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陕西省西安市第一中学2014届高三数学下学期第二次模拟考试试题 文(含解析)北师大版


西安市第一中学 2013-2014 学年度高三第二学期第二次模拟考试试 题高三数学(文科)
第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项 是符合题目要求的. 1.设集合 A ? {x |1≤ x ≤ 2}, B ? {x | x ≥ a}. 若 A ? B ,则 a 的范围是( (A) a

? 1 (B) a ≤ 1 (C) a ? 2 ) (D) a ≤ 2

2.已知向量 a =(2,t), b =(1,2),若 t=t1 时, a ∥ b ;t=t2 时, a ⊥ b ,则( (A)t1=-4,t2=-1 (B)t1=-4,t2=1 (C)t1=4,t2=-1 (D)t1=4, t2=1



3.已知 log 1 m < log 1 n <0,则(
2 2

) (C)1<m<n (D)1<n<m

(A)n<m<1 【答案】D 【解析】

(B)m<n<1

试题分析:因为 y ? log 1 x 在定义域上单调递减, log 1 m ? log 1 n ? 0 ? log 1 1 ,所以
2
2 2 2

m ? n ? 1,故选D.
考点:对数函数的单调性.

1

4.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示) ,则该样 本的中位数、众数、极差分别是 ( A.46,45,56 B.46,45,53 ) C.47,45,56 D.45,47,53

5.下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是( (A) a ? b ? 1 (B) a ? b ? 1 (C) a ? b
2 2


3 3

(D) a ? b

3 6.复数 z ? cos120 ? i sin 120 ,则 z ? (

0

0

).

(A)

1 3 ? i 2 2

(B) ?

1 3 ? i 2 2

(C)

1 3 ? i 2 2

(D) 1

【答案】D 【解析】 试题分析: z ? cos120 ? i sin120 ? ?
0 0

1 3 ? i ? ? ,因为 ? 3 ? 1 ,所以 z 3 ? 1 . 2 2

考点:复数的运算. 7.一个四面体 ABCD 的所有棱长都为 2 , 四个顶点在同一球面上, 则此球的表面积为 ( (A) 3? (B) 4? (C) 3 3? (D) 6?
2



【答案】A

8.直线 x ? y ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 2ay ? 0(a ? 0) 没有公共点,则 a 的取值范围是( A. (0, 2 ?1) B. ( 2 ?1, 2 ? 1) C. (? 2 ?1, 2 ?1) D. (0, 2 ? 1)



9.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是( A.



8 3

B. 4

C. 2

D.

4 3

【答案】B 【解析】 试题分析:三视图所对应的三棱锥如所示,
3

10.对 a,b∈R,记 max{a,b}= ? ( ) (A)0 (B)

?a, a ? b, 函数 f(x) =max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的最小值是 ?b, a ? b.

1 2

(C)

3 2

(D)3

考点:函数的值域;函数最值的应用;分段函数的应用.

4

第Ⅱ卷(共 100 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上) 11.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 9 16

12.已知 ?ABC 中,点 A, B, C 的坐标分别为 A(1,4), B(3,7), C (2,8) 则 ?ABC 的面积为

13.若方程 2 cos

2

x ? sin x ? a ? 0 有实根,则实数 a 的取值范围为

? x? y?4?0 ? 14.设实数 x, y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 7 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值是 ? x ? 0, y ? 0 ?
5

考点:线性规划. 15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) A. (不等式选做题)若存在实数 x 使 | x ? a | ? | x ? 1|? 3 成立,则实数 a 的取值范围是

B.(几何证明选做题)如图,在圆 O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E, EF ? DB ,垂 足为 F,若 AB ? 6 , AE ? 1 ,则 DF ? DB ?

6

C. (坐标系与参数方程)直线 2 ? cos ? ? 1 与圆 ? ? 2cos ? 相交的弦长为 【答案】 3 【解析】

c o s 试题分析: 将直线 2 ? cos ? ? 1 化为普通方程为:2 x ? 1 , ∵? ?2
2 化为普通方程为: x 2 ? y 2 ? 2 x ,即 ? x ? 1? ? y ? 1 ,联立得 ? 2

?, ∴ ?2 ? 2 ?c o s? ,
2x ? 1
2

? ?

