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数学人教A版必修5第二章2.4等比数列(第1课时)


第 1 课时

等比数列

1.理解等比数列的概念,明确“同一个常数”的含义. 2.掌握等比数列的通项公式及其应用. 3.会判定等比数列,了解等比数列在实际中的应用.

1.等比数列 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的__都等于同一个常数,那么 这个数列就叫做等比数列,这个常数就叫做等比数列的___

_,通常用字母 q(q≠0)表示.
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如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它前一项的比尽管是一个与 n 无关的常数, 但却是 不同的常数,这时此数列不是等比数列. 【做一做 1】 等比数列 3,6,12,24 的公比 q=__________. 2.通项公式 等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则通项公式为 an=____ __(a1≠0,q≠0). 【做一做 2】 等比数列{an}中,a1=2,q=3,则 an 等于( ) n-1 A.6 B.3× 2 - C.2× 3n 1 D.6n 3.等比中项 如果 a,G,b 成等比数列,那么__叫做 a 与 b 的等比中项.
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等比中项的性质: (1)G 是 a 与 b 的等比中项,则 a 与 b 的符号相同,符号相反的两个实数不存在等比中 项. G=± ab,即等比中项有两个,且互为相反数. (2)当 G2=ab 时, G 不一定是 a 与 b 的等 比中项.例如 02=5× 0,但 0,0,5 不是等比数 列. 【做一做 3】 4 与 9 的等比中项为( ) A.6 B.-6 C.± 6 D.36 答案:1.比 【做一做 1】 - 2.a1qn 1 【做一 做 2】 3.G 【做一做 3】 公比 2 C C

1.理解等比数列的定义 剖析:可以从以下几个方面理解等比数列的定义: (1)公比 q≠0,这是必然的,也就是说,不存在公比 q=0 的等比数列,还可以理解为在 等比数列中,不存在数值为 0 的项. (2)每一项与它的前一项的比是同一个常数,是具有任意性的,但须注意是从“第 2 项” 起.

(3)每一项与它的前一项的比是同一个常数,强调的是“同一个”. (4)对于公比 q,要注意它是每一项与它前一项的比,次序不能颠倒. (5)定义还可用数学符号语言叙述为: an+1 an+1 在数列{an}中, 若 =q(其中 q 是常数, q≠0, n∈N*), 则{an}是等比数列. =q(q≠0, an an n∈N*)也是说明一个数列是等比数列的依据. (6)各项不为零的常数列既是等差数列,又是等比数列. 2.理解等比数列的通项公式 剖析:(1)已知等比数列的首项 a1 与公比 q 可求得任何一项. (2)在通项公式中,知道 a1,q,n,an 四个量中的三个,可以求得另一个量,即“知三求 一”. - (3)通项公式的推广式为 an=am· qn m,由此可知,已知等比数列的任意两项,这个数列 就 是一个确定的数列. (4)对于选择题或填空题还可以直接用以下结论: + ①如果数列{an}的通项公式是 an=aqkn b(a,k,b,q 是常数,a≠0,q≠0),那么数列{an} 是等比数列. ②如果数列{an}满足 a2n=an- 1an+1(an-1,an,an+1 均不为 0,n∈N?),那么数列{an}是 等比数列. 3.等比数列与指数函数的关系 剖析:等 比数列的通项公式可整理为 an= qn .当 q>0,且 q≠1 时,y= qx(q≠1)是一 个不为零的常数 与指数函数 qx 的乘积 .表示数列 中的各项的点是函数 y= qx 的图象上 的孤立的点.如图,表示等比数列{2n-1}的各点都在函数 y=2x-1 的图象上.

