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上海市崇明县2013届高三上学期期末考试数学试题


崇明县 2012 学年第一学期期末考试试卷 高 三 数 学(一模)
(考试时间 120 分钟,满分 150 分)
考生注意: 本考试设试卷和答题纸两部分,试卷包括试题与答题要求,所有答案必须写在答题纸上,做在试卷上 一律不得分。答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的,答题时应特别注意,不能错位。

一、填空题(每题 4 分,共 56 分)
1、设复数 z(2 ? i) ? 11 ? 7i ( i 为虚数单位) ,则 z ? 2、已知 ? ? (0, ? ) 且 tan(? ? ) ? ? 3 ,则 ? ? 4 3、过点 P(1, ?1) ,且与直线 l : x ? y ? 1 ? 0 垂直的直线方程是
1

. . .

?

1 4、若集合 A ? { y y ? x 3 , ?1≤ x ≤1}, B ? { y y ? 2 ? ,0 ? x ≤1} ,则 A ? B 等 x 于 .
5、已知 y ? f ?1 ( x) 是函数 f ( x) ? x 2 ? 2 ( x ≤ 0) 的反函数,则 f ?1 (3) ?
1 6、 ( x 2 ? )5 展开式中 x 4 的系数是 x

.

.(用数字作答)

开 始 A←3, N←1

7、执行框图,会打印出一列数, 这个数列的第 3 项是 . 打印 A N← N ? 1 否 N≤10 是 前 n 项和为 S n ,则 lim S n ?
n ??

8、若圆锥的侧面展开图是半径为 1cm、圆心角为 180? 的 半圆,则这个圆锥的轴截面面积等于
? 1 ? ? 9、数列 ?an ? 的通项公式是 an ? ? n ? 1 ? 1 ? 3n ? (n ? 1, 2)

. ,

(n ? 2)

.

结束

A← A ? ( A ? 1)
第 7 题图

10、已知:条件 A:

2

x
2

3 1? x

? 0 ,条件 B: x ? a ,

如果条件 A 是条件 B 的充分不必要条件, 则实数 a 的取值范围是 .

11、在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,若 a2 ? b2 ? 2c2 ,则 cos C 的最小
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值 等于 .

???? ??? ? 3? 12、在平面直角坐标系中, O(0,0), P(6,8) ,将向量 OP 按逆时针旋转 后得向量 OQ ,则 4 点Q 的

坐标是

.

13、数列 {a n} 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ? 1 ,则 {a n} 的前 60 项和等于

.

14、已知 f ( x) ? m( x ? 2 m)( x? m? 3), g ( x) ? 2 x ? 2 ,若同时满足条件:①对于任意 x ? R ,
f ( x) ? 0

或 g ( x) ? 0 成立; ②存在 x ? (??, ?4) ,使得 f ( x) ? g ( x) ? 0 成立.则 m 的取值范围是 .

二、选择题(每题 5 分,共 20 分)
15、设函数 f ( x) ? sin x , x ? R ,则下列结论错误的是……………………………………… ( ) A. f ( x) 的值域为 [0,1] C. f ( x) 不是周期函数 16、下面是关于复数 z ?
2 的四个命题: ?1 ? i

B. f ( x) 是偶函数 D. f ( x) 不是单调函数

① z ? 2 ; ② z 2 ? 2i ;

③ z 的共轭复数为 1 ? i ;

④ z 的虚部为 ?1 .

其中正确的命题…………………………………………………………………………… ( ) A.②③ B.①② C.②④ D.③④

17、等轴双曲线 C : x 2 ? y 2 ? a 2 与抛物线 y 2 ? 16 x 的准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ,则 双曲线 C 的实轴长等于…………………………………………………………………… ( ) A. 2 B. 2 2 C.4 D.8

18、某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各 1 节, 则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为…………………… ( )

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A.

3 5

B.

8 15

C.

2 5

D.

1 5

三、解答题(本大题共 74 分,解答下列各题需要必要的步骤)
19、 (本题 12 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分) 已知函数 f (x)=sin (2 x+ )+sin(2 x ? )+2cos2 x ? 1 , x ? R . 3 3 (1)求函数 f (x) 的最小正周期; (2)当 x ? [ ?

?

?

? ?

, ] 时,求函数 f ( x) 的值域以及函数 f ( x) 的单调区间. 4 4

20、 (本题 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) (理科)如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? AD ? 1 , E 为 CD 中点. (1)求证: B1 E ? AD1 ; (2)若 AB ? 2 ,求二面角 A ? B1 E ? A1 的大小. B1 A1 D1

C1

A E B C

D

(文科)如图,四面体 ABCD 中, O 、 E 分别是 BD 、 BC 的中点, AO ? 平面 BCD ,

CA ? CB ? CD ? BD ? 2 .
(1)求三棱锥 A ? BCD 的体积; (2)求异面直线 AE 与 CD 所成角的大小.

