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平面向量数量积的物理背景及其几何含义-优质课课件


情景引入
F

拉力F做的功W = ?
F

F α
S

分析:
F2
α

F F1

根据力的等效性原理,可以 把计算F做功的问题转化为 分别求F1和F2做功的问题

W1= F1S= F COSαS W2 = 0


W = W1 + W2 W = F SCOSα

情景引入
F

拉力F做的功W = ?
F

F α
S

分析:
F2

W ? F ? S ? cos?
α

F

F1

根据力的等效性原理,可以 把计算F做功的问题转化为 分别求F1和F2做功的问题

W1= F1S= F COSαS W2 = 0

W = W1 + W2 W = F SCOSα

高中数学必修 4

第二章

平面向量

十堰一中 高一数学组

一个概念
向量数量积: 已知两个非零向量 a 与 b ,我们把 数量 | a || b | cos? 叫做 a 与 b

的数量积(或内积),记作


a ?b

a ? b ?| a || b | cos?

向量数量积运算的结果为 数(标) 量 零向量与任一向量的数量积为

0

例题试解
例1

(1)已知 a ? 5, b ? 4, a与b的夹角

? ? 120 ?, 则a ? b ?
(2)上题中的夹角为0?、 ?和180 ?时, 90 结果分别为多少?你能得出什么结论?

(3)向量数量积大于0,则夹角为锐角 , 小于0夹角为钝角,这句话正确吗?

例题试解

(4)已知 a ? 5, b ? 4, a ? b ? 10 2 , 则? ?

(5)若 a ? 5, a与b的夹角为60?, 则a在b方向上的投影为
什么是投影?

数量积的几何意义

a cos? 叫做向量a在b
方向上的投影。

? ? a ? b 等于 b 的长度 | b |与 a在b方向上的投影
| a | cos ? 的乘积。

例题试解

(5)若 a ? 5, a与b的夹角为60?, 则a在b方向上的投影为
(6)若a ? b ? -4, b ? 3, 求a在b方向上 的投影.

自主探究

例2.已知 a ? 6, b ? 4, a与b的夹角为60?, 求 a ? 2b ? a ? 3b .

?

??

?

它能展开吗?

自主探究
数量积的运算律

? ? ? ? ? ? (2)(?a ) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b )

? ? ? ? (1)a ? b ? b ? a

? ? ? ? ? ? ? (3)( a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c

画板演示

例题试解

例2.已知 a ? 6, b ? 4, a与b的夹角为60?, 求 a ? 2b ? a ? 3b .
变式(1) 已知 a ? 6, b ? 4, a ? 2b ? a ? 3b ? ?60,

?

??

?

?

??

?

求a与b的夹角.

课堂小结
物理中的“功”

一个概念

几何意义

三条算律

书本是你最亲密的“老师”,她无时无刻在陪 伴着你,同学们,学会主动学习、自主钻研、 书中的很多知识等着你去开发!

课后作业
P106 1、 2、 3

P108 证明:

A组1、B组1
2 2 2

? ? (2)?a ? b ?? ?a ? b ? ? a

(1) a ? b ? a ? 2a ? b ? b
2

?b

2


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