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泉州一中2015届高三5月质量检测试卷数学(文)


泉州一中 2015 届高中毕业班 5 月模拟质检

数学(文科)试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 参考公式: 锥体体积公式 柱体体积公式

V?

1 Sh 3 V ? Sh

其中 S 为底面面积, h 为高 其中 S 为底面面积, h 为高

球的表面积、体积公式

S ? 4?R 2 ,V ?

4 3 ?R 3

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.已知集合 M ? {?1,0,1, 2,3}, N ? {?2,0} ,则下列结论正确的是 A. N ? M B. M

N?N

C. M

N ?M

D. M

N ? ?0?

2.下列说法正确的是 A.“若 x ?

?
3

,则 sin x ?

3 ”的逆命题为真 2

2 2 B. a, b, c 为实数,若 a ? b ,则 ac ? bc 2 2 ? C.命题 p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0

? D.若命题 p ? q 为真,则 p 假 q 真

3.设向量 a 、 b 均为单位向量,且 a ? b ? 1 ,则 a 、 b 的夹角为 A.

? 3

B.

? 2

C.

2? 3

D.

3? 4

?x ? y ? 3 ? 4.设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则目标函数 z ? ?2x ? y 的最大值为 ?y ? 1 ?
A.-2 B.0
2

C.1

D.2

5.已知函数 f ( x) ? cos x ?

1 ,则 2
B. f ( x ) 为奇函数且最小正周期为 ?

A. f ( x ) 为偶函数且最小正周期为 ?

C. f ( x ) 为偶函数且最小正周期为 2?

D. f ( x ) 为奇函数且最小正周期为 2?

6.已知 ? , ? 表示两个互相垂直的平面, a , b 表示一对异面直线, 则 a ? b 的一个充分条件是 A. a // ? , b ? ? C. a ? ? , b // ? B. a // ? , b // ?

开始 S=1,i=1 S=S+i

D. a ? ? , b ? ? i=i+2


7.执行如右图 1 所示的程序框图,则输出 S 的值是 A.10 B.17 C.26 D.28 8.设图 2 是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A. 9? ? 42

i >7? 是

9? ? 12 B. 2 C. 36? ? 18 9? ? 18 D. 2

输出 S 结束 图1

9.已知抛物线 y 2 ? 4 x ,过其焦点 F 作倾斜角为 则弦 BC 的长为 A.

? 的直线 l ,若 l 与抛物线交于 B 、 C 两点, 4
C.4 D. 8

图2

10 3

B. 2

10.在 ?ABC 中, ?A ? 120? , AB ? AC ? ?1 ,则 | BC | 的最小值是 B. 2 C. 6 D. 6 ? ? ln(? x), x ? 0, 11.设函数 f ( x) ? ? 若 f (m) ? f (?m) ,则实数 m 的取值范围是 ? ?? ln x, x ? 0. A. (?1, 0) ? (0, 1) B. (??, ?1) ? (0, 1) A. 2 C. (?1, 0) ? (1, ??) D. (??, ?1) ? (1, ??)

12.已知中心均在原点的椭圆与双曲线有公共焦点, 且左、右焦点分别为 F1 、 F2 , 这两条曲 线在第一象限的交点为 P , ?PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若 PF1 ? 10 , 椭圆 与双曲线的离心率分别为 e 1 、 e 2 , 则 e1e 2 的取值范围为 A. ? , ?? ?

?1 ?3

? ?

B. ? ,1?

?2 ? ?3 ?

C. ? 2, ???

D. ?

?3 ? , ?? ? ?2 ?

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置上.) 13. i 是虚数单位,复数

2i 的模为__________. 1? i

14.已知 a 、 b 、 c 分别为 ?ABC 三个内角 A 、 B 、 C 的对边, a ? 3b sin A ? a cos B 则角 B ? __________. 15.已知 x ? ?1 , y ? 0 且满足 x ? 2 y ? 1 ,则

1 2 ? 的最小值为_____________. x ?1 y

16. 定义在实数集 R 上的函数 y ? f ( x) 的图象是连续不断的, 若对任意实数 x , 存在实数 t 使 得 f (t ? x) ? ?tf ( x) 恒成立,则称 f ( x ) 是一个“关于 t 的函数”.给出下列“关于 t 的函 数”的结论: ① f ( x) ? 0 是常数函数中唯一一个“关于 t 的函数” ; ②“关于

1 的函数”至少有一个零点; 2

③ f ( x) ? x2 是一个“关于 t 的函数” . 其中正确结论的序号是__________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分)
* 已知数列 ?an ? 是等差数列且公差 d ? 0 , n ? N , a1 ? 2 , a3 为 a1 和 a9 的等比中项.

