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幂函数常见题型解析


幂函数常见题型解析
学习幂函数重点是掌握幂函数的图象特征及有关性质,会根据题意求出函数的定义域、 值域,下面就一些常见题型选解如下. 例 1 求函数 y ? x2n ? a2n (其中 a ? 0 , n ? N? )的定义域和值域,并讨论其奇偶性
k

与单调性. 解:分两种情况讨论: (1)当 k 为偶数时,函数的定义域由 x 2 n

? a 2 n ≥ 0 决定.故 x 2 n ≥ a 2 n ,得 x ≥ a ,即 函数的定义域为 ?x | x ≤ ? a ,或x ≥ a ? . 函数显然是偶函数,它在区间 ? ? ∞? ; 在 区 间 ? ∞? 上 为 增 函 数 , 所 以 y ? ?0, ? a,
? ∞? .故函数的值域为 ? 0, ? ∞? . ? a? ? 上为减函数, y ? ?0, ? ?∞,

(2)当 k 为奇数时,函数的定义域为 R .
? ∞ ,在区 函数显然是偶函数,由于在区间 ? 0, ? ∞? 内函数为增函数,所以 y ? ? ? a 2 n, ?
k k k ? ∞ ,故其值域为 ? ? a 2 n, ?∞ . 间 ? ?∞, 0? 内函数为减函数,所以 y ? ? ? a 2 n, ? ?

?

?

?

评注:此题将幂函数与根式相结合,运用了分类讨论的思想.关键是分 k 为偶数和奇数 两种情况讨论, 然后根据幂函数的性质解答, 所以要求同学们对幂函数的性质要 “了如指掌” . 例 2 已知幂函数 f ( x) xm ?1 (m ? Z) 的图象与 x,y 轴都无交点,且关于原点对称. (1)求函数 f ( x) ? xm
2 2

?1

的解析式;
b 的奇偶性. f ( x)

(2)讨论函数 F ( x ) ? a f 2 ( x ) ?

解: (1)因为函数图象与 x 轴,y 轴都无交点,所以 m2 ? 1≤ 0 ,解得 ?1≤ m ≤1 . 又图象关于原点对称,则 m 2 ? 1 为奇数,又因为 m ? Z ,所以 m ? 0 ,故 f ( x) ? x ?1 . (2) F ( x) ? a x ?2 ?
F (? x) ? b a ? ? bx . ?1 x x

a a ? bx , ? F ( x) ? ? ? bx , x x

因此, F ( x) 的奇偶性,由参数 a,b 是否为零决定. ①当 a ? 0 ,且 b ? 0 时, F ( x) 是非奇非偶函数; ②当 a ? 0 ,且 b ? 0 时, F ( x) 是奇函数; ③当 a ? 0 ,且 b ? 0 时, F ( x) 是偶函数; ④当 a ? 0 ,且 b ? 0 时, F ( x) 既是奇函数又是偶函数. 评注:本题考察了幂函数的图象和解析式的联系.对于幂函数 y ? x? 的图象: (1)若图象与 x,y 轴都无交点,则 ? ≤ 0 ;

(2)若图象过原点,则 ? ? 0 ; (3)若图象关于 y 轴对称,则 ? 为偶数; (4)若图象关于原点对称,则 ? 为奇数. 例 3 已知 x 2 ? x 3 ,求 x 的取值范围. 解:注意到 y ? x 2 与 y ? x 3 均为幂函数,所以在同一 个坐标系中作出它们的图象,不难看出,x 的取值范围是 x ? 0 或 x ?1. 评注:数形结合是解决数学问题的一类重要的思想方 法,它将抽象的数量关系与直观的图形结合起来,使问题 变得简单易懂.通过幂函数的图象,可以直观、明了的掌 握幂函数的性质. 提示:要特别注意下面的错误. 解:当 x ? 1 时, f ( x) ? x? 是增函数, ∵2?
1
1

1 ,∴ x 2 ? x 3 恒成立,故 x ? 1 ; 3
1

1

当 0<x<1 时, f ( x) ? xa 是减函数,此时有 x 2 ? x 3 ; 当 x ? 0 时, x 2 ? 0 ,而 x 3 ? 0 , ∴ x 2 ? x 3 恒成立,故 x ? 0 .
1 1

1 . 3 综上所述,x 的取值范围是 x ? 1 或 x ? 0 .
当 x ? 0 或 x ? 1 时, x2 ? 以上解法混淆了指数函数和幂函数的概念.指数函数 y ? a x (a ? 0,且a ? 1) 中,自变量 为指数 x,底数 a 为常数;幂函数 y ? x? 中,自变量为底数 x,指数 ? 为常数.我们可以通 过比较下面两组数的大小来加深对它们的理解. ①比较 30.1 与 30.5 的大小;②比较 30.5 与 3.10.5 的大小. 解析:①中两个幂底数相同,则联想指数函数 y ? a x (a ? 0,且a ? 1) ,因为 y ? 3x 是增 函数,所以 30.1 ? 30.5 .②中两个幂指数相同,则联想幂函数 y ? x? ,因为 y ? x0.5 ( x ? 0) 为增 函数,所以 30.5 ? 3.10.5 . 相信通过本篇文章的学习同学们对幂函数又有了新的认识,自己总结一下吧!


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