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三角函数复习一对一辅导讲义


教学目标

1.掌握三角函数的诱导公式 2.掌握三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求 值域、求单调区间等问题中的应用.

重点、难点 考点及考试要求

教学重点:三角函数的图像和基本性质。 教学难点:三角函数图像的由来与函数 y=Asin(wx+?)性质图像的平移。

考点:三角函数的定义域值域、周期、三角函数的单调性、三角函数的对称 性









第一课时 三角函数复习知识梳理 三角函数知识框架图
知识梳理
应用 弧 长 与扇 形 面积公式 应用 任意角 的概念 角度制与 弧度制 任意角的 三角函数 三 角 函数 的 图象和性质 应用 已 知 三角 函 数值求角 同 角 三函 数 的基本关系 应用 计 算 与化 简 证明恒等式

诱导公式

和角公式 应用 差角公式 应用

应用

倍角公式

知识要点:
一、 角的概念与推广:任意角的概念;角限角、终边相同的 角; 二、 弧度制: 把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度; 1 1 弧长公式: l ? ? r 扇形面积:S= l ? r ? r 2 ? 2 2 三角函数线:如右图,有向线段 AT 与 MP OM 分别 的的正切线、正弦线、余弦线。
P

y

A M O T x

叫做 ?

三、 四、 是

同角三角函数关系:即:平方关系、商数关系、倒数关系。
? ? ? 诱导公式: f ? n ? ? ? ? ? f ??? ? 记忆:单变双不变,符号看象限。单双:即看 n? 中的 n ? 2 ?

? 的单倍还是双倍,单倍后面三角函数名变,双不变则三角函数名不变;符号看象限:即 2 ? 把 ? 看成锐角,加上 n 终边落在第几象限则是第几象限角的符号。 2 五、 有关三角函数单调区间的确定、最小正周期、奇偶性、对称性以及比较三角函数值的大 小问题,一般先化简成单角三角函数式。然后再求解。 六、 三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有:
1、常数代换法:如: 1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? tan? ? cot? ? sec 2 ? ? tan2 ? 2、配角方法: ? ? (? ? ? ) ? ? 3、降次与升次: sin 2 ? ?

2? ? (? ? ? ) ? ?? ? ? ?
cos2 ? ?

? ?

? ??
2

?

? ??
2

1 ? cos 2? 2

1 ? cos2 2? 以及这些公式的变式应用。 2
b )的应用,注意 ? 的符号与象限。 a

4、 a sin ? ? b cos? ? a 2 ? b 2 sin ?? ? ? ? (其中 tan ? ? 5、常见三角不等式:
? ?? (1) 、若 x ? ? 0, ?.则 sin x ? x ? tan x ? 2?

? ?? (2) 、若 x ? ? 0, ?.则1 ? sin x ? cos x ? 2 ? 2?

(3) 、 sin x ? cos x ? 1 6、常用的三角形面积公式: 1 1 1 (1) 、 S ? aha ? bhb ? ch c 2 2 2 (3) 、S ? 七、
1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

(2) 、S ?

2 2 2 1 OA ? OB ? OA ?OB 2

?

?

三角函图象和性质: 正弦函数图象的变换:

y ? sin x ?横伸缩变换 ???? y ? sin ?x ?平移变换 ?? ?? y ? sin??x ? ? ? ?振幅变换 ?? ?? y ? Asin??x ? ? ?
三角函数的图象和性质

定义 域 值

R

R

R

R

域 周期 性 奇偶 性 象关于坐标原点对称 对称 性 单调 性 上单调递增; 上单调递增。 在区间 在区间 上单调递减。 在区间 在区间 在区间 在区间 象关于 轴对称 原点对称 奇函数,图 偶函数,图 奇函数,图象关于坐 奇函数,图象关于 标 原点对称

上单调递增;

上单调递减。 上单调递减。

第二课时

三角函数复习考点分析

考点分析 考点一: 求三角函数的定义域、值域和最值、三角函数的性质(包括奇偶性、单调性、周期性)这 类问题在选择题、填空题、解答题中出现较多,主要是考查三角的恒等变换及三角函数的基础知识。 例 1、已知函数 f(x)= log 1 (sin x ? cos x)
2

(1)

求它的定义域和值域;求它的单调区间;判断它的奇偶性;判断它的周期性。 ( 1 ) x 必 须 满 足 sinx-cosx>0 , 利 用 单 位 圆 中 的 三 角 函 数 线 及

解题思路分析:
2k? ?

? 5 ? 5 ? ? x ? 2k? ? ? ,k∈Z∴ 函数定义域为 (2k? ? , 2k? ? ?) ,k∈Z∵ sin x ? cos x ? 2 sin(x ? ) 4 4 4 4 4

∴ 当 x∈ (2k? ?

