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高中数学 2.3.1《离散型随机变量的均值与方差-期望值》课件 新人教A版选修2-3


2.3.1《离散型随机变量的 均值与方差-期望值》

学习目标
1. 了解离散型随机变量的期望的意义,会根 据离散型随机变量的分布列求出期望. 2. 理解公式“E(aξ+b)=aEξ+b”, 以及“若ξ~B(n,p),则E(ξ)=np”.能 熟练地应用它们求相应的离散型随机变量 的期望 教学重点: 教学重点:离散型随机变量的期望的概念 教学难点: 教学难点:根据离散型随机变量的分布列求 出期望。

离散型随机变量的均值与方差( 离散型随机变量的均值与方差(一)
ξ 取每一个值 xi ( i = 1, 2,?) 的概率 P(ξ = xi ) = pi 则称表 ξ x1 x2 ? x i ?
前面, 变量的分布列. 前面,我们 认识了随机变量的分布列. 设离散型随机变量ξ 可能取的值为 x1 , x2 ,? , xi ,? ,

p1 p2 ? p i ? P 概率分布列, 分布列. 为随机变量ξ 的概率分布列,简称为ξ 的分布列.

对于离散型随机变量,确定了它的分布列, 对于离散型随机变量,确定了它的分布列,就掌握 了随机变量取值的统计规律.但在实际应用中, 了随机变量取值的统计规律.但在实际应用中,我们还 常常希望直接通过数字 直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特 常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特 最常用的有期望与方差 期望与方差. 征,最常用的有期望与方差. 阅读教材P60, 回答思考题。 , 回答思考题。 阅读教材

数学期望的定义: 数学期望的定义
一般地, 一般地,随机变量 X 的概率分布列为

x1 x 2 ? x i ? xn P p1 p 2 ? pi ? pn 则称 EX = x1 p1 + x2 p2 + ? + xi pi + ? + xn pn
X
数学期望或均值 简称为期望 或均值, 期望. 为X 的数学期望或均值,简称为期望.它反映了离散型随 机变量取值的平均水平. 机变量取值的平均水平

根据定 根据定义可推出 下面两个结论: 结论1: 结论 : η = aξ + b, 则 Eη = aEξ + b ; 若

结论2: 结论 :若ξ~B(n,p),则Eξ= np. , ,

∵ P (η = axi + b ) = P (ξ = xi ), i = 1, 2, 3?
所以, 所以, 的分布列为

结论1: 结论 : η = aξ + b, 则 Eη = aEξ + b 若

η

η

ax1 + b ax2 + b

P

p1

p2

Eη = (ax1 + b) p1 + (ax2 + b) p2 +?+ (axn + b) pn = aEξ + b 即E(aξ + b) = aEξ + b

? ax +b ? ax + b ? pi ? pn
i
n

= a( x1 p1 + x2 p2 +?+ xn pn ) + b( p1 + p2 +?+ pn )

练习一 练习一
1、随机变量ξ的分布列是 随机变量ξ ξ P (1)则Eξ= 则 1 0.5 2.4 3 0.3 . 5.8 . 5 0.2

(2)若η=2ξ+1, (2)若η=2ξ+1,则Eη= 2、随机变量ξ的分布列是 随机变量ξ

ξ P

4 0.3

7 a
0.1 b=

9 b

10 0.2
0.4 .

Eξ=7.5,则a= 则

练习二 练习二
1.( E(- 1.(1)若 E(ξ)=4.5,则 E(-ξ)= -4.5 (2)E(ξ-Eξ)= 0 E(ξ- . .

2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 罚不中得0 已知某运动员罚球命中的概率为0.7 则他罚球1 0.7, 分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,则他罚球1次 的得分ξ 的得分ξ的期望为 0.7 . (详细解答过程见课本例1) 详细解答过程见课本例1) 这是一个两点分布随机变量的期望 这是一个特殊的二项分布的随机变量的期望,那 这是一个特殊的二项分布的随机变量的期望, 么一般地 ,若ξ~B(n,p),则Eξ=? 若 , ,

结论2: , , 结论 :若ξ~B(n,p),则Eξ= np
ξ 0 1 … k … n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0 证明: (∵ k Cnk =n Cn-1k-1) 证明:∵P(ξ=k)= Cnkpkqn-k ∵ ∴E ξ =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 + × × × …+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0 k× n× =np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … + Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0) =np(p+q)n-1=np 期望在生活中的应用广泛,见课本第62页例2.例 期望在生活中的应用广泛,见课本第62页例2.例3 62页例2.