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题型一 求等比数列的通项公式 【例题 1】 在等比数列{an}中,已知 a5-a1=15,a4-a2=6,求 an. 分析:设公比 q,列出关于 a1 和 q 的方程组来求解. 反思:a1 和 q 是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,其他量便可迎刃而解(如 本题求 an).此类问题求解的通法是根据条件,利用等比数列通项公式,建立关于 a1 和 q 的 方程组,求出 a1 和 q.其中解这类方程组常用的技巧是两个方程相除. 题型二 等比数列的判定和证明 【例题 2】 已知数列{an}满足 lg an=3n+5,求证:{an}是等比数列. an+1 分析:可由 lg an=3n+5 求出 an,再证明 是与 n 无关的常数. an 反思:证明数列是等比数列常用的方法: an+1 an ①定义法: =q(q≠0, 且是常数)或 =q(q≠0, 且是常数)(n≥2) {an}为等比数列. 此 an an-1 法适用于给出通项公式的数列,如本题. ②等比中项法:a2n+1=an· an+2(an≠0,n∈N*) {an}为等比数列.此法适用于通项公式 不明确的数列. - ③通项法:an=a1qn 1(其中 a1,q 为非零常数,n∈N*) {an}为等比数列.此法适用于 做选择题和填空题. 题型三 应用问题

【例题 3】 某工厂 2010 年 1 月的生产总值为 a 万元,计划从 2010 年 2 月起,每个月 生产总值比上一个月增长 m%,那么到 2011 年 8 月底该厂的生产总值为多少万元? 分析:转化为求等比数列的一项. 反思: 利用数列解决实际问题的关键是建立含有数列的数学模型, 本题的数学模型是每 月的生产总值组成一个等比数列. 题型四 易错辨析 【例题 4】 2+ 3与 2- 3的等比中项是__________. 错解:设 2+ 3与 2- 3的 等比中项为 G, 则 G2=(2+ 3)(2- 3)=4-3=1,故 G=1. 错因分析:两个同号的实数的等比中项有两个,且互为相反数.错解中只求了一个. 反思:两个实数的等比中项可能有两个,也可能没有,但一定不能只有一个. 答案: 【例题 1】 解:设等比数列{an}的公比为 q, 4 ? ① ?a5-a1=a1q -a1=15, ? 则有 3 ?a4-a2=a1q -a1q=6, ② ? 1 由①÷ ②,得 q= 或 q=2. 2 1 当 q= 时,a1=-16. 2 当 q=2 时,a1=1. ?1?n-1 或 an=2n-1. 故 an=-16· ?2? + 【例题 2】 证明:∵lg an=3n+5,∴an=103n 5. + + + ∴an+1=103(n 1) 5=103n 8. 3n+8 an+1 10 ∴ = =1 000. an 103n+5 ∴数列{an}是等比数列. 【例题 3】 解:设从 2010 年 1 月开始,第 n 个月该厂的生产总值是 an 万元,则 an+1 =an+anm%, an+1 ∴ =1+m%, an ∴数列{an}是首项 a1=a,公比 q=1+m%的等比数列. - ∴an=a(1+m%)n 1. - ∴2011 年 8 月底该厂的生产总值为 a20=a(1+m%)20 1=a(1+m%)19(万元). 【例题 4】 正解:设 2+ 3与 2- 3的等比中项为 G, 则 G2=(2+ 3)(2- 3)=4-3=1,∴G=± 1. ∴2+ 3与 2- 3的等比中项为± 1.

1 已知等比数列{an}满足 a1+a2=3 ,a2+a3=6,则 a7 等于( A.243 B.128 C.81 D.64 2(2011· 浙江杭州一模)已知等比数列前 3 项为

)

1 1 1 ,? , ,则其第 8 项是__________. 2 4 8 9 1 2 3 在等比数列{an}中,a1= ,an= ,公比 q= ,则 n=__________. 8 3 3
4 一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存 2 KB,然后每 3 分钟自身复制一次, 复制后所占内存是原来的 2 倍,那么开机后__________分钟,该病毒占据内存 64 MB(1 MB =210 KB). 5 在数列{an}中,an=7· 3n,求证:数列{an}是等比数列.

答案:1.D 2. ? 5.证明:∵

an ?1 an

1 3.4 4.45 256 7 ? 3n ?1 ? ? 3, 7 ? 3n

∴数列{an}是等比数列.


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