? 5 ? , 2k? ? ?) 时, 0 ? sin(x ? ) ? 1 4 4 4
1 2

∴ 0 ? sin x ? cos ? 2 ∴ y ? log 1 2 ? ? ∴ 函数值域为[ ? , ?? ]
2

1 2

(3)∵ f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称 ∴ f(x)不具备奇偶性 (4)∵ f(x+2π )=f(x) ∴ 函数 f(x)最小正周期为 2π 注; 利用单位圆中的三角函数线可知, 以Ⅰ、 Ⅱ象限角平分线为标准, 可区分 sinx-cosx 的符号。
6k ? 1 6k ? 1 ? ? ? 2 x) ? cos( ? ? 2 x) ? 2 3 sin( ? 2 x)( x ? R, k ? Z ), 并求函数 f ( x) 的值 3 3 3 域和最小正周期. ? ? ? 解: f ( x) ? cos( 2k? ? ? 2 x) ? cos( 2k? ? ? 2 x) ? 2 3 sin( ? 2 x) 3 3 3 ? ? ? 2 cos( ? 2 x) ? 2 3 sin( ? 2 x) ? 4 cos 2 x 3 3 2? ?? 所以函数 f(x)的值域为 ?? 4,4?,最小正周期 T ?

例 2、 化简 f ( x) ? cos(

?

例 3、 (1)已知 cos(2α +β )+5cosβ =0,求 tan(α +β )·tanα 的值; 求 3 cos 2? ? 4 sin 2? 的值。 解题思路分析:从变换角的差异着手。 ∵ 2α +β =(α +β )+α ,β =(α +β )-α

(2)已知

2 sin ? ? cos ? ? ?5 , sin ? ? 3 cos ?

∴ 8cos[(α +β )+α ]+5cos[(α +β )-α ]=0

展开得: 13cos(α +β )cosα -3sin(α +β )sinα =0 同除以 cos(α +β )cosα 得:tan(α +β )tanα = (1) ∵ 以三角函数结构特点出发
13 3

2 tan ? ? 1 2 sin ? ? cos ? 2 tan ? ? 1 ∴ ? ?5 ∴ tanθ =2 ? tan ? ? 3 sin ? ? 3 cos ? tan ? ? 3
3(cos 2 ? ? sin 2 ?) ? 8 sin ? cos ? sin ? ? cos ?
2 2

∴ 3 cos 2? ? 4 sin 2? ?

?

3 ? 3 tan 2 ? ? 8 tan ? 1 ? tan ?
2

?

7 5

例 4、求函数 y=sin2x+2sinxcosx+3cos2 的最大值 1 ? cos2x 解:∵2sinxcosx=sin2x,sin2x+cos2x=1,cos2x= 2 ∴y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x=1+sin2x+2· =sin2x+cos2x+2 = 2 (sin2x·cos ∴当 2x+
1 ? cos2x 2

? ? = +2kπ 时,ymax=2+ 2 4 2

? ? ? +cos2x·sin )+2= 2 sin(2x+ )+2 4 4 4

? +Kπ (K∈Z),y 的最大值为 2+ 2 8 注;齐次式是三角函数式中的基本式,其处理方法是化切或降幂。
即 x=

考点二: 三角与其他知识的结合,三角函数仍将以选择题、填空题和解答题三种题型出现,难度会控 制在中等偏易的程度; 例 5、已知 00<α <β <900,且 sinα ,sinβ 是方程 x 2 ? ( 2 cos 400 )x ? cos 2 400 ? 求 sin(β -5α )的值。 解题思路分析: 由韦达定理得 sinα +sinβ = 2 cos400,sinα sinβ =cos24001 2

1 =0 的两个实数根, 2

∴ sinβ -sinα = (sin ? ? sin ?) 2 ? (sin ? ? sin ?) 2 ? 4 sin ? sin ? ? 2(1 ? cos 2 400 )
? 2 sin 400

又 sinα +sinβ = 2 cos400
1 ? sin ? ? ( 2 cos 40 0 ? 2 sin 40 0 ) ? sin 850 ? ? 2 ∴ ? ?sin ? ? 1 ( 2 cos 40 0 ? 2 sin 40 0 ) ? sin 5 0 ? 2 ?

?? ? 85 ∵ 00<α <β < 900 ∴ ? ? 0 ? ?? ? 5

0

∴ sin(β -5α )=sin600=

3 2

注:利用韦达定理变形寻找与 sinα ,sinβ 相关的方程组,在求出 sinα ,sinβ 后再利用单调 性求α ,β 的值。 考点三 : 关于三角函数的图象 , 立足于正弦余弦的图象,重点是函数 y=sinx 的图象关系。根据图象求函数的表达式,以及三角函数图象的对称性 例 6、如下图,某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ω x+φ )+b. 的图象与

(1)求这段时间的最大温差.(2)写出这段曲线的函数解析式. 解:(1)由图示,这段时间的最大温差是 30-10=20(℃); (2)图中从 6 时到 14 时的图象是函数 y=Asin(ω x+φ )+b 的半个周期的图象.