例2.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其 一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项, 20个选择题构成
中有且仅有一个选项正确,每题选对得5 中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选或选错不得分,满 不选或选错不得分, 100分 学生甲选对任一题的概率为0.9, 0.9,学生乙则在测验中对每 分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每 题都从4个选项中随机地选择一个. 题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次测验 中的成绩的均值. 中的成绩的均值.

解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题 个数分别是? 个数分别是?和η,则 ξ~B(20,0.9),η~B(20,0.25), B(20,0.9), B(20,0.25), 所以Eξ=20×0.9=18, Eη=20×0.25=5. 所以Eξ=20×0.9=18, Eη=20×0.25= Eξ 由于答对每题得5 由于答对每题得5分,学生甲和学生乙在这次测验 中的成绩分别是5ξ 5η.这样 5ξ和 这样, 中的成绩分别是5ξ和5η.这样,他们在测验中的成绩 的期望分别是 E(5ξ)=5Eξ=5×18=90, E(5ξ)=5Eξ= 18=90, E(5η)=5Eη=5×5=25. E(5η)=5Eη= 25. 思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的 思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗? 90分吗 均值为90分的含义是什么? 90分的含义是什么 均值为90分的含义是什么?
不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分 不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分 90

思考1.某商场的促销决策: 思考1.某商场的促销决策: 1.某商场的促销决策 统计资料表明, 统计资料表明,每年端午节商场内促销活动可获利 2万元;商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元; 万元;商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元 万元; 如遇下雨可则损失4万元。 如遇下雨可则损失4万元。6月6日气象预报端午节下 雨的概率为40%,商场应选择哪种促销方式? 雨的概率为40%,商场应选择哪种促销方式? 解:因为商场内的促销活动可获效益2万元 因为商场内的促销活动可获效益2 设商场外的促销活动可获效益ξ万元, 设商场外的促销活动可获效益ξ万元,则ξ的分布列

ξ 10 -4 所以Eξ × + P 0.6 0.4 所以 ξ=10×0.6+(-4) ×0.4=4.4
所以商场应选择在商场外进行促销. 因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销. 因为

思考2. 思考2 有场赌博,规则如下:如掷一个骰子,出现1 有场赌博 , 规则如下 : 如掷一个骰子 , 出现 1 , 你赢 10元 出现2 你输3 出现5 不输不赢. 10元;出现2或3或4,你输3元;出现5或6,不输不赢.这 赌博对你是否有利 对你是否有利? 场赌博对你是否有利?

1 1 1 1 Eξ = × 10 + × ( ?3 ) + × 0 = ? . 6 2 3 6
对你不利!劝君莫参加赌博. 对你不利!劝君莫参加赌博.

例题3 独立完成。 例题 P63 独立完成。

课外思考: 思考:
彩球游戏准备一个布袋,内装6个红球与6个白球,除颜色 彩球游戏准备一个布袋,内装6个红球与6个白球, 准备一个布袋 不同外,六个球完全一样,每次从袋中摸6个球, 不同外,六个球完全一样,每次从袋中摸6个球,输赢的 规则为: 规则为: 赢得100 100元 6个全红 赢得100元 赢得50 50元 5 红1 白 赢得50元 赢得20 20元 4 红2 白 赢得20元 100元 3 红3 白 输100元 2 红4 白 赢得20元 赢得20元 20 赢得50 50元 1 红5 白 赢得50元 赢得100 100元 6个全白 赢得100元

你动心了吗? 你动心了吗?

一个布袋内装有6个红球与 个黄球,除颜色 一个布袋内装有 个红球与6个黄球, 个红球与 个黄球 不同外,六个球完全一样,每次从袋中摸6个 不同外,六个球完全一样,每次从袋中摸 个 输赢的规则为: 球,输赢的规则为: 6个全红 赢得100元 个全红 赢得 元 5红1 黄 红 赢得50元 赢得 元 4红2黄 赢得20元 红 黄 赢得 元 3红3黄 3红 3黄 100元 输100元 2红4黄 赢得20元 红 黄 赢得 元 1红5黄 赢得50元 红 黄 赢得 元 6个全黄 赢得100元 个全黄 赢得 元 其中只有一种情况输, 其中只有一种情况输,而对于其它六种情况 你均能赢得相应的钱数,而不用花其它的钱。 你均能赢得相应的钱数,而不用花其它的钱。

六.摸彩中奖问题

摸奖人赢钱的期望有多大?

