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高中数学:多元函数泰勒公式


4

泰勒公式与极值
高阶导数 中值定理和泰勒公式

问题

一、高阶偏导数
函数 z ? f ( x , y ) 的一阶偏导数为 f x ( x , y ) , f y ( x , y ) 仍存在偏导数,则称它们为函数 z ? f ( x , y ) 的二阶 偏导数
? ? ?z ? ? z ? ? ?z ? ? z ? ? f xx ( x , y ), ? f yy ( x , y ) ? ? ? ? ? 2 2 ?x ? ?x ? ?x ?y ? ?y ? ?y
2

2

纯偏导

2 ? ? ?z ? ? z ? ? ?z ? ? z ? f xy ( x , y ), ? ? ? ? f yx ( x , y ) ? ? ? ?y ? ?x ? ?x?y ?x ? ?y ? ?y?x
2

混合偏导

定义:二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶 偏导数.

定理7. 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续,则
f x y ( x0 , y0 ) ? f y x ( x0 , y0 )

证 令 F (?x , ?y ) ?

f ( x0 ? ?x , y0 ? ?y ) ? f ( x0 ? ?x , y0 )
? ( x0 ? ?x )

? f ( x 0 , y 0 ? ? y ) ? f ( x 0 , y 0 ) ? ( x0 )

? ? ( x 0 ? ? x ) ? ? ( x 0 ) ? ? ?( x 0 ? ? 1 ? x ) ? x

0 ? ?1 ? 1

? ? f x ( x0 ? ?1?x , y0 ? ?y ) ? f x ( x0 ? ?1?x , y0 )? ?x ? ? ? f xy ( x 0 ? ? 1 ? x , y 0 ? ? 2 ? y ) ? x ? y , 0 ? ? 1 , ? 2 ? 1
F (?x , ?y ) ? f ( x0 ? ?x , y0 ? ?y ) ? f ( x0 , y0 ? ?y ) ? f ( x 0 ? ? x , y 0 ) ? f ( x 0 , y 0 )? ( x 0 )
? ( x0 ? ?x )

? ? ( y 0 ? ? x ) ? ? ( y 0 ) ? ? ?( y 0 ? ? 3 ? y ) ? y
? ? f y ( x0 ? ?x , y0 ? ? 3?y ) ? f y ( x0 , y0 ? ? 3?y )? ?y ? ? ? f yx ( x 0 ? ? 4 ? x , y 0 ? ? 3 ? y ) ? y ? x , 0 ? ? 3 , ? 4 ? 1

f xy ( x 0 ? ? 1 ? x , y 0 ? ? 2 ? y ) ? f yx ( x 0 ? ? 4 ? x , y 0 ? ? 3 ? y )

由 f x y ( x, 时有

y ), f y x ( x , y )

的连续性,当 ? x

? 0, ? y ? 0

f x y ( x0 , y0 ) ? f y x ( x0 , y0 )

例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有

说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导
数可以选择方便的求导顺序.

二、问题的提出
一元函数的泰勒公式:
f ( x ) ? f ( x 0 ) ? f ? ( x 0 )( x ? x 0 ) ? ? f ?? ( x 0 ) 2 f
( n?1)

( x ? x0 ) ? ? ?
2 0

f

(n)

( x0 )

n!
n?1

( x ? x0 )

n

?x

? ? ( x ? x0 )?

( n ? 1 )!

( x ? x0 )

( 0 ? ? ? 1 ).

意 义 : 可 用n 次 多 项 式 来 近 似 表 达 函 数 f ( x ) , 且 误 差 是 当 x ? x0时 比 ( x ? x0 ) 高 阶 的 无穷 小 .
n

二、中值定理和泰勒公式
定理 8 设 z ? f ( x , y ) 在凸域 D
Q ( a ? h , b ? k ) ? in t D , s . t
f (a ? h, b ? h ) ? f ( x 0 , y0 ) ? f x ( a ? ? h , b ? ? k ) h ? f y ( a ? ? h , b ? ? k ) k , ( 0 ? ? ? 1)
? R
2

上连续,在 D 的

所有内点可微, 则对 D 内任意两点 P ( a , b ),

证 引入函数 显然

? ( t ) ? f ( a ? h t , b ? kt ),

( 0 ? t ? 1).

? ( t ) ? C [0, 1], 在 (0, 1)

内可微 ,由中值定理

f ( a ? h , b ? k ) ? f ( h , k ) ? ? (1) ? ? (0 ) ? ? ? (? ).

? f x ( a ? ? h , b ? ? k )h ? f y ( a ? ? h , b ? ? k )k ,
(0 ? ? ? 1).