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

2 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . n ? an ? 2 ?

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x ) ? cos

?
6

x ? 3 sin

?
6

x (0 ? x ? 5) 的图像过点 B (4, m ) ,

(Ⅰ)若角 ? 的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,其终边过点 B , 求 sin 2? 的值; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的最值. 19. (本小题满分 12 分) 某校高三年有 375 名学生,其中男生 150 人,女生 225 人.为调查该校高三年学生每天课外阅 读的平均时间(单位:小时) ,采用分层抽样的方法从中随机抽取 25 人获得样本数据,该样 本数据的频率分布直方图如下图.

(Ⅰ)应抽取男生多少人? 并根据样本数 据,估计该校高三年学生每天课外阅读的 平均时间; (Ⅱ) 在这 25 个样本中, 从每天阅读平均 时间不少于 1.5 小时的学生中任意抽取两 人,求抽中的这两个人中恰有一个人的阅 读平均时间不少于 2 小时的概率.

频率/组距 0.80

0.40 0.32 0.24 0.16 0.08 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 时间(小时)

20. (本小题满分 12 分) 如 图 所 示 , 几 何 体 A BCDE 中 , ?A B C 为 正 三 角 形 , CD ⊥ 面ABC , BE / /CD ,

BC = CD = 2BE , (Ⅰ)在线段 AD 上找一点 F ,使 EF / / 平面 ABC ,并证明; (Ⅱ)求证:面 ADE ? 面 ACD .
D

E

B A

C

21. (本小题满分 12 分) 已知圆 C 的圆心在直线 y ? x ? 2 上 (Ⅰ)若圆经过 A(3, ? 2) 和 B(0, ? 5) 两点. i)求圆 C 的方程; ii)设圆 C 与 y 轴另一交点为 P ,直线 l 过点 P 且与圆 C 相切.设 D 是圆 C 上异于 P, B 的动点,直线 BD 与直线 l 交于点 R .试判断以 PR 为直径的圆与直线 CD 的位置关系, 并说明理由; (Ⅱ)设点 M (0, 3) ,若圆 C 半径为 3 ,且圆 C 上存在点 N ,使 | MN |? 2 | NO | ,求圆心 C 的 横坐标的取值范围.

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x ?

1 a ln x ? x 2

(Ⅰ)当 a ? ?1 时,求函数 f ? x ? 在点 A ?1,0 ? 处的切线方程; (Ⅱ)讨论函数 f ? x ? 的单调性; (Ⅲ)若函数 f ? x ? 有两个极值点 x1 和 x2 ,设过 M x1 , f ? x1 ? , N x2 , f ? x2 ? 的直线的斜 率为 k ,求证: k ? a ? 2 .

?

?

?

?

泉州一中 2015 届高中毕业班 5 月模拟质检

数学(文科)试卷参考答案及评分 标准
一、选择题 1-5 D D C C A 二、填空题 13. 6-10 D B D D C 11-12 B A

2

14.

? 3

15.

9 2

16. ②

三、解答题 17. (本小题满分 12 分)
* 已知数列 ?an ? 是等差数列且公差 d ? 0 , n ? N , a1 ? 2 , a3 为 a1 和 a9 的等比中项.

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

2 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . n ? an ? 2 ?

解: (Ⅰ)

a1 ? 2 , a3 为 a1 和 a9 的等比中项.
2

?a32 ? a1a9 ,即 ? 2 ? 2d ? ? 2(2 ? 8d ) ,??????????????? 2 分
化简得 d ? 2d ??????????????? 4 分
2

d ? 0 ,解得 d ? 2

?an ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n ;???????????????6 分
(Ⅱ) bn ?

n ?an ? 2 ? 2 n ? 2n ? 2 ?