1 1 1 2? ? ? =14-6,解得ω = ,由图示 A= (30-10)=10 , b= (30+10)=20,这时 y=10sin( x+ 2 2 2 ? 8 8 3 3 ? φ )+20,将 x=6,y=10 代入上式可取φ = π .综上所求的解析式为 y=10sin( x+ π )+20,x∈ [6,14] . 4 4 8

∴ ?

例 7、函数 y ? sin(?x ? ? )(x ? R, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的部分图象如图,则 ( C ) ? ? ? ? A. ? ? , ? ? B. ? ? , ? ? 2 4 3 6 ? ? ? 5? C. ? ? , ? ? D. ? ? , ? ? 4 4 4 4 例 8、 设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图像的一条对称轴是直线 x ?

?
8

。 (Ⅰ) 求? ; (Ⅱ)

求函数 y ? f ( x) 的单调增区间; (Ⅲ)画出函数 y ? f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的图像。 (本小题主要考查三 角函数性质及图像的基本知识,考查推理和运算能力.) ? ? 解: (Ⅰ)? x ? 是函数 y ? f ( x) 的图像的对称轴,? sin( 2 ? ? ? ) ? ?1, 8 8 ? ? 3? ? ? ? ? k? ? , k ? Z . ? ?? ? ? ? 0, ? ? ? . 4 4 2 3? 3? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ? ? ? ,因此 y ? sin( 2 x ? ). 4 4 ? 3? ? 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z . 由题意得 2 4 2 3? ? 5? 所以函数 y ? sin( 2 x ? )的单调增区间为 [k? ? , k? ? ], k ? Z . 4 8 8 3? (Ⅲ)由 y ? sin( 2 x ? )知 4 ? 3? 5? 7? x 0 8 8 8 8

?
? 2 2

y

?

2 2

-1

0

1

0

[0, ? ]上图像是 (略) 故函数 y ? f ( x)在区间
考点四,三角函数与其它知识交汇设计试题,是突出能力、试题出新的标志,近年来多出现于三角 函数与向量等知识交汇。
x x ? x ? x ? , tan( ? )), b ? ( 2 sin( ? ), tan( ? )), 令f ( x) ? a ? b . 2 2 4 2 4 2 4 求函数 f(x)的最大值,最小正周期,并写出 f(x)在[0,π ]上的单调区间. x x ? x ? x ? 解: f ( x) ? a ? b ? 2 2 cos sin( ? ) ? tan( ? ) tan( ? ) 2 2 4 2 4 2 4

例 9、已知向量 a ? (2 cos

x x 1 ? tan tan ? 1 x 2 x 2 x 2? 2 ? 2 2 cos ( sin ? cos ) ? 2 2 2 2 2 1 ? tan x 1 ? tan x 2 2 x x x ? 2sin cos ? 2 cos 2 ? 1 2 2 2 ? ? sin x ? cos x = 2 sin( x ? ) . 4 ? ? ? 所以 f ( x)的最大值为 2 ,最小正周期为 2 ?, f ( x)在[0, ] 上单调增加, [ , ] 上单调减少. 4 2 4
例 10、已知向量 m ? (cos?, sin ?)和n ? ( 2 ? sin ?, cos?), ? ? (?,2?),且 m ? n ?
? ? 求 cos( ? ) 的值. 2 8 ? ? 解: m ? n ? (cos? ? sin ? ? 2, cos? ? sin ? )

8 2 , 5

? ? m ? n ? (cos? ? sin ? ? 2 ) 2 ? (cos? ? sin ?) 2 ? 4 ? 2 2 (cos ? ? sin ?)

? ? ? 4 ? 4 cos(? ? ) ? 2 1 ? cos(? ? ) 4 4
由已知 m ? n ?
? 7 8 2 ,得 cos( ? ? ) ? 4 25 5

? ? ? 又 cos( ? ? ) ? 2 cos 2 ( ? ) ? 1 4 2 8 ? ? 16 所以 cos 2 ( ? ) ? 2 8 25 5? ? ? 9? ? ? ? ? ? ? ? 2?,? ? ? ? ? cos( ? ) ? 0 8 2 8 8 2 8 ? ? 4 ? cos( ? ) ? ? 2 8 5

