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高三-三角函数综合复习分类练习题


三角函数 一、复习目标: 1.清楚角与终边、三角函数的定义域、值域、符号、最值、奇偶性、单调性 与周期性. 2.会求简单三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调区间及其周期. 3.会结合三角函数线、三角函数图像的的对称性,解决一些问题. 4.会用三角恒等变换公式化简三角函数式. (1)三角函数同角关系,平方关系的运用中,务必重视“根据已知角的范围和三 角函数的取值,精确确定角的

范围,并进行定号”. (2)三角函数诱导公式的本质是:奇变偶不变,符号看象限. (3)三角函数变换主要是:角、函数名、次数、系数(常值)的变换,其核心是“角 的变换”. (4)角的变形主要有:已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其 倍角的变换、两角与其和差角的变换. (5)会求:sin15o,cos15o,sin75o,cos75o的值. (6)三角式变形主要有:三角函数名互化(切化弦)、三角函数次数的降升(降次、 升次)、运算结构的转化(和式与积式的互化).解题时本着“三看”的基本原则来进 行:“看角、看函数、看特征”,基本的技巧有:角的线性组合,公式变形使用, 化切为弦,用倍角公式将高次降次. 注意: 和(差)角的函数结构与符号特征; 余弦倍角公式的三种形式选用; 降次(升 次)公式中的符号特征.“正余弦三个量 sinx±cosx,sinx· cosx 的内在联系”. 5.清楚三角形中的三角函数. (1)内角和定理:三角形三角和为 π,任意两角和与第三个角总互补,任意两半 角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为 正值?任两角和都是钝角?任意两边的平方和大于第三边的平方. a b c (2)正弦定理:sinA=sinB=sinC=2R(R 为三角形外接圆的半径). 注意:已知三角形两边及一角,若运用正弦定理解三角形,可能有两解. b2+c2-a2 (b+c)2-a2 2 2 2 (3)余弦定理:a =b +c -2bccosA,cosA= 2bc = -1 等,常 2bc

选用余弦定理判定三角形的形状. 1 1 abc (4)面积公式:S=2aha=2absinC= 4R .

基本题型与策略: 基本题型一:三角函数基础知识题,以考查三角函数的基本性质(符号、奇偶性、 单调性、周期性、图像的对称性)为主. 例 1 计算:tan2010° =___________.

例2

若 cosθ>0,且 sin2θ<0,则角 θ 的终边所在象限是___________象限.

例3

5π 2π 2π 设 a=sin 7 ,b=cos 7 ,c=tan 7 ,则 a,b,c 的大小关系是____________ π (1)函数 f(x)=sin(πx-3)-1 的最小正周期为___________;

例4

π π (2)若函数 f(x)=cos(?x-6)(?>0)的最小正周期为5,则?=____________.

高考链接: 例5 π 函数 f(x)=sin(2x-3)-1 在区间[0,π]上的单调增区间为___________; 5.【2012 高考全国文 4】已知 ? 为第二象限角, sin ? ?
3 ,则 sin 2? ? 5

第 1 页 共 1 页

(A) ?

24 25 【答案】B

(B) ?

12 25

(C)

12 25

(D)

24 25

例7

π 1 2π 若 sin(6-α)=3,则 cos( 3 +2α)=___________.

3.【2012 高考山东文 8】函数 y ? 2sin ? ? (A) 2 ? 3 【答案】A (B)0 (C)-1

?x ? ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之和为 3? ? 6

(D) ?1 ? 3 例8

π 函数 f(x)=sin(πx-2)-1 的奇偶性为___________;

16.【2102 高考福建文 8】函数 f(x)=sin(x-

? 4 【答案】C.
A.x=

B.x=

? 2

C.x=-

? 4

? )的图像的一条对称轴是 4 ? D.x=2
?

高考链接:
sin 47? ? sin17? cos 30? 6.【2012 高考重庆文 5】 cos17?