2

?

?
?

1 n ? n ? 1?
1 1 ? ,???????????????8 分 n n ?1

S n ? b1 ? b2 ?????? ? bn
1 ? ? 1? ?1 1? ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? 2? ? 2 3? ? n n ?1 ?
=

n .???????????12 分 n ?1

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x ) ? cos

?
6

x ? 3 sin

?
6

x (0 ? x ? 5) 的图像过点 B (4, m ) ,

(Ⅰ)若角 ? 的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,其终边过点 B , 求 sin 2? 的值; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的最值. 解: (Ⅰ)

x (0 ? x ? 5) 的图像过点 B (4, m ) , 6 6 2? 2? ? 3 sin ? m ? cos 3 3 ? ?2 ???????????????????????????? 2 分
即点 B (4, - 2) , OB =

函数 f (x ) ? cos

?

x ? 3 sin

?

42 + (- 2)2 = 2 5 ,

\ sin a =


- 2 5 4 2 5 =,cos a = = , ??????????????? 4 5 5 2 5 2 5

骣 5÷ 2 5 ÷ \ sin 2a = 2 sin a cos a = 2 ?? ? ÷? ? ? 桫 5 ÷ 5
分; (Ⅱ) f ( x ) ? 2 cos(

-

4 . ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 6 5

?

x ? ) ,??????????????????????7 分 6 3

?

0 ? x ?5,

?
当 当

?

?
?

3 6 6

?

?
6

x?

?

x? x ?

?
?
3 3

?

?

3 3

?

7? ,???????????????8 分 6

时,即 x ? 0 时, f (x )max ? 1 ,?????????10 分

? ? 时,即 x ? 4 时, f (x )min ? ?2 .?????????12 分

19. (本小题满分 12 分) 某校高三年有 375 名学生,其中男生 150 人,女生 225 人.为调查该校高三年学生每天课外阅 读的平均时间(单位:小时) ,采用分层抽样的方法从中随机抽取 25 人获得样本数据,该样 本数据的频率分布直方图如下图. (Ⅰ)应抽取男生多少人? 并根据样本数 据,估计该校高三年学生每天课外阅读的 频率/组距 平均时间; 0.80 (Ⅱ) 在这 25 个样本中, 从每天阅读平均 时间不少于 1.5 小时的学生中任意抽取两 人,求抽中的这两个人中恰有一个人的阅 0.40 读平均时间不少于 2 小时的概率. 0.32 0.24 0.16 0.08 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 时间(小时)

解:应抽取男生 150 ?

25 ? 10 人,?????????????????? 2 分 375

该校高三年学生每天课外阅读的平均时间为

0.5? ? 0.40 ? 0.25 ? 0.80 ? 0.75 ? 0.32 ?1.25 ? 0.24 ?1.75 ? 0.16 ? 2.25 ? 0.08? 2.75? ? 1.05
, ?????????????????????????????????? 5 分 (Ⅱ)从每天阅读平均时间不少于 1.5 小时的学生有 6 人,??????????? 6 分 其中读平均时间不少于 2 小时有 3 人,?????????? 7 分 令这三人分别为 A , B ,C .另外三人为 a, b , c , 设抽中的这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于 2 小时为事件 E ,??????????????????????????????? 8 分 从中抽中的这两个人所有情况为 ? A , B ? , ? A ,C ? ,? A , a ? ,? A ,b ? ,? A ,c ? ,? B ,C ? ,? B , a ? ,

? B ,b ? , ? B ,c ? , ?C , a ? , ?C ,b ? , ?C ,c ? , ?a,b ? , ?a, c ? , ?b ,c ? 共 15 种,
?????????????????????????????????? 10 分 这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于 2 小时的情况为 ? A , a ? , ? A , b ? , ? A ,c ? ,

? B , a ? , ? B ,b ? , ? B ,c ? , ?C , a ? , ?C ,b ? , ?C ,c ? 共 9 种
???????????????????????????????11 分

\ 抽中的这两个人中恰有一个人的阅读平均时间不少于 2 小时的概率为 P ? E ? ?
???????????????????????????????12 分

9 3 ? . 15 5

20. (本小题满分 12 分) 如 图 所 示 , 几 何 体 A BCDE 中 , ?A B C 为 正 三 角 形 , CD ⊥ 面ABC , BE / /CD ,