2 ? ?? x ? 1? ? y ? 1

,解得

1 ? x? ? 3 3 2 ? ? ? 3 故答案为 3 .将极坐标方程化为 ,∴直线与圆相交的弦长为 ? 2 2 3 ?y ? ? ? ? 2
直角坐标系方程是常用方法. 考点:简单曲线的极坐标方程. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本题 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知

sin A sin B ? sin B sin C ? cos 2 B ? 1,
(1)求证: a ? c ? 2b ; (2)若 C ?

2? a ,求 的值. 3 b
7

17.(本题 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 S n (1)写出数列的前 3 项 a1 , a2 , a3 ; (2)求数列 ?an ? 的通项公式.

? 2an ? 2n

8

18.(本题 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 ABCD,PA=2,∠PDA=45, 点 E、F 分别为棱 AB、PD 的中点. (1)求证:AF∥平面 PCE; (2)求三棱锥 C-BEP 的体积.

【答案】 (1)详见解析; (2)三棱锥 C ? BEP 的体积为

2 . 3

9

19.(本题 12 分) 现有 7 道题,其中 5 道甲类题,2 道乙类题,张同学从中任取 2 道题解答.试求: (1)所取的两道题都是甲类题的概率; (2)所取的两道题不是同一类题的概率.

10

20.(本题 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 2 3 a b

3.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设不与坐标轴平行的直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 交于 A、B 两点, 坐标原点 O 到直线 l

的距离为

3 ,求 ?AOB 面积的最大值. 2
x2 3 ? y 2 ? 1 ;(2) ?AOB 面积的最大值为 . 3 2

【答案】(1)椭圆 C 的方程为 C : 【解析】

试题分析:(1) 求椭圆的方程,可利用待定系数法求出 a , b 的值即可,依题意,

a ? 3, e ?

c 6 ? , 可得: c ? 2, ,从而可得 b 的值,即得椭圆的方程;(2)由于直线 l a 3

11

是任意的, 故可设其方程为 y ? kx ? m .根据坐标原点 O 到直线 l 的距离为

3 , 可得 k 与 m 2 3 , 2

的关系式, 从而将双参数问题变为单参数问题.将 AB 作为底边, 则 ?AOB 的高为常数

所以要使 ?AOB 的面积最大,就只需 AB 边最大.将 AB 用 k 或 m 表示出来便可求得 AB 的 最大值,从而求得 ?AOB 的面积的最大值. 试题解析: (1)依题意, a ?

3, e ?

c 6 ? , 可得: c ? 2, b ? a 2 ? c 2 ? 1, a 3

所以,椭圆 C :

x2 ? y2 ? 1; 3

21.(本题 14 分) 设函数 f ( x) ? e ? ax ? 2 .
x

(Ⅰ)求函数 f ( x) ? e ? ax ? 2 的图像在点 A(0,?1) 处的切线方程;
x

(Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间;
/ (III)若 a ? 1 , k 为整数,且当 x ? 0 时, ( x ? k ) f ( x) ? x ? 1 ? 0 ,求 k 的最大值.

12

(Ⅱ) f / ( x) ? e x ? a, x ? R .
/ 若 a ? 0 ,则 f ( x) ? 0 恒成立,所以, f ( x) 在区间 ?? ?,??? 上单调递增. / / 若 a ? 0 ,则当 x ? ?? ?, ln a ? 时, f ( x) ? 0 ,当 x ? ?ln a,??? 时, f ( x) ? 0 ,

所以, f ( x) 在区间 ?? ?, ln a ? 上单调递减,在 ?ln a,??? 上单调递增.
/ x (III)由于 a ? 1 ,所以, ( x ? k ) f ( x) ? x ? 1 ? ( x ? k )(e ? 1) ? x ? 1.
/ 故当 x ? 0 时, ( x ? k ) f ( x) ? x ? 1 ? 0 ? k ?

x ?1 ? x( x ? 0). ① ex ?1

令 g ?x ? ?

x ?1 ? xe x ? 1 e x (e x ? x ? 2) / ? x ,则 g ?x ? ? ?1 ? . 2 2 ex ?1 ex ?1 ex ?1

?

?

?

?

函数 h( x) ? e ? x ? 2 在 ?0,??? 上单调递增,而 h(1) ? 0, h(2) ? 0.
x

13

14


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