(? ? ) 的最大值为 2,试确定常数 a 的值. 2 2

解: f ( x) ?

1 ? 2 cos2 x ? 1 2 sin( ? x) 2

?

? sin x ? a 2 sin(x ?

?
4

)

-6-

?

2 cos2 x ? ? ? sin x ? a 2 sin(x ? ) ? sin x ? cos x ? a 2 sin(x ? ) 2 cos x 4 4

? 2 sin( x ?

?
4

) ? a 2 sin( x ?

?
4

) ? ( 2 ? a 2 ) sin( x ?

?
4

)

因为 f ( x) 的最大值为 2 ? 3, sin( x ? 所以 a ? ? 3, 17. (福建卷)

?
4

) 的最大值为 1,则 2 ? a 2 ? 2 ? 3,

19.已知 ?

?
2

? x ? 0, sin x ? cos x ?

1 . 5

(I)求 sinx-cosx 的值;

3 sin 2
(Ⅱ)求

x x x x ? 2 sin cos ? cos2 2 2 2 2 的值. tan x ? cot x

本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知 识,以及推理和运算能力.满分 12 分.

1 1 , 平方得 sin 2 x ? 2 sin x cos x ? cos 2 x ? , 5 25 24 49 . ? (sin x ? cos x) 2 ? 1 ? 2 sin x cos x ? . 即 2 sin x cos x ? ? 25 25 ? 7 又? ? ? x ? 0,? sin x ? 0, cos x ? 0, sin x ? cos x ? 0, 故 sin x ? cos x ? ? . 2 5
解法一: (Ⅰ)由 sin x ? cos x ?

3 sin 2
(Ⅱ)

x x x x x ? sin cos ? cos2 2 sin 2 ? sin x ? 1 2 2 2 2 ? 2 sin x cos x tan x ? cot x ? cos x sin x

? sin x cos x(2 ? cos x ? sin x) ? (? 12 1 108 ) ? (2 ? ) ? ? 25 5 125

-7-


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