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根据正弦型函数的图象求其解析式


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(一)课前系统部分 1、设计思想 建构主义强调, 学生并不是空着脑袋走进教室的。 在日常生活中, 在以往的学习中, 他们已经形成了丰富的经验, 小到身边的衣食住行, 大到宇宙、星体的运行,从自然现象到社会生活,他们几乎都有一些 自己的看法。而且,有些问题即使他们还没有接触过,没有现成的经 验,但当问题一旦呈现在面前时,他们

往往也可以基于相关的经验, 依靠他们的认知能力,形成对问题的某种解释。而且,这种解释并不 都是胡乱猜测,而是从他们的经验背景出发而推出的合乎逻辑的假 设。所以,教学不能无视学生的这些经验,另起炉灶,从外部装进新 知识,而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点,引导学生 从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。 为此我们根据“用已知知识去探讨新知识”的教学方式,沿 着 “复习已知知识--提出由简单到复杂的问题--解决问题--反思解决 过程” 这条主线, 把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点, 以“问题”为红线组织教学,形成以提出问题与解决问题相互引发携 手并进的“情境--问题”学习链,使学生真正成为提出问题和解决问 题的主体,成为知识的“发现者”和“创造者”,使教学过程成为学 生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。根据上述精神,做出 了如下设计: 创设一个现实问题情境作为提出问题的背景, 并且用示波器演示 电压的图形,让学生对数学的学习产生形象直观的感觉,逐步将现实
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问题转化、抽象成过渡性数学问题,并使学生产生进一步探索解决问 题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质。 2、课标及教材分析 “根据正弦型函数的图象求其解析式” 是职高教科书数学第一册 第七章第三节的延展内容,它是在学习好正弦函数,正弦型函数后的 一个升华内容,是三角函数图象知识的高层次运用,也是解决生活实 际问题的一个重要思想方法, 因此具有一定的应用价值。 布鲁纳指出, 学生不是被动的、消极的知识的接受者,而是主动的、积极的知识的 探究者。教师的作用是创设学生能够独立探究的情境,引导学生去思 考,参与知识获得的过程。因此,做好“根据正弦型函数的图象求解 析式” 的教学, 不仅能复习巩固旧知识, 使学生掌握新的有用的知识, 体会联系、发展等辩证观点,而且能培养学生的应用意识和实践操作 能力,以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。 3、学情分析 在近几年教学实践中我们发现这样的怪现象: 绝大多数学生认为 数学很重要,但很难;学得很苦、太抽象、太枯燥,要不是升学,我 们才不会去理会,况且将来用数学的机会很少;许多学生完全依赖于 教师的讲解,不会自学,不敢提问题,也不知如何提问题。这说明了 学生一是不会学数学,二是对数学有恐惧感,没有信心,这样的心态 怎能对数学有所创新呢?即使有所创新那与学生们所花代价也不成 比例,其间扼杀了他们太多的快乐和个性特长。建构主义提倡情境式

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教学,认为多数学习应与具体情境有关,只有在解决与现实世界相关 联的问题中,所建构的知识才将更丰富、更有效和易于迁移。 4、教学目标 通过本节课的学习,能够让学生更加深刻的理解到正弦型函数
y ? sin x 与正弦型函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的变换关系,并且能通过正弦型

函数的图象用平移法求出其解析式, 从而对函数图象的平移与五点作 图法有更深刻的了解,对于接受能力强的,能够掌握五点法就比较成 功了。 5、重点难点 重难点都是正弦型函数 y ? A sin(? x ? ? ) 各参数求法, 尤其是字母 ? 的求法,因些在本节课中介绍了两种解法,着重讲解平移法,最后介 绍五点法求解,只要求学生能了解。 6、教学策略与手段 本节课的内容很有层次感,有简单的,有提高的,对每一类同学 都会有所得。主要采用启发性讲述法、试验法和采用多媒体手段教学 方法。 7、教学用具及课前准备 教师:借一个物理上用的学生示波器。并把课堂练习题印在一 张试卷上。让学生在课堂上直接做在试卷上。 学生:在课前应该对正弦函数变换到正弦型函数的图象的过程 相当熟悉,特别是对初相位 ? 的作用。另外对五点法作正弦型函数的 图象的过程比较了解。这将为五点法找函数的解析式提供不少方便。
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(二)课堂系统部分——教学过程 1、课前探究: 同学们,我们对现在使用的市电还是比 较熟悉的,都知道是 220V,然而大家可能不 知道市电的电压并不是稳定于 220V 不变,而是随着时间改变电压不 断改变的,并且电压随时间变化的图象就是一个正弦型函数的图象, 现在我们做一个实验,请大家观察一下电压变化情况。用示波器演示 电压变化图。 2、新课导入部分 正弦型函数的图象广泛地存在于我们的生活中,比如说,刚才做 实验发现的市电的电压,电流值,以及物理学的简谐振动等等都可以 看成是一种正弦型函数。如果我们能把这个函数的图象表达式求出 来, 那么我们就能更加深刻的了解这种变化关系, 因此在这一堂课中, 我们将学习如何通过正弦型函数的图象求解析式。 请大家先回答我几 个问题。 (1)由正弦函数 y ? sin x 的图象变到 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象,要分 几部,哪几步? (2)正弦型函数解析式中的几个参数 A, ? , ? 的作用分别是什 么。
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(3)五点法作函数型函数的图象时,是如何列表的。 3、新课内容: (1)平移法求正弦型函数的图象 请大家观察 PPT 中的几个简单的正弦型函数的图象,并说出他的 解析式。