17.【2012 高考天津文科 7】将函数 f(x)=sin ? x (其中 ? >0)的图像向右平移 个
4

单位长度,所得图像经过点( (A) 【答案】D
1 3

3? 4

,0) ,则 ? 的最小值是 C)
5 3

(B)1

(D)2

(A) ?

1 1 3 3 (B) ? (C) (D) 2 2 2 2

【答案】C

23.【2012 高考上海文 3】函数 f ( x) ? 【答案】 ?

sin x 2 的最小正周期是 ?1 cos x

4.【2012 高考全国文 3】若函数 f ( x) ? sin (A)

? 1 12.【2012 高考江西文 9】已知 f ( x) ? sin 2 ( x ? ) 若 a=f(lg5) b ? f (lg ) 则 , 4 5 A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=1
基本题型二:经过简单的三角恒等变形、化简后,求值、研究性质. 例6 计算:tan70ocos10o+ 3sin10otan70o-2cos40o=________________.

? 2 【答案】C

(B)

2? 3

x ?? (? ? [0, 2? ]) 是偶函数,则 ? ? 3 3? 5? (C) (D) 2 3

? ?? 4 ? 18.【2012 高考江苏 11】 分)设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin( 2a ? ) 的 (5 6? 5 12 ?
值为 ▲ .
17 2 50

【答案】

21.【2012 高考全国文 15】当函数 y ? sin x ? 3 cos x(0 ? x ? 2? ) 取得最大值时,

第 2 页 共 2 页

x ? ___________. 5? 【答案】
6

例 12
sin ? ? cos ? 1 ? ,则 tan2α= sin ? ? cos ? 2 4 D. 3

求函数 y=sin4x+2 3sinxcosx-cos4x 的最小正周期和最小值;并写出

该函数在[0,π]上的单调递增区间.

11.【2012 高考江西文 4】若 A. 3 3 B. 4 4 【答案】B

C. -

4 3

高考链接: 10.【2012 高考辽宁文 6】已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ?(0,π ),则 sin 2? = (A) ? 1 【答案】A 11.【2012 高考江西文 4】若 A. 3 3 B. 4 4 【答案】B sin ? ? cos ? 1 ? ,则 tan2α= sin ? ? cos ? 2 4 D. 3

基本题型三:综合考查三角恒等变形和三角函数的基本性质. π 1 例 9 (1)已知 tan(4+α)=2,求 的值. 2sinαcosα+cos2α sin2α-cos α π 1 (2)已知 tan(4+α)=2.(Ⅰ tanα 的值;(Ⅱ )求 )求 的值. 1+cos2α
2

(B) ?

2 2

(C)

2 2

(D) 1

C. -

4 3

例 10

π π 已知 6sin2α+sinαcosα-2cos2α=0,α∈[4,π],求 sin(2α+3)的值. 基本题型四:三角函数的图像变换与解析式. 例 13 π 把函数 y=sinx,x∈R 的图象上所有的点向左平行移动3个单位长度,

例 11 ______.

π π 函数 f(x)=sin2(x+4)-sin2(x-4)的最小正周期是_______,奇偶性是

1 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变),得到的图象所表 示的函数是_____.

例 14

π 将函数 y=sin(2x+3)的图象按向量 a=(m,0)(其中|m|≤π)平移后所得

第 3 页 共 3 页

π 的图象关于点(-12,0)中心对称,则 m=____________.

例 15 若函数 f(x)=sin(ωx+φ)(?>0,0≤φ<2π)的 图象(部分)如图所示,则 ω=_________,φ=_________.

y

【答案】A
x

1
π 2π - O 3 3

高考链接: 1.(12 高考安徽文 7)要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图 象 (A) 向左平移 1 个单位 1 (C) 向左平移 个单位 2 (B) 向右平移 1 个单位 1 (D) 向右平移 个单位 2

基本题型五:三角形中的三角函数与正弦定理、余弦定理的应用. 1 例 16 (1)在 ΔABC 中,“A>30? ”是“sinA>2”的___________条件. (2)在 ΔABC 中,已知 BC=12,A=60o,B=45o,则 AC=___________.

