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&高考中数列求和的方法(含答案)


数列求和的方法
【明确考纲要求】 1、掌握等差、等比数列求和的基本公式及注意事项. 2、理解并能运用数列求和的其他常见方法. 【考情分析】 1、数列是历年来高考重点内容之一, 在选择题、填空题与解答题中均有可能出现,一般考 查一个大题一个小题,难度中低高都有,在解答题 中,经常与不等式、函数等知识相结合, 在考查数列知识的同时,又考查转化思想和分类讨论等思想,以及分析问题、解决问题的 能力. 2、2015 年的高考将会继续保持稳定,坚持考查数列与其他知识的结合,或在选择题、填空 题中继续搞创新,命题形式会更加灵活.

【回顾基础知识】 数列求和的常用方法 1.公式法

2.倒序相加法 如果一个数列{an},首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数列 的前 n 项和即可用倒序相加法,如等差数列的前 n 项和即是用此法推导的. 3.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数 列的前 n 项和即可用此法来求,如等比数列的前 n 项和就是用此法推导的. 4.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. 1

常见的拆项公式有:

5.分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和 法,分别求和而后相加减. 6.并项求和法 一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如 an=(-1) f(n)类型, 可采用两项合并求解. 【分析题型】 题型一:分组求和
n

1?2 ? 2 1 ?2 ? n 1 ?2 【典型例题】求和:Sn=? ?x+x? +?x +x2? +?+?x +xn? .

1 ? ? 1? ? 1 1? ? 1 1 【迁移训练 1】求和 Sn=1+?1+ ?+?1+ + ?+?+?1+ + +?+ n-1?. 2 ? ? 2? ? 2 4? ? 2 4 题型二:错位相减法

【典型例题】已知数列|an|的前 n 项和 Sn=kc -k(其中 c,k 为常数),且 a2=4,a6=8a3. 2

n

(1)求 an; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn.

【迁移训练 1】设数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n2,{bn}为等比数列,且 a1=b1,b2(a2-a1) =b1. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; an (2)设 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. bn

题型三:裂项相消法

【典型例题】在等差数列{an}中,a5=5,S3=6. (1)若 Tn 为数列?
?

1 ?

?anan+1?

?的前 n 项和,求 Tn;

(2)若 an+1≥λ Tn 对任意的正整数 n 都成立,求实数 λ 的最大值.

Sn? * 【迁移训练 1】设数列{an}的前 n 项和为 Sn,点? ?n, n ?(n∈N )均在函数 y=3x-2 的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; 3 m (2)设 bn= ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn< 对所有 n∈N*都成立的最小正整 20 anan+1 数 m. 【名师小结】 高考考查的重点是等差、等比数列的求和公式,错位相减法求和及裂项相消法求和。 3

参考答案 1 1 1 x+ ?2+?x2+ 2?2+?+?xn+ n?2. 【典型例题】求和:Sn=? x? x? ? x? ? ?

1 ? ? 1? ? 1 1? ? 1 1 【迁移训练 1】求和 Sn=1+?1+ ?+?1+ + ?+?+?1+ + +?+ n-1?. 2 ? ? 2? ? 2 4? ? 2 4

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题型二:错位相减法 【典型例题】已知数列|an|的前 n 项和 Sn=kc -k(其中 c,k 为常数),且 a2=4,a6= 8a3. (1)求 an; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn.
n

【迁移训练 1】设数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n2,{bn}为等比数列,且 a1=b1,b2(a2-a1) =b1. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; an (2)设 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. bn 5

题型三:裂项相消法

【典型例题】在等差数列{an}中,a5=5,S3=6. (1)若 Tn 为数列?
? ?的前 n 项和,求 Tn; ?anan+1?

1 ?

(2)若 an+1≥λ Tn 对任意的正整数 n 都成立,求实数 λ 的最大值.

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【解析】

Sn? * 【迁移训练 1】设数列{an}的前 n 项和为 Sn,点? ?n, n ?(n∈N )均在函数 y=3x-2 的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; 3 m (2)设 bn= ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn< 对所有 n∈N*都成立的最小正整 20 anan+1 数 m.

7



3 ?6n-5?[6?n+1?-5]

题型四:数列的性质的应用

【典型例题】已知数列{an}的每一项都是正数,满足 a1=2 且 an+1-anan+1-2an=0;等差数 列{bn}的前 n 项和为 Tn,b2=3,T5=25. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; 1 1 1 (2)比较 + +?+ 与 2 的大小;

2

2

T1 T2

Tn

(3)若 + +?+ <c 恒成立,求整数 c 的最小值.

b1 b2 a1 a2

bn an

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【迁移训练 1】已知数列{an}的每一项都是正数,满足 a1=2 且 an+1-anan+1-2an=0;等差 数列{bn}的前 n 项和为 Tn,b2=3,T5=25. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; 1 1 1 (2)比较 + +?+ 与 2 的大小;

2

2

T1 T2

Tn

(3)若 + +?+ <c 恒成立,求整数 c 的最小值.

b1 b2 a1 a2

bn an

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