图1 图3

图2

这三个问题这简单了,一般都拦不住大家,下面我们研究有点难 度的图象,比如说这个 例 1:根据所给正弦型函数的图象,求出其表达式。

这个例题要分析透彻, 特 别是平移量为什么应该加上 X 上面,对于有系数的,一定要 把系数放在外面

(1)请一位同学分析出,这个函数的图象的最值问题:最大值为 2,最小值为-2,因此得出 A=2

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(2)请一位同学观察得出这个函数的周期:T=

5? ? ? (? ) ? ? ,并 6 6

且用自己的话说明正弦型函数的图象何为一个周期。并能计算出
w? 2? ?2, T

(3)再请一位同学分析平移量的问题:向左平移了 个单位,根 据以前学的函数平移知识(左加右减,上加下减) ,得出公式,但 要强调是在 x 后面加还是在 wx 后面加。得出表达式为
y ? 2sin[2( x ? )] ,即 y ? 2 sin( x ? ) 6 3

? 6

?

?

练习 1:请同学们完成试卷上面的习题,根据正弦型函数的图象 求其表达式。 习题 1:

(1)函数的最大值是____,最小值是______,因此 A=________ (2)函数的一个周期 T=___________,因此 w ? ___________ (3)函数的图象向_____平移了_________个单位, 综上得出此函数图象的表达式为_____________

习题 2

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(1)函数的最大值是____,最小值是______,因此 A=________ (2)函数的一个周期 T=___________,因此 w ? ___________ (3)函数的图象向_____平移了_________个单位, 综上得出此函数图象的表达式为_____________ 例 2:根据所给正弦型函数的图象,求出其表达式。
y
2

O ?
?2

5? 6

12

x

(1)请一位同学分析出,这个函数的图象的最值问题:最大值为 2, 最小值为-2,因此得出 A=2 (2)请同学们分析周期的问题,从
? 5? 3 到 是 个周期。因此 12 6 4 2? 3 5? ? T? ? ,从而计算出 T= ? ,由 w ? 得出 w ? 2 。 T 4 6 12

(3)关于平移量的问题,先要计算五点中的第一个点的坐标,通过 周期与第五个点的坐标不难计算出第一个点的坐标为 ? ,因此是向
6 ? ? ( n i 2 s 左平移了 个单位, 从而得出表达式 y ? 2sin[2( x ? )] , 即 y ?2 6 6

?

) x?

?
3

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练习 2:请同学们完成试卷上面的习题,根据正弦型函数的图象求其 表达式。 习题 3:

(1)函数的最大值是____,最小值是______,因此 A=________ (2)函数的一个周期 T=___________,因此 w ? ___________ (3)函数图象五个点中的第一个点的坐标为____________,因此函 数的图象向_____平移了__________个单位, 综上得出此函数图象的表达式为____________________

(2)探究用五点法来求正弦型函数图象的表达式 例 3:根据所给正弦型函数的图象,求出其表达式。
y
2

O ?
?2

5? 6

12

x

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从图象容易观察出 (
(

5? , 0) 为第五个点,因此由作图时列举时的五点计算公式,容易 6

? , 2) 为五点作图法中的第二个点, 12

计算出 w和? 。从而得出函数表达式。 练习 3:请同学们完成试卷上面的习题,根据正弦型函数的图象求其 表达式。 习题 4:

4、板书设计

一、复习回顾 1、正弦型函数解析式: y=Asin(ω x+φ )

二、例题分析 ???????????? ??