定理 9 设 z ? f ( x , y ) 在点( x 0 , y 0 ) 的某一邻域内连 续且有直到 n ? 1 阶的连续偏导数, ( x 0 ? h , y 0 ? h ) 为此邻域内任一点,则有
? ? ? ? f ( x0 ? h, y0 ? h) ? f ( x0 , y0 ) ? ? h ? k ? f ( x0 , y0 ) ?y ? ? ?x ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? h ? k f ( x0 , y0 ) ? ? ? h ? k ? ? ? ? f ( x0 , y0 ) 2! ? ? x ?y ? n! ? ? x ?y ?
n?1 2 n

? ? ? ? ? ? k ?h ? ( n ? 1 )! ? ? x ?y ? 1

f ( x 0 ? ? h , y 0 ? ? k ),

(0 ? ? ? 1)

其中记号
? ? ? ? ? k ?h ? f ( x0 , y0 ) ?y ? ? ?x

表示 hf x ( x 0 , y 0 ) ? kf y ( x 0 , y 0 ),
? ? ? ? ? k ?h ? f ( x0 , y0 ) ?y ? ? ?x
2

表示

h f x x ( x 0 , y 0 ) ? 2 hkf
2

( x 0 , y 0 ) ? k f yy ( x 0 , y 0 ), xy
2

一般地,记号

? ? ? ? ? k ?h ? ?y ? ? ?x

m

f ( x 0 , y 0 ) 表示

?C
p?0

m

p

m

h k

p

m? p

? p
m

? x ?y
p

m? p

( x 0 , y0 )

.



引入函数
? ( t ) ? f ( x 0 ? ht , y 0 ? kt ), ( 0 ? t ? 1 ).

显然 ? ( 0 ) ? f ( x 0 , y 0 ),
? ( 1 ) ? f ( x 0 ? h , y 0 ? k ).

由 ? ( t )的定义及多元复合函数的求导法则,可得
? ? ( t ) ? hf x ( x 0 ? ht , y 0 ? kt ) ? kf y ( x 0 ? ht , y 0 ? kt ) ? ? ? ? ? ?h ? k ? f ( x 0 ? ht , y 0 ? kt ), ?y ? ? ?x
? ? ? ( t ) ? h f xx ( x 0 ? ht , y 0 ? kt )
2

? 2 hkf

( x 0 ? ht , y 0 ? kt ) ? k f yy ( x 0 ? ht , y 0 ? kt ) xy
2

??

??

?

( n?1)

(t ) ?

?C
p?0

n?1

p n?1

h k

p

n ? 1? p

?
p

n?1

p
n ? 1? p ( x 0 ? ht , y 0 ? kt )

?x ?y
n?1

? ? ? ? ? ?h ? k ? ?y ? ? ?x

f ( x 0 ? ht , y 0 ? kt ).

利用一元函数的麦克劳林公式,得
? (1 ) ? ? ( 0 ) ? ? ?( 0 ) ? ? 1 n! ?
(n)

1 2!

? ?? ( 0 ) ? ? ?
(n?1)

(0) ?

1 ( n ? 1 )!

(? ), ( 0 ? ? ? 1 ).

将 ? ( 0 ) ? f ( x 0 , y 0 ) , ? (1 ) ? f ( x 0 ? h , y 0 ? k ) 及 上面求得的 ? ( t ) 直到 n 阶导数在 t ? 0 的值,以及
?
(n?1)

( t ) 在t ? ?

的值代入上式.即得

? ? ? ? f ( x0 ? h, y0 ? k ) ? f ( x0 , y0 ) ? ? h ? k ? f ( x0 , y0 ) ?y ? ? ?x 1 ? ? ? ? ? ? k ?h ? f ( x0 , y0 ) ? ? 2! ? ? x ?y ? 1 ? ? ? ? ? ? k ?h ? f ( x0 , y0 ) ? Rn , n! ? ? x ?y ?
n 2

(1 )

其中
? ? ? ? Rn ? ? k ?h ? ( n ? 1 )! ? ? x ?y ? 1
n?1

f ( x 0 ? ? h , y 0 ? ? k ), (2)

( 0 ? ? ? 1 ).

证毕
公 式 (1 ) 称 为 二 元 函 数 f ( x , y ) 在 点 ( x 0 , y 0 ) 的

n阶 泰 勒 公 式 ,而 Rn 的 表 达 式(2) 称 为 拉 格 朗 日 型
余项.

由二元函数的泰勒公式知, R n 的绝对值在 点 ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域内都不超过某一正常数 M . 于是,有下面的误差估计式:
Rn ? M

?n ? 1 ?!

?h

? k

?

n?1

?

M

?n ? 1 ?!

?

n?1

? cos ?
2

? sin ?

?

n?1

?

?

2?

n?1

?n ? 1?!

M?

n?1

,

其中 ? ?

h ? k .
2
n

(3)
高阶

由 (3)式 可 知 ,误 差 Rn 是 当 ? ? 0 时 比? 的无穷小.