BC = CD = 2BE , (Ⅰ)在线段 AD 上找一点 F ,使 EF / / 平面 ABC ,并证明; (Ⅱ)求证:面 ADE ? 面 ACD .
解: (Ⅰ)点 F 为线段 AD 中点,??????????????????????2 分 证明如下: E 取线段 AC 中点 M ,连结 BM , FM , EF

D

F C

BE / /CD , BC = CD = 2BE 1 则 FM / /CD / / BE ,且 FM ? CD ? BE , 2

B

M

A 所以四边形 BEFM 平行四边形,则 EF / / BM ,???????????????4 分 又

EF ? 平面 ABC , BM ? 平面 ABC

? EF / / 平面 ABC ;????????????????6 分
(Ⅱ)

?ABC 为正三角形, ? BM ? AC ,

CD ⊥ 面ABC , BM ? 平面 ABC ,
?CD ? BM , CD ? AC ? C , ? BM ? 面 ACD ???????????????8 分 EF / / BM ? EF ? 面 ACD ???????????????10 分 又 EF ? 平面 A DE ? 面 ADE ? 面 ACD .????????????????12 分
21. (本小题满分 12 分) 已知圆 C 的圆心在直线 y ? x ? 2 上 (Ⅰ)若圆经过 A(3, ? 2) 和 B(0, ? 5) 两点. i)求圆 C 的方程; ii)设圆 C 与 y 轴另一交点为 P ,直线 l 过点 P 且与圆 C 相切.设 D 是圆 C 上异于 P, B 的动点,直线 BD 与直线 l 交于点 R .试判断以 PR 为直径的圆与直线 CD 的位置关系, 并说明理由; (Ⅱ)设点 M (0, 3) ,若圆 C 半径为 3 ,且圆 C 上存在点 N ,使 | MN |? 2 | NO | ,求圆心 C 的 横坐标的取值范围. 解: (Ⅰ )设圆方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则圆心为 (?
2 2

D E , ? ) .?????1 分 2 2

? E D ? ? ? ? ?2 2 2 ? ? i)由题意知 ?13 ? 3D ? 2 E ? F ? 0 ???????????????2 分 ? ? ? ? 25 ? 5 E ? F ? 0
解得: D ? 0, E ? 4, F ? ?5 ?圆 C: x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 9 ????????????3 分 ii)知 P(0,1)、B(0, ? 5) , 则 l:y ? 1 设 D(m, n) (m ? 0)

DB: y?

n?5 6m x ? 5 , R( , 1) m n?5
3| m | 3m , 1) ,半径 r ? | n ? 5| n?5
………………….5 分

以 PR 为直径的圆的圆心 S (

CD:y ?

n?2 x?2 m

即 (n ? 2) x ? my ? 2m ? 0

???????????? 6 分

以 PR 为直径的圆的圆心 S 到 CD 的距离设为 d

则d ?

3m(n ? 2) ? 3m n?5 (n ? 2) 2 ? m 2

?

9| m| | n ? 5 | (n ? 2) 2 ? m 2

. ????????????7 分

又点 D 在圆 C 上,?m 2 ? (n ? 2) 2 ? 9

?d ?

3| m | ?r | n ? 5|
??????????????????8 分

故以 PR 为直径的圆与直线 CD 总相切 (Ⅱ )设圆心 C (a, a ? 2) ,设 N ( x, y )

| MN |? 2 | NO |

? x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4x 2 ? 4 y 2

?点 N 在圆 E:x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 上 ????????????10 分
又点 N 在圆 C 上

?圆 E 与圆 C 有公共点

?3 ? 2 ?| EC |? 2a 2 ? 2a ? 1 ? 3 ? 2
? ?3 ? a ? 0 或 1 ? a ? 4 22. (本小题满分 14 分)

????????????11 分

????????????.12 分

已知函数 f ? x ? ? x ?