A:决定峰值(即纵向拉伸压缩 ???????????? 的倍数) ω :决定周期(最小正周期 T=2 π /∣ω ∣) φ :决定波形与 X 轴位置关系或 横向移动距离(左加右减) ??

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2、 函数图象的平移 (左加右减, 上加下减) 3、 五点法作正弦型函数的图象 x ω y=Asin( ω x +φ x+φ ) 0 0
?
2

?

3? 2

2?

A

0

-A

0

5、小结: 这堂课我们学习了如何利用正弦型函数的图象求其解析式的方 法:平移法,五点法。 6、作业设计 (1)已知函数 f ( x) ? 2sin( (A)
13? 8 13? 4

13 ? x ? ) ? 5 ,它的最小正周期是( 4 3 4? 8? (B) (C ) 13 13

) (D)

(2)已知函数 f ( x) ? 2sin( (A) 2
? 3

13 ? x ? ) ,它的最大值是( 4 3 13 (B ) -2 (C) 4

) (D)

(3)已知函数 f ( x) ? 2sin( wx ? ) 的周期是 ,则 w =( (A) 2
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?

? 3

3

? 3

) (D)

(B) 6

(C) 3

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(4)请根据正弦型函数的图象求出解析式(最好用两种方法求解) :

x

5? 12

(5)已知函数 y ? A sin(wx ? ? ) ? b ( A ? 0, w ? 0, x ? R )在一个周期内的 图象如图示,求直线 y ? 3 与函数 f ( x) 图象的所有交点的坐标。

(三)课后系统部分——教学后记 这堂课在第一个班上时,感觉不太成功,首先,正弦型函数的图 象这部分内容知识点较繁琐,并且难度很大,对学生的要求较高,而 我们的学情是学生基础差,底子薄,理解、计算能力不强;其次,涉 及到作图问题,我们的学生动手能力和积极性都很差。这两方面都给 我教学环节的设计和教学语言的组织带来了困难。 如何提升他们的学 习兴趣,科学有效地引导他们,使他们“听得懂,学得会” ,是我面 临的最大问题, 在得到组内老师的大力帮助下, 确定了这堂课的主线: 先让学生知道正弦型函数的图象广泛存在于我的生活中, 明确研究图
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象写表达式的意义,然后用几何画板演示出三个参数对图象的作用, 最终解决问题。吸取了这个教训之后,在第二个班上取得了比较好的 效果。 自我感觉这节课的亮点有以下几个方面: 1、从生活出发的教学让学生感受到学习的快乐,向同学展示了交 流电的电压与电流以及沙摆运动图象恰恰是我们的正弦型函数的图 象。 2、充分利用几何画板的功能,让学生能清楚的认识到三个参数对 于图象变化的决定作用。 3、学生自主思维时间多,在这堂中,我很少直接把解决问题的方 法告诉他们,而是让他们自己自主探索,当学生出现问题时,得到了 我的及时修正,可以这样说,这堂课中没有填鸭式的教学,而是完全 交给学生自己思考,自己解决。 4、最后除了用平移法解决问题外,还介绍了五点法,一题多解 是开发学生潜能的好帮手。 反思之下还主要存在以下几个方面的不足,需要我认真反思,并 在今后不断努力改进: 1、在最后介绍五点法时稍快,给学生的思考和发挥的空间不足, 给学生寻找正弦型函数图象中的五点的时间不够长; 应当多让他们去 领悟“五点作图法”的思维过程,而且可以用小组讨论的方法调动他 们去想问题,这样才能使他们对知识的理解更为深刻。 2、教学语言还需要不断锤炼。数学这一门严谨的学科决定了老师
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的语言必须精确到位,不能含糊其辞,因为它对学生的逻辑思维起着 潜移默化的影响。 教育人生的精彩源于课堂,新课改也对教师提出了越来越高的要 求。面对过去自己经历过的刻板、死气、严肃的灌输式教育法,现在 更提倡多给学生一点爱,让学生积极地参与到课堂活动中来;同时老 师要做有效课堂的引导者, 不断优化教学策略, 体现良好的示范作用。 作为一名年轻教师,我肩负着崇高的使命。必须不断学习,不断改进 和超越自己,才能赢得学生的喜爱和社会的认可。这段时间的公开课 提供给了我非常好的打磨和展示自我的平台,我会以此为契机,在平 日的教学实践中不断思考和创新,争取早日脱胎换骨,成为一名成熟 并且优秀的数学教师!

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