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必修2棱柱,棱锥,棱台,圆柱,圆锥,圆台性质,表面积,体积


必修2

空间几何体

必修2

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

思考:这些多面体可以分成几类? 每一类各有哪些多面体?
(6) (12)

(11)

(10)

(9)

(8)

(7)

必修2

第一类: 棱柱

(1)

第二类:

(2)

(5)

(8)

棱锥
(4) (6)

(7)

第三类:

(12)

棱台
(3) (10) (11)

(9)

必修2

棱柱

上面的几何体可以看作是由一个怎样的平面多边形

经过怎样的平移而形成的空间几何体?
一般地,由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空 间几何体叫做棱柱(prism).

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棱柱的元素
底面 侧面 侧棱

顶点

①底面 平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面. ②侧面 多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面. ③侧棱 相邻两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱. ④顶点 侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.

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棱柱的分类
根据棱柱底面多边形的边数

棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、……
把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……

三棱柱

四棱柱

五棱柱

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棱柱的表示法
通常用表示底面各顶点的字母来表示棱柱

棱柱ABCD- A1B1C1D1

D1 A1

C1

C1 A
1

B1 D

A1 B1 B1

E1

D1
C1

C B A

C
B

E
A B

A

D C

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棱柱的结构特征

底面 侧面 侧棱

平行 平行四边形 平行

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试举例我们周围有哪些具有棱柱结构的物体?

三棱镜

魔方

螺杆的头部

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棱锥

上面的两组几何体有什么不同,如何将上图中的棱柱 变换成各自上方的几何体?

当棱柱的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫 做棱锥(pyramid).

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棱锥的元素
顶点
A?

类比棱柱,给棱锥各元素命名
顶点
C?
B?

S

由棱柱的一个 底面收缩而成 的点 底面 余下的那个 多边形
C
B

底面

A

C
B

A

侧面

侧面 有公共顶点的 各三角形面 侧棱 相邻两侧面 的公共边

侧棱 相邻两侧面 的公共边

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棱锥的分类与表示法
S

A B C D

思考:仿照棱柱,说出棱锥的分类
棱锥的分类: 按底面多边形的边数,可以分为三棱锥、四棱锥、 五棱锥、…… 棱锥的表示方法: 图中的四棱锥可用棱锥S-ABCD表示或棱锥S-AC

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在同一个棱锥中的各个侧面三角形有什么共同特征?

棱锥的结构特征

底面 侧面

都是多边形(如三角形、四边形、五边形等)
有一个公共顶点的 三角形

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试举例我们周围有哪些具有棱锥结构的物体?

埃及卡夫拉王金字塔

墨西哥太阳金字塔

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棱台

上面的两组几何体有什么不同,如何将上图中的棱
锥变换成各自下方的几何体?

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棱台

棱锥被平行于底面的一个平面所截后,截面和底面

之间的部分叫做棱台(truncated pyramid).

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棱台的元素
A1 C1

上底面 底面 侧面
侧棱 C 底面 下底面

B1
A B

棱台的分类和表示
棱台的分类: 由三棱锥、四棱锥、五棱锥、……截得的棱台分 别叫做三棱台、四棱台、五棱台、…… 棱台的表示方法: 图中的三棱台可用棱台ABC-A1B1C1表示.

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下图中的几何体是不是棱台?为什么?

棱台的结构特征
上下底面平行,且对应 边成比例各侧棱延长后交 于一点。

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试举例我们周围有哪些具有棱台结构的物体?

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棱柱、棱锥、棱台都是由一些平面多边形围成的几何体.

由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.




顶点 明矾晶体 石膏晶体

食盐晶体

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面. 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱. 棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.

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类比总结

线段 平行四边形

平面多边形 棱柱

三角形

棱锥

梯形

棱台

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总结 ? 棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征

?
?

运动变化、类比联想的观点
将空间问题转化成平面问题的转化思想

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圆柱
B' A' 以矩形的一边所在直线为 旋转轴,其余三边旋转形成的曲 面所围成的几何体叫做圆柱. A
O O'

B

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圆锥

S

以直角三角形的一条 直角边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面 所围成的几何体叫做圆锥.

A

O
B

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圆台

用一个平行于圆锥底 面的平面去截圆锥,底面与 截面之间的部分是圆台.

O’ O

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以半圆的直径所在的直线为 旋转轴,将半圆旋转所形成的曲 面叫作球面,球面所围成的几何 体叫作球体,简称球. 注意: 球与球面的区别与联系.

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多面体的展开图和表面积
在初中已经学过正方体和长方体的表面积,你知道正方体 和长方体的展开图的面积与其表面积的关系吗?

几何体表面积

展开图

平面图形面积 平面问题

空间问题

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棱柱的展开图 正六棱柱的侧面展开图是什么?如何计算 它的表面积?