1 a ln x ? x 2

(Ⅰ)当 a ? ?1 时,求函数 f ? x ? 在点 A ?1,0 ? 处的切线方程; (Ⅱ)讨论函数 f ? x ? 的单调性; (Ⅲ)若函数 f ? x ? 有两个极值点 x1 和 x2 ,设过 M x1 , f ? x1 ? , N x2 , f ? x2 ? 的直线的斜 率为 k ,求证: k ? a ? 2 . 解: (Ⅰ)当 a ? ?1 时, f ? x ? ? x ?

?

?

?

?

1 ln x 1 1 ' ? ,则 f ? x ? ? 1 ? 2 ? ????????1 分 x 2 x 2x

? f ' ?1? ?

3 ????????2 分 2 3 ? x ? 1? , 2

? 函数 f ? x ? 在点 A ?1,0 ? 处的切线方程 y ?

化简得 3x ? 2 y ? 3 ? 0 ????????3 分

(Ⅱ) f

'

? x? ? 1?
2

1 a 2 x 2 ? ax ? 2 ? ? ( x ? 0) ,令 g ? x ? ? 2x2 ? ax ? 2( x ? 0) 2 2 x 2x 2x
2

' ①当 ? ? a ?16 ? 0 时, g ? x ? ? 0 , 2 x ? 0 ,则 f ? x ? ? 0 在 (0, ??) 恒成立,

f ? x ? 在 (0, ??) 上单调递增;????????????????5 分
②当 ? ? a ? 16 ? 0 时(
2

' ⅰ)当 a ? 4 时, g ? x ? ? 0 ,则 f ? x ? ? 0 在 (0, ??) 恒成立, f ? x ? 在 (0, ??) 上单调递

增;????????????????6 分 (ⅱ)当 a ? ?4 时, g ? x ? ? 0 有两根,又 g ? 0? ? 2 ? 0 ,

a ?a ? a 2 ? 16 ?a ? a 2 ? 16 对称轴 x ? ? ? 1 ,且 0 ? x1 ? , x2 ? 4 4 4
令 g ? x ? ? 0 ,解得 0 ? x ? x1 或 x ? x2 此时 f 令 g ? x ? ? 0 ,解得 x1 ? x ? x2 ,此时 f
' '

? x? ? 0

? x? ? 0 ????????8 分

综上所述:当 ?4 ? a ? 4 或 a ? 4 时, f ? x ? 在 (0, ??) 上单调递增; 当 a ? ?4 时, f ? x ? 在 ? 0,

? ? ?

? ?a ? a 2 ? 16 ? ? ?a ? a 2 ? 16 , ?? ? 上单调递增, ? 和? ? ? ? 4 4 ? ? ?

在?

? ?a ? a 2 ? 16 ?a ? a 2 ? 16 ? , ? 上单调递减。 ? ? 4 4 ? ?

??????????????????9 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知函数 f ? x ? 有两个极值点 x1 和 x2 ,则 a ? ?4 ,且 x1 x2 ? 1 ,不妨设 x1 ? x2

又k ?

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? x2 ? x1

x2 ?

? ? 1 a 1 a ? ln x2 ? ? x1 ? ? ln x1 ? x2 2 x1 2 ? ? =1 ? 1 ? a ln x2 ? ln x1 x2 x1 2 x2 ? x1 x2 ? x1

=2?

a ln x2 ? ln x1 .?????????????10 分 2 x2 ? x1 a ln x2 ? ln x1 ? a?2, 2 x2 ? x1
a ? ?4

? 欲证 k ? a ? 2 ,即证 2 ?

即证

ln x2 ? ln x1 ? 1 即证 ln x2 ? ln x1 ? 2x2 ? 2x1 2 ? x2 ? x1 ?

又 x1 x2 ? 1 , x1 ?

1 ,且 x2 ? 1 x2

即证 ln x2 ? x2 ?

1 ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立?????????????11 分 x2
1 , x ? ?1, ?? ? x
2

令 h ? x ? ? ln x ? x ?

1? 3 ? ?? x ? ? ? 2 1 1 ?x ? x ?1 2? 4 ? ? ?0 ? h '? x? ? ? 2 ?1 ? 2 x x x x2
1 ? h ? x ? ? ln x ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是递减函数 x

? h ? x ? ? h ?1? ? 0 ????????????13 分 ? ln x2 ? x2 ?
1 ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立 x2

? k ? a ? 2 .???????????14 分


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