当 n ? 0 时 , 公 式 (1 ) 成 为

f ( x0 ? h, y0 ? k ) ? f ( x 0 , y 0 ) ? hf x ( x 0 ? ? h , y 0 ? ? k ) ? kf y ( x 0 ? ? h , y 0 ? ? k )

上式称为二元函数的拉格朗日中值公式.
推 论 如 果 函 数 f ( x , y)的 偏 导 数 f x ( x, y) , f y ( x, y) 在 某 一 邻 域 内 都 恒 等 于 零 ,则 函 数 f ( x, y)在 该 区 域 内为一常数.

在 泰 勒 公 式 (1 ) 中 , 如 果 取 x 0 ? 0 , y 0 ? 0 , 则 (1 ) 式 成 为 n 阶 麦 克 劳 林 公 式 .
? ? ? ? f ( x , y ) ? f ( 0 ,0 ) ? ? x ? y ? f ( 0 ,0 ) ?y ? ? ?x ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? x ? y f ( 0 ,0 ) ? ? ? x ? y ? ? ? ? f ( 0 ,0 ) 2! ? ? x ?y ? n! ? ? x ?y ?
n?1 2 n

? ? ? ? ? ? y ?x ? ( n ? 1 )! ? ? x ?y ? 1

f (? x , ? y ),

(0 ? ? ? 1)

(5)

例 6

求 函 数 f ( x , y ) ? ln( 1 ? x ? y ) 的 三 阶 麦 克劳林公式.



?

fx(x, y) ? fy(x, y) ?

1 1? x ? y

,
1 ,

f xx ( x , y ) ? f xy ( x , y ) ? f yy ( x , y ) ? ?

(1 ? x ? y )

2

? f
3

?x ?y
p

3? p

?

2! (1 ? x ? y )
3!
3

,

( p ? 0 ,1 , 2 , 3 ), ( p ? 0 ,1 , 2 , 3 , 4 ),

? f
4

?x ?y
p

4? p

? ?

(1 ? x ? y )

4

,

? ? ? ? ??x ? y ? f ( 0 , 0 ) ? xf x ( 0 , 0 ) ? yf y ( 0 , 0 ) ? x ? y , ?y ? ? ?x
? ? ? ? ? y ?x ? f ( 0 ,0 ) ?y ? ? ?x ? x f xx ( 0 , 0 ) ? 2 xyf
2 2

( 0 , 0 ) ? y f yy ( 0 , 0 ) xy
2

? ?(x ? y) ,
2

? ? ? ? 3 2 ? y ?x ? f ( 0 , 0 ) ? x f xxx ( 0 , 0 ) ? 3 x yf ?y ? ? ?x
2 3

3

xxy

( 0 ,0 )
3

? 3 xy f xyy ( 0 , 0 ) ? y f yyy ( 0 , 0 ) ? 2 ( x ? y ) ,

又 f ( 0 ,0 ) ? 0 , 故

ln( 1 ? x ? y ) ? x ? y ?

1 2

(x ? y) ?
2

1 3

( x ? y ) ? R3 ,
3

其中
1 ? ? ? ? R3 ? ? y ?x ? f (? x , ? y ) 4! ? ? x ?y ? ? ? 1 4 (1 ? ? x ? ? y ) ? (x ? y)
4 4 4

,

( 0 ? ? ? 1 ).

四、小结
1、二元函数的泰勒公式; 2、二元函数的拉格朗日中值公式; 3、 n 阶麦克劳林公式;


一、求函数


2


2

f ( x , y ) ? 2 x ? xy ? y ? 6 x ? 3 y ? 5 在

点 ( 1 , ? 2 ) 的泰勒公式.
二、求函数 三、求函数 f ( x , y ) ? e ln( 1 ? y ) 的三阶泰勒公式.
x

f (x, y) ? e

x? y

的 n 阶泰勒公式.

练习题答案
一、 f ( x , y ) ? 5 ? 2 ( x ? 1 ) ? ( x ? 1 )( y ? 2 ) ? ( y ? 2 ) .
2 2

二、 e ln( 1 ? y )
x

? y?

1 2!

( 2 xy ? y ) ?
2

1 3!

( 3 x y ? 3 xy
2

2

? 2 y ) ? R3 .
3

其中 R 3 ?
三、 e ?
x? y

e

?x

24

? 1 ? (x ? y) ?
n

1 2!

( x ? 2 xy ? y ) ? ?
2 2 n

1 n!

(x

? Cnx
1

n?1

y ? ? ? y ) ? Rn (x
n?1

其中 R n ?

e

? (x? y)

( n ? 1 )!

? C n?1 x y ? ? ? y
1 n

n?1

),

0 ? ? ? 1.


09 第九节 多元函数的泰勒公式

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