为赢得的钱数,则 的分布列如下 的分布列如下: 解: 设ξ为赢得的钱数 则ξ的分布列如下 为赢得的钱数
ξ p 100
2C 66 1 6 C12 462

50
5 1 2C6 C6 6 6 C12 77

20
2C64C62 75 6 C12 154

-100
3 3 C100 6 C6 6 C12 231

6800 ∴ Eξ = ? ≈ ? 29.34 231
所以每摸一次,平均输掉 所以每摸一次,平均输掉29.34元 元

如图,广州到北京之间有 条不同的网络线路并联 如图 广州到北京之间有6条不同的网络线路并联 它们能通 广州到北京之间有 条不同的网络线路并联,它们能通 过的最大信息量分别为1、 、 、 、 、 现从中任取三条网线 过的最大信息量分别为 、1、2、2、3、4.现从中任取三条网线 且使每条网线通过最大信息量,三条网线可通过的信息总量即为 且使每条网线通过最大信息量 三条网线可通过的信息总量即为 1 三条网线各自的最大信息量之和. 三条网线各自的最大信息量之和 (1)求选取的三条网线可通过信息 求选取的三条网线可通过信息 总量ξ的数学期望 总量 的数学期望; 的数学期望 (2)当ξ≥6时,则保证信息畅通 当 则保证信息畅通, 时 则保证信息畅通 通的概率; 求线路信息畅 通的概率 广 州 1 2 2 3 4 北 京

(3) 2008年北京奥运会 为保证广州网络在 年北京奥运会,为保证广州网络在 时信息畅通的概 年北京奥运会 为保证广州网络在ξ≥6时信息畅通的概 率超过85%,需要增加一条网线且最大信息量不低于 问增加 需要增加一条网线且最大信息量不低于3,问增加 率超过 需要增加一条网线且最大信息量不低于 的这条网线的最大信息量最少应为多少? 的这条网线的最大信息量最少应为多少

解: ξ的分布列为 ξ

4

5

6

7

8

9

P

C2 21 3 C6 20

1 1 1 1 1 1 C23+ 1 C2C2 + 1 C2C5 + 1 C3 + 1 C2 5 21 2 2 3 3 3 C6 C6 C6 C3 20 20 206 203 C6 20

2 3 5 5 3 2 (1) E ξ = 4 × + 5× + 6× + 7× + 8× + 9× 20 20 20 20 20 20 13 = 2

3 ( 2 ) P (ξ ≥ 6 ) = 1 ? P (ξ = 4 ) ? P (ξ = 5 ) = 4

(3) 2008年北京奥运会,为保证广州网络在ξ≥6时信息畅通 的概率超过85%,需要增加一条网线且最大信息量不低于3, 问增加的这条网线的最大信息量最少应为多少?
(3)设这条新增网线的最大信息量为a, (a ≥ 3) 不畅通的概率应低于15% 当a = 3时,
1 1 2

广 州

北 京

1 1 1 C2 C2 + C2 6 P ' (ξ = 4 ) + P ' (ξ = 5) = 3 + = > 15% 不可以 3 C7 C7 35

2 3 4

当a = 4时,
1 1 C2 C2 + 1 5 P ' (ξ = 4 ) + P ' (ξ = 5) = 3 + = < 15% 3 C7 C7 35

可以

∴ 最少应为4.

学习小结: 学习小结:
1、本节课学习了离散型随机变量ξ的期望及公式: 本节课学习了离散型随机变量ξ的期望及公式: ξ+b)= (1)E(aξ+ )= ( ξ+ )=aEξ+b; ; ),则 ξ= ξ=np (2)若ξ~B(n,p),则Eξ= ( , ), 2、会根据离散型随机变量的分布列求出期望。 会根据离散型随机变量的分布列求出期望。

概率
期望

分布列

一般分布

核心,难点 核心 难点
分清问题实质, 分清问题实质,列出对应分布 解决问题! 列,解决问题

二项分布

应用


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