S表面积 ? S底面积 ? S侧面积

a

h
正棱柱的侧面展开图

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棱锥的展开图
正五棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

侧面展开

h'

正棱锥的侧面展开图

h'

棱台的展开图
正四棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

侧面展开

h'

正棱台的侧面展开图

h'

棱柱、棱锥、棱台的表面积

h'

h'

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几 何体,它们的侧面展开图还是平面图形,计算它们的 表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和.

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例1 已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体 S-ABC,求它的表面积 .
分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成,因此只要 求…... 解:先求 ?SBC 的面积,过点S作 SD ? BC

S
a

交BC于点D.

A
B D

3 因为SB=a, SD ? SB ? sin 60 ? a 2
?

C S ?ABC

1 1 3 3 2 ? BC ? SD ? a ? a? a 2 2 2 4

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圆柱的表面积

r O?

l
O

2?r

圆柱的侧面展开图是矩形

S圆柱表面积 ? 2?r ? 2?rl ? 2?r (r ? l )
2

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圆锥的表面积

2?r

l

r

O
2

圆锥的侧面展开图是扇形

S圆锥表面积 ? ?r ? ?rl ? ?r(r ? l )

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蜜蜂爬行的最短路线问题.
B

易拉罐 的底面 直径为 8cm,高 25cm.

A
分析: 可以把圆柱沿开始时蜜蜂所在位置的母线展开,将问题转 化为平面几何的问题.

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柱体、锥体、台体的体积
正方体、长方体,以及圆柱的体积公式可以统一为:

V = Sh(S为底面面积,h为高)
一般棱柱的体积公式也是V = Sh,其中S为底面面积, h为高。

1 棱锥的体积公式也是 S ? Sh ,其中S为底面面积, 3 h为高。

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圆锥与同底等高的圆柱体积之间的关系?
O`

S

O

O

1 它是同底同高的圆柱的体积的 3 1 V ? Sh 3

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三视图

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必修2

必修2

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平行投影 斜投影

中心投影

A

B C 正投影

D

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三视图表达的意义
从前面正对着物体观察,画出主视图,主视 图反映了物体的长和高及前后两个面的实形. 从上向下正对着物体观察,画出俯视图,布 置在主视图的正下方,俯视图反映了物体的长和 宽及上下两个面的实形. 从左向右正对着物体观察,画出左视图,布 置在主视图的正右方,左视图反映了物体的宽和 高及左右两个面的实形.

三视图能反映物体真实的形状和长、宽、高.

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基本几何体的三视图
正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图

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正方体的三视图




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长方体的三视图




长方体

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圆柱的三视图




圆柱

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圆锥的三视图



圆锥

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球的三视图




球体

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三视图的形成

V

正立投影面 水平投影面 侧立投影面

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W V

正视图

俯视图 侧视图
H

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主 视 图

左视图 俯视图

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三视图的特点

长对正 高平齐

宽相等

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三视图的对应规律
? 作三视图的原则: ? “长对正、高平齐、宽相等” ? 它是指:正视图和俯视图一样长:正视图和侧视图 一样高:俯视图和侧视图一样宽
正视图和俯视图长对正 正视图和左视图高平齐 俯视图和左视图宽相等

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基本几何体三视图
对于基本几何体棱柱、棱锥、棱台以及圆台的三 视图是怎样的?

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棱柱的三视图




六棱柱

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棱锥的三视图




正三棱锥

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棱锥的三视图




正四棱锥

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棱台的三视图




正四棱台

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圆台的三视图




圆台

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圆台的三视图




圆台

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由三视图想象几何体 下面是一些立体图形的三视图,请根据视 图说出立体图形的名称:

正视图

侧视图

俯视图

四棱柱

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一个几何体的三视图如下,你能说出它是什么立 体图形吗?

四棱锥

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如图是一个物体的三视图,试说出物体的形状。

正 视 图

左 视 图

俯 视 图

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如图是一个物体的三视图,试说出物体的形状。

正 视 图

侧 视 图

俯 视 图

总结:
几何体的性质,特点;

表面积,体积;
三视图。

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一. 点,线,面之间的位置关系
1.平面的基本性质与推论: (1)平面的基本性质:
①点和直线的基本性质:连接两点的线中,线

段最短。
②过两点有一条直线,并且只有一条直线。

(1)现实生活小技巧:工程人员在检
查物体表面是不是平坦时,把直尺放在物 体的各个表面上,如果直尺边缘与物体表 面都不出现缝隙,就可以判断这个物体表 面是平的。

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公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那 么这条直线上的所有点都在这个平面内。(图1-1)
这时我们说,直线在平面内或平面经过直线。

A ?