例 17

设△ABC 的内角 A, C 所对的边长分别为 a, c, acosB-bcosA B, b, 且

2.【2012 高考新课标文 9】已知 ω>0, 0 ? ? ? ? ,直线 x ?

?
4

和x?

5? 是函数 4

3 =5c. (Ⅰ)求 tanAcotB 的值;(Ⅱ)求 tan(A-B)的最大值.

f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴,则 φ= π π π 3π (A)4 (B)3 (C)2 (D) 4 【答案】A 7.【2012 高考浙江文 6】把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来 的 2 倍(纵坐标不变) ,然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长 度,得到的图像是

例 18 (08 上海)如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120o 的扇形 AOB,小区的两个出入口设置在点 A 及点 C 处,且小区里 有一条平行于 BO 的小路 CD, 已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了 10 分钟, D 沿 DA 走到 A 用了 6 分钟, 从 若此人步行的速度为每分钟 50 米,求该扇形的半径 OA 的长(精确到 1 米) .

C A D O B

第 4 页 共 4 页

例 19 (07 海南· 宁夏)如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选 与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D. 现测得 CD=s, ?BCD =α,?CDB=β,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 θ,求塔高 AB.
α θ β

14.【2012 高考湖北文 8】设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 若三边的长为连续的三个正整数, A>B>C, 且 3b=20acosA, sinA∶sinB∶sinC 则 为 A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4 【答案】D 15. 【2012 高考广东文 6】 在△ ABC 中, ?A ? 60? , B ? 45? ,BC ? 3 2 , AC ? 若 则 ? 3 A. 4 3 B. 2 3 C. 3 D. 2 【答案】B 19.【2102 高考北京文 11】在△ABC 中,若 a=3,b= 3 ,∠A=

高考链接: 8.【2012 高考上海文 17】在△ ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,则△ ABC 的形 状是( ) B、直角三角形 C、锐角三角形 D、不能确

A、钝角三角形 定

? ,则∠C 的大小 3

为_________。 【答案】 90 ? 20. 【2102 高考福建文 13】 在△ABC 中, 已知∠BAC=60°, ∠ABC=45°, ? 3 , BC 则 AC=_______. 【答案】 2 . 22.【2012 高考重庆文 13】设△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 1 a =1,b=2, C ? ,则 sin B ? cos 4

【答案】A 9. 2012 高考四川文 5】 【 如图, 正方形 ABCD 的边长为 1 , 延长 BA 至 E , AE ? 1 , 使
D C

连接 EC 、 ED 则 sin ?CED ? ( (1)
3 10 10



E

A

B

B、

10 10

C、

5 10

D、

5 15

【答案】

15 4

【答案】B 13.【2012 高考湖南文 8】 在△ABC 中,AC= 7 ,BC=2,B =60°,则 BC 边 上的高等于
3 A. 2 3 3 B. 2

24.【2012 高考陕西文 13】在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对应的长分别为 a,b, c,若 a=2 ,B= 【答案】2.

? ,c=2 3 ,则 b= 6

.

3? 6 C. 2

3 ? 39 D. 4

【答案】B

第 5 页 共 5 页

基本题型六:三角知识与向量、数列、不等式等知识的综合应用. 3 3 1 1 π 例 20 已知向量 a=(cos2x,sin2x),b=(cos2x,-sin2x),且 x∈[0,2]. 3 (Ⅰ a· 及|a+b|;(Ⅱ f(?)=a· )求 b )若 b-2λ|a+b|的最小值是-2,求 λ 的值.

设△ ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c, ,且有
2 sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C 。 (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 b ? 2 , c ? 1 , D 为 BC 的中点,求 AD 的长。

27.【2012 高考山东文 17】(本小题满分 12 分) 在 △ ABC
s i Bn

中 , 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 已 知
t a nA . ) C t a n t a n

(A a n C ? t ?