A

D O B E C

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21、 (本题 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 已知数列 ?an ? ,记 A(n) ? a1 ? a2 ? a3 ? ?????? ?an , B(n) ? a2 ? a3 ? a4 ? ?????? ?an?1 ,
C (n) ? a3 ? a4 ? a5 ? ?????? ?an? 2 , (n ? 1,2,3,......) ,并且对于任意 n ? N ? ,恒有 an ? 0 成立.

(1)若 a1 ? 1, a2 ? 5 ,且对任意 n ? N ? ,三个数 A(n), B(n), C (n) 组成等差数列,求数列 ?an ? 的 通项公式; (2)证明:数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n ? N ? ,三个数
A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列.

22、 (本题 16 分,第(1)小题 4 分;第(2)小题 6 分;第(3)小题 6 分) 设函数 f n ( x) ? x n ? bx ? c (n ? N ? , b, c ? R) .
1 (1)当 n ? 2, b ? 1, c ? ?1 时,求函数 f n ( x) 在区间 ( ,1) 内的零点; 2 1 (2)设 n ≥ 2, b ? 1, c ? ?1 ,证明: f n ( x) 在区间 ( ,1) 内存在唯一的零点; 2

(3)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ? ? ?1,1? ,有 f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) ≤ 4 ,求 b 的取值范围.

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23、 (本题 18 分,第(1)小题 6 分;第(2)小题 12 分) 如图,椭圆 E : 于
A, B 两点, ?ABF2 的周长为 8,且 ?AF1 F2 面积最大时, ?AF1 F2 为正三角形.
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 ,过 F1 的直线交椭圆 a 2 b2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相交于点 Q . 试探究:① 以 PQ 为直径的圆与 x 轴的位置关系? ② 在坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ? 若存在,求出 M 的坐标;若不存在,说明理由. y A

F1 O B

F2 x

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崇明县 2012 学年第一学期高三数学参考解答
一、填空题 1、 3+5i 2、

5 ? 12

3、 x+y =0

4、 ? -1,1?

5、 ?1 10、 a ? -2

6、10

7、30

8、

3 4
13、1830

9、

8 9

11、

1 2

12、 -7 2,- 2

?

?

14、 (-4,-2)

二、选择题 15、 C 三、解答题

16、 C

17、 C

18、 A

19、 1)f (x)=sin2x+cos2x = 2 sin (2x+ (

?
4

)

?T =?
(2)因为 2x+

?

? ? 2 ? ? ? 3 ? ,1? ? ? ? , ? ? ,所以 sin (2x+ ) ? ? ? 4 4 ? 4 4 ? ? 2 ?

,所以 f (x) ? ? ?1, 2 ?

?

?

函数的增区间为 ? ?

? ? ?? ?? ? ? , ? ,减区间为 ? , ? ? 4 8? ?8 4?

20、 (理科) (1)方法一、以 A 为坐标原点,以 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直 角坐标系,设 AB ? a ,则 B1 E ? ? ?

????

? ? a ? ???? ,1, ?1? , AD1 ? (0,1,1) . ? 2 ?

所以 , B1 E ? AD1 ? 0, B1 E ? AD1 。 另解: AA1 D1 D 为正方形,所以 A1 D ? AD1 ,

???? ???? ?

A1 D ? AD1 ? ? ? AD1 ? 面A1 B1CD 。 CD ? AD1 ?

又B1E ? 面A1B1CD ? AD1 ? B1E 。
AE (2)因为 AB1 ? ? 2,0,1?, ? ?1,1,0 ? ,
所以取面 AB1E 的一个法向量为 n1 = ?1,-1,-2 ? ,同理可取面 A1B1E 一个法向量为 n2 = ? 0,1,1? , 设二面角 A-B1E-A1 为 ? ,则 cos ? ?

????

??? ?

??

?? ?

n1 ? n2 n1 ? n2

=

3 ? ,所以? = 即二面角 A-B1E-A1 的大小为 2 6

? . 6
(文科)
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(1)因为 CO= 3 ,AO=1 所以 V ?

