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圆柱圆锥圆台表面积及体积


1.3 柱体 锥体 台体 表面积与体积
主讲人:王茜

提出问题
? 在过去的学习中,我们已经接触了一些几何体的面 积和体积的求法及公式。比如:正方体、长方体 那么正方体和长方体的表面积和体积我们是怎样求 出来的呢?

? 正方体

S正方体 ? 6 ? S正方形 V正方体 ? S正方形 ? h

? 长方体

S长方体 ? ? S长方形 V长方体 ? Sh

引入新课
? 正方体、长方体是由多个平面围成的几何体, 它们的表面积就是各个面的面积的和。 因此,我们可以把它们展成平面图形,利用平 面图形求面积的方法,求立体图形的表面积。 ? 探究 圆柱、圆锥、圆台都是由多个平面图形围成的 几何体,它们的展开图是什么?如何计算它们 的表面积?

? 那么柱体 锥体 台体的展开图是什么样呢?

圆柱

圆锥

圆台

? 圆柱体展开图
圆柱的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

r l

圆柱的侧面展开图是一个长方形

S柱 ? 2?r 2 ? 2?rl

? 圆锥体展开图
圆锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

l r
圆锥的侧面展开图是一个扇形

S锥 ? ?r 2 ? ?rl

? 圆台的展开图
圆台的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

r

R

圆台的侧面展开图是一个扇环

? 那么应该怎样计算扇环的面积呢?

r l R

S圆台表面积 ? ? (R ? r ? Rl ? rl )
2 2

例题
? 如图,一个圆台形花盆盆口直径20 cm, 盆底直径为15cm,底部渗水圆孔直径 为1.5 cm,盆壁长15cm.那么花盆的 表面积约是多少平方厘米(取3.14,结 果精确到1)? 解:由圆台的表面积公式得 花盆的表面 积: 2 ?? 15 ? 2 15 ? 20 ? 1.5 ? S ? ? ?? ? ? ?15 ? ?15? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? ?? 2 ? ? ? ?
20 15 15

? 999(cm2 )

圆柱体积
? 以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以 及圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一 为: V ? Sh(S为底面面积,h为高)
r l

? 圆柱体积也是: V ? Sh(S为底面面积,h为高)

圆锥体体积

r l
圆锥的体积公式:

R

1 V ? Sh (其中S为底面面积,h为高) 3

? 圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 1

3

圆台体积
上圆锥
整个圆锥 圆台体积
1 V1 ? ?r 2 h 3

h1 r h2 R

1 2 V2 ? ?R (h1 ? h2 ) 3

V ? V2 ? V1
h1 r r ? 1 ? h1 ? 1 h2 代入得 h2 r2 ? r1 r2 ? r1

利用三角形相似关系

1 2 2 V ? ? ( R ? Rr ? r )h2 3

例题
有一堆规格相同的铁制(铁的密度是) 六角螺帽共重5.8kg,已知底面是正 六边形,边长为12mm,内孔直径为 10mm,高为10mm,问这堆螺帽大 约有多少个(取3.14)? 解:六角螺帽的体积是六棱柱的体积 与圆柱体积之差,即:

3 10 2 2 V? ?12 ? 6 ?10 ? 3.14? ( ) ?10 4 2 ? 2.956(cm3 )
(个) 所以螺帽的个数为 5.8 ?1000? (7.8 ? 2.956) ? 252

知识小结
S柱 ? 2?r 2 ? 2?rl ?圆柱
柱体、锥体、台体的表面积

? 圆锥 S锥 ? ?r 2 ? ?rl ? ?圆台 S ? ? (R2 ? r 2 ? Rl ? rl ) ?

柱体、锥体、台体的体积

?圆柱 V ? Sh ? 1 ?圆锥 V ? 3 Sh ?圆台 V ? 1 ? ( R 2 ? Rr ? r 2 )h2 ?
3


柱、锥、台及球的表面积和体积公式

(以正三棱柱、棱锥、棱台为例说明) 问题 2:圆柱圆锥圆台都是旋转体,它们的侧面展开图是什么?如何计算它们的表面积? 问题 3:如何认识柱、锥、台体的高 ?...

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