(Ⅰ)求证: a, b, c 成等比数列; (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ ABC 的面积 S. 28.【2012 高考湖南文 18】 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ? 基本题型七:三角函数性质的一般化. 例 21 已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数, f(2)=0, 且 则方程 f(x) =0 在区间(0,6)内解的个数的最小值是________________.

?
2

的部分图像如图 5 所示.

(Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; ? ? (Ⅱ)求函数 g ( x) ? f ( x ? ) ? f ( x ? ) 的单调递增区间. 12 12

例 22 已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数, f(2)=0, 且 则方程 f(x) =0 在区间(0,6)内解的个数的最小值是________________. 高考链接: 25.【2012 高考浙江文 18】 (本题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边 分别为 a,b,c,且 bsinA= 3 acosB。 (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值. 26.【2012 高考安徽文 16】 (本小题满分 12 分)

29.【2012 高考四川文 18】(本小题满分 12 分) x x x 1 已知函数 f ( x) ? cos 2 ? sin cos ? 。 2 2 2 2 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和值域;

第 6 页 共 6 页

(Ⅱ)若 f (? ) ?

3 2 ,求 sin 2? 的值。 10

(2) 若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c

30.【2012 高考广东文 16】 (本小题满分 12 分)
?x ?? 已知函数 f ( x) ? A cos ? ? ? , x ? R ,且 ?4 6? ?? ? f ? ?? 2 ?3?

(1)求 A 的值;
4 ? 30 2 ? 8 ? ?? ? ? (2)设 ? ? ? ? ?0, ? , f ? 4? ? ? ? ? ? , f ? 4? ? ? ? ? ,求 cos(? ? ? ) 的 3 ? 17 3 ? 5 ? 2? ? ?

34.【2102 高考北京文 15】 (本小题共 13 分) (sin x ? cos x) sin 2 x 已知函数 f ( x) ? 。 sin x (1)求 f (x) 的定义域及最小正周期; (2)求 f (x) 的单调递减区间。

值. 31.【2012 高考辽宁文 17】(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c。角 A,B,C 成等差数列。 (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值。 32.【2012 高考重庆文 19】 (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 7 分) ? 设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )(其中 A ? 0, ? ? 0, ?? ? ? ? ? )在 x ? 处取得最大值 6 ? 2,其图象与轴的相邻两个交点的距离为 (I)求 f ( x) 的解析式; (II)求函 2 数 g ( x) ?
6 cos 4 x ? sin 2 x ? 1 f (x ? ) 6

35.【2012 高考陕西文 17】 (本小题满分 12 分)

? 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ) ? 1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对称 6 ? 轴之间的距离为 , 2
(1)求函数 f ( x) 的解析式;

?

的值域。

? ? (2)设 ? ? (0, ) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值。 2 2

33.【2012 高考新课标文 17】 (本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c = (1) 求 A 3asinC-ccosA 36.【2012 高考江苏 15】 (14 分)在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC .
??? ??? ? ? ??? ??? ? ?

第 7 页 共 7 页

(1)求证: tan B ? 3tan A ;
5 ,求 A 的值. (2)若 cos C ? 5

2.若 y=f(x)的图像经过点

,求函数 f(x)的值域。

37.【2012 高考天津文科 16】 (本小题满分 13 分) 在 △ABC 中, 内角 A, C 所对的分别是 a,b, 已知 a=2.c= 2 ,cosA= B, c。 (I)求 sinC 和 b 的值;
д (II)求 cos(2A+ )的值。 3

2 . 4

39.【2012 高考全国文 17】(本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效) .........
?ABC 中, 内角 A 、B 、C 成等差数列, 其对边 a 、b 、c 满足 2b2 ? 3ac , A 。 求

38.【2012 高考湖北文 18】 (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)= 的图像关于直线 x=π

对称,其中

为常数,且

1.求函数 f(x)的最小正周期;

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