1 3 ? 3 ?1 ? 3 3



(2)因为 O、E 为中点,所以 OE//CD,所以 ?AEO 的大小即为异面直线 AE 与 CD 所成角。 在直角三角形 AEO 中, ?AEO =

?
4

,所以异面直线 AE 与 CD 所成角的大小为

? 4

21、解: (1) 2B(n)=A(n)+C(n)

? an +2 -an ?1 =a2 -a1 =4,n ? N* ,所以 {an } 为等差数列。 ? an =4n-3,n ? N*
(2) (必要性)若数列 {an } 是公比为 q 的等比数列,则

B(n) a2 +a3 +? +an +1 = =q , A(n) a1 +a2 +? an

C (n) a3 +a4 +? +an +2 = =q ,所以 A(n)、B(n)、C(n)组成公比为 q 的等比数列。 B(n) a2 +a3 +? an +1
(充分性) :若对于任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列, 则 B(n) ? qA(n), C (n) ? qB(n) , 于是 C (n) ? B(n) ? q ? B(n) ? A(n) ? , 得 an? 2 ? a2 ? q(an?1 ? a1 ), 即
?

an ? 2 ? qan ?1 ? a2 ? a1.
因为 an ? 0 ,所以

由 n ? 1 有 B(1) ? qA(1), 即 a2 ? qa1 ,从而 an ? 2 ? qan ?1 ? 0 .

an ? 2 a2 ? ? q ,故数列 ?an ? 是首项为 a1 ,公比为 q 的等比数列。 an ?1 a1
*

综上, 数列 {an } 是公比为 q 的等比数列的充要条件是对任意的 n ? N , 都有 A(n)、 B(n)、 C(n)组成公比为 q 的等比数列。 22、解: (1) f 2 (x)=x +x-1 ,令 f 2 (x)=0 ,得 x =
2

-1 ? 5 , 2 -1+ 5 。 2

所以 f 2 (x)在区间( ,1)内的零点是x= (2)证明:因为 f n ( 在零点。

1 2

1 1 1 )<0 , f n (1)>0 。所以 f n ( ) ? f n (1)<0 。所以 f n (x) 在 ( , 内存 1) 2 2 2 x ,则f n < 2
,所以 x ) < ( x ) - f (n xx1 n = 2( x - 1 )2+ ( x -f n (x) 在0 ) 2

1 任取x1、x 2? ( , 1且, ) 2

1

1n

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1 1 ( , 内单调递增,所以 f n (x) 在 ( , 内存在唯一零点。 1) 1) 2 2
(3)当 n=2 时,f2(x)=x2+bx+c. 对任意 x1, 2∈[-1,1]都有|f2(x1)-f2(x2)|≤4 等价于 f2(x)在[-1,1]上的最大值与最小值之 x 差 M≤4. 据此分类讨论如下: ①当 | | ? 1 ,即|b|>2 时,M=|f2(1)-f2(-1)|=2|b|>4,与题设矛盾。

b 2

b b b <0,即 0<b≤2 时,M=f2(1)-f2( ? )=( +1)2≤4 恒成立. 2 2 2 b b b ③当 0≤ ? ≤1,即-2≤b≤0 时,M=f2(-1)-f2( ? )=( -1)2≤4 恒成立. 2 2 2
②当-1≤ ? 综上可知,-2≤b≤2. 注:②,③也可合并证明如下: 用 max{a,b}表示 a,b 中的较大者.

b b ≤1,即-2≤b≤2 时,M=max{f2(1),f2(-1)}-f2( ? ) 2 2 f 2 (?1) ? f 2 (1) | f 2 (?1) ? f 2 (1) | b = ? ? f 2 (? ) 2 2 2 2 b =1+c+|b|-( ? +c) 4 |b| 2 =(1+ ) ≤4 恒成立. 2 23、解: (1)当三角形面积最大时,为正三角形,所以 A 0,b) =2c,4a=8 ( ,a
当-1≤ ?

?a 2 =4,b2 =3 ,椭圆 E 的方程为

x2 y2 + =1 4 3

? y ? kx ? m ? 2 2 2 (2)①由 ? x 2 y 2 ,得方程 (4k ? 3) x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4
由直线与椭圆相切得 m ? 0, ? ? 0, ? 4k ? m ? 3 ? 0.
2 2

4k 3 m 3 2 , ) , Q(4, 4k ? m) , PQ 中点到 x 轴距离 d 2 ? (2k ? ? ) m m 2 2m 1 2k ( PQ )2 ? d 2 ? ( ? 1)2 ? 0(4k 2 ? m2 ? 3 ? 0 ? m ? 2k ) 。 2 m 所以圆与 x 轴相交。 (2)②假设平面内存在定点 M 满足条件,由对称性知点 M 在 x 轴上,设点 M 坐标为 ???? ? 4k 3 ???? M ( x1 , 0) , MP ? (? ? x1 , ), MQ ? (4 ? x1 , 4k ? m) 。 m m ???? ???? ? k 2 由 MP ? MQ ? 0 得 (4 x1 ? 4) ? x1 ? 4 x1 ? 3 ? 0 m
求得 P(? 所以 4 x1 ? 4 ? x1 ? 4 x1 ? 3 ? 0 ,即 x1 ? 1
2

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所以定点为 M (1, 0) 。

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