第三课时

三角函数复习课堂检测

课堂检测
? )上的增函数,又是以π 为周期的偶函数是 2

1、下列函数中,既是(0, A、y=lgx2

B、y=|sinx|

C、y=cosx

D、y= 2 sin 2 x

2、如果函数 y=sin2x+acos2x 图象关于直线 x=A、- 2 B、-1 C、1

? 对称,则 a 值为 8

D、 2
? 5 时,ymax=2;当 x= ? 时,ymin=-2,则 8 8

3、函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,φ >0) ,在一个周期内,当 x= 此函数解析式为 A、 y ? 2 sin( ? )
x 2 ? 4

B、 y ? 2 sin(2x ? )

? 4

C、 y ? 2 sin(x ? )

? 4

D、 y ? ?2 sin(2x ? ) )

? 8

4、已知 tanα ,tanβ 是方程 x 2 ? 3 3x ? 4 ? 0 两根,且α ,β ? (? , A、 ? ?
2 3

? ? ) ,则α +β 等于( 2 2

B、 ? ? 或

2 3

? 3

C、 ?

? 2 或 ? 3 3

D、

? 3

5、函数 f(x)=3sin(x+100)+5sin(x+700)的最大值是 A、5.5 B、6.5 C、7 D、8

6.方程 sinx=lgx 的实根个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)以上都错 5 4 12 3 7.在△ABC 中,(1)已知 tanA= sinB= ,则∠C 有且只有一解,(2)已知 tanA= ,sinB= ,则 12 5 5 5 ∠C 有且只有一解,其中正确的是( ) (A)只有(1) (B)只有(2) (C)(1)与(2)都正确 (D)(1)与(2)均不正确 ? ? ? ? ? ? 8、?ABC 的三内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c 设向量 p ? (a ? c, b) , q ? (b ? a, c ? a) ,若 p // q ,则角
C 的大小为(

) (B)

(A)

? 6

? 3

(C)

? 2

(D)

2? 3

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??????? ? 9、 设 O(0, 0) , A(1, 0) , B(0,1) ,点 P 是线段 AB 上的一个动点, AP ? ? AB ,若 OP ? AB ? PA ?PB ,则实数 ?
的取值范围是( (A)
1 ? ? ?1 2


2 1 2 ? ? ? 1 (C) ? ? ? 1? 2 2 2

(B) 1 ?

(D) 1 ?

2 2 ? ? ? 1? 2 2

? ? ? ? ? ? ? 10 、已知 | a |? 2 | b |? 0 , 且关于 x 的方程 x2 ? | a | x ? a ? b ? 0 有实根 , 则 a 与 b 的夹角的取值范围是
( ) A.[0,

? ? ? 2? ? ] B. [ , ? ] C. [ , ] D. [ , ? ] 6 3 6 3 3 11、函数 f(x)=sin(x+θ )+ 3 cos(x-θ )的图象关于 y 轴对称,则θ =________。
12、数 y=2sinxcosx- 3 (cos2x-sin2x)的最大值与最小值的积为________。 13、知(x-1)2+(y-1)2=1,则 x+y 的最大值为________。

14、是否存在实数 a,使得函数 y=sin2x+acosx+ a ? 在闭区间[0, ]上的最大值是 1?若存在,求 出对应的 a 值。

5 8

3 2

? 2

15、已知 f(x)=5sinxcosx- 5 3 cos2x+ (1)

5 3 (x∈R) 2

求 f(x)的最小正周期;求 f(x)单调区间;求 f(x)图象的对称轴,对称中心。

16、函数 y=cosx-1(0≤x≤2π )的图像与 x 轴所围成图形的面积是_________。(考查三角函数图形的 对称变换) kx ? 17、设三角函数 f(x)=sin( + ),其中 k≠0 5 3 (1)写出 f(x)的极大值 M,极小值 m,最小正周期 T。 (2)试求最小的正整数 k,使得当自变量 x 在任意两个整数间(包括整数本身)变化时,函数 f(x) 至少有一个值是 M 与一个值 m,(考查三角函数的最值、周期,以及分析问题、解决问题的能力)

? 5 3 18、是否存在实数 a,使得函数 y=sin2x+acosx+ a ? 在闭区间[0, ]上的最大值是 1?若存在, 2 8 2 求出对应的 a 值。

19. (本小题满分 13 分)已知 A、B、C 是 ?ABC 三内角,向量 m ? (?1, 且 m ? n ? 1, (1)求角 A; (2) 若
1 ? sin 2 B ? ?3, 求tanC。 cos 2 B ? sin 2 B

3 ), n ? (cos A, sin A)

? ? ? 20、已知 f ?x? ? ?4 cos2 x ? 4 3a sin x cos x ,将 f ?x ? 的图象按向量 b ? ? ? ,2 ? 平移后,图象关于直线 ? 4 ?
12 间。 x?

?

对称。 (1) 、求实数 a 的值,并求 f ?x ? 取得最大值时的 x 的集合。 (2) 、求 f ?x ? 的单调递增区


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