B

图1-1

利用这一性质,可以判断一条直线 是否在一个平面内。

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公理2 经过不在同一条直线上的三点,有且只 有一个平面,也可以简单地说成,不共线的三点 确定一个平面。
A B C

图1-2

(2)现实生活小技巧:要想让一个物
体能够安稳地立在平面上,就可以应用到 上面这个公理2.例如:照相机需用三条腿 的架子才能支撑在地面上,就是根据这个 性质。

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公理3 如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它 们有且只有一条过这个点的公共直线。

a ? B

A

图1-3

如果两个平面有一条公 共直线,则称这两个平 面相交。这条公共直线 叫做两个平面的交线。

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(2)平面基本性质的推论 有平面的基本性质,可以得到下面的推论:

推论1:经过一条直线和直线外的一点,有且只有 一个平面。

A B 图1-4 C

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推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面 (图1-5) 。

B

A

C
图1-5

A

B 图1-6

C

推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。 (图1-6)

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我们学习过集合的知识,其实集合的知识不只在代 数中应用,在立体几何中同样适用。

? 内,记作:A∈? 点A在不在平面 ? 内,记作:A∈? 直线b在平面 ? 内,记作: b ? ? 直线b不在平面 ? 内,记作:b ? ?
点A在平面

平面Q与平面R相交于直线a,记作:Q∩R =a
直线l和m相交于点A,记作:l∩m =A

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1.判断下列命题的真假:

(1) 如果两个平面有两个公共点A,B,那么它们就有无数多个 公共点,并且这些公共点都在直线AB上( ); (2) 过一条直线的平面有无数多个( );
);

(3) 两个平面的公共点的集合,可能是一条线段(

2.线段AB在平面a内,直线AB是否在平面a内?为什么?
直线AB在平面a内,因为两点确定一条直线。线段AB上的A 点和B点,也同样在直线AB上。

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3.是否存在与一个平面没有公共点的直线?

存在。与平面平行的直线和这个平面就没有公共点。
4.一扇门,可以想象为平面的一部分,通常用两个合页把它 们固定在门框的一边上,当门不锁上时,可以自由转动, 如果门锁上,则门就固定在墙上,这个事实说明平面具有 哪条基本性质?

推论1:经过一条直线和直线外 的一点,有且只有一个平面。

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思考:
1.一个平面能把空间分成几个部分?
2.用集合的符号表示下列语句:
(1)点A在直线L上,点B不在直线L上; (2)平面a与平面b相交于过点A的直线L; (3)直线L在平面a内,直线m与平面a有且只有 一个公共点M;

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2.空间中的平行关系
(1)平行直线

在初中,把在同一平面内不相交的两条直线
叫做平行线,平行公理:过直线外一点 有且只有一条直线和这条直线平行。 在初中我们还学过,在同一平面内,如果两条直 线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相 平行。

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公理4 平行于同一条直线的两条直线相互平行。 如果a//b,b//c,那么a//c。上述这个性质通 常又叫做空间平行线的传递性。 定理:如果一个角的两边与 另一个角的两边分别对应平 行,并且方向相同,那么这 两个角相等。
c

b
a

图1-7

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(2)直线与平面平行
直线a和平面? 只有一个公共点A,叫做直线与平面相 交,这个公共点A叫做直线与平面的交点,并记作a∩? =A。 直线a和平面 ? 没有一个公共点,叫做直线与平面平 行,并记作a//? 。 如果直线不在平面内,那么直线不是与平面平行, 就是与平面相交。

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定理 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的 一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
a b c

?

?

(3)平面与平面平行 两个不重合的平面的位置关系除相交外,还有另一种 情况: 如果两个平面没有公共点,那么这两个平面叫做 平行平面。平面a平行于平面b,记作:a//b

必修2

定理 如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平 面,那么这两个平面平行。
利用直线与平面平行的判定定理,我们可以得到: 推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于 另一个平面内的两条直线,则这两个平面平行。

定理 如果两个平行平面同时与第三个平面相交,
那么它们的交线平行。

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3.空间中的垂直关系
(1)直线与平面垂直
如果一条直线和一个平面相交于一点,并且和这个 平面内过交点的任何直线都垂直,我们就说这条直 线和这个平面互相垂直,这条直线叫做平面的垂线, 这个平面叫做直线的垂面。交点叫做垂足。垂线上 任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平面 的垂线段。垂线段的长度叫做这个点到平面的距离。
L
a O

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直线L和平面a互相垂直,记作L⊥a

定理 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直, 则这条直线与这个平面垂直。 推论 如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面, 那么另一条直线也垂直于这个平面。
L1 L2

a

n

m

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定理 如果两条直线垂直于同一个平面,那么这 两条直线平行。
L1 L2 L1

a
b c

(2)平面与平面垂直

定理 如果一个平面过另一个平面的一条垂线, 则两个平面互相垂直。

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定理 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂 直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
b L2 L1

a

L3 L4

(3)现实生活小技巧:建筑工人在 砌墙时,常用一端系有铅垂的线来检 查所砌的墙是否和水平面垂直,实际 上就是依据这个定理。

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总结:
(1)掌握空间点线面的各个公里,定理,推论; (2)能够灵活运用。

END


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(4)球: . 3.棱柱棱锥棱台的展开图与表面积体积的计算公式 (1)直...(2)表面积体积公式: 4.圆柱圆锥圆台的展开图、表面积体积的计算公式...