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高中数学学业水平测试单元卷10 (1)


… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

绝密★启用前

学业水平测试单元卷 10

北师版数学
考试范围:必修四;考试时间:90 分钟;命题人:范兆赋 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分

一、选择题本大题共 18 小题,每小题 3 分,共 54 分,在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的

1.已知 A, B, C 三点共线,且 A(3, ?6) , B(?5, 2) ,若 C 点横坐标为 6 ,则 C 点 的纵坐标为( A. ?13 ) . B. 9 C. ?9 D. 13 )

2.已知 tan ? ? 2 ,则 sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2cos2 ? ? ( A、 ?

4 5 3 4 B、 C、 ? D、 3 4 4 5 3. 若 sin(? ? ? )cos? ? cos(? ? ? )sin ? ? m , 且 ? 为第三象限角, 则 cos ? 的值为 ( )
(A) 1 ? m 2 (B) ? 1 ? m 2 (C)

m2 ? 1


(D) ? m 2 ? 1

? ? ? ? 4. sin163 sin 223 ? sin 253 sin 313 ? (

1 A. 2 ?

1 B. 2

?
C.

3 2

3 D. 2


5.设向量 a,b 满足 | a |? 1,| a ? b |? 3, a ? (a ? b) ? 0 ,则 | 2a ? b | =( A.2 B. 2 3 C.4 D. 4 3

6 . 已 知 0? x?

?
2

, s i xn? c ox s?

?
6

, 存 在 a, b, c(a, b, c ? N ) , 使 得
*

(b ? ? c ) t a 2 n x ? a t a xn ? (b ? ? c ) ? 0. 则 a ? b ? c 等于(
A.46 B.76 C.106

) D.110

试卷第 1 页,总 4 页

… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

f ( x) ? 2cos(2 x ? ) 4 ,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 ? (? ? 0) 个单位,使得 7.设函数
到的图 像关于原点对称,则 ? 的最小值为 ( )

?

? A. 8

3? B. 8

? C. 4
1 ? tan

3? D. 4

?

8.若 cos ? ? ?

9.定义运算 ?

?a b ? ?e ? ?ae ? bf ? ?1 2 ? ?4? ?14 ? ?? ? ? ? ,如 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .已知 ? ?? ?? , ?c d ? ? f ? ?ce ? df ? ?0 3? ?5 ? ?15 ?
).

?sin ? cos? ? ?cos ? ? ? ? ? ? ? ,则 ? ??? ? ?( 2 ?cos? sin ? ? ?sin ? ?
A. ? ?

?0? ?0?

B. ? ?

?0? ?1 ?

C. ? ?

?1 ? ?0?

D. ? ?

?1? ?1?

10.角 ? ? ( A.第一象限

3? , ? ) ,则点 P( sin? ? cos ? , cos ? )在坐标平面内所处的象限为( ) 4
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ) D. (

11. sin ? ? cos ? ? tan ? (0 ? ? ? A. (0,

?
2

) ,则 ? 的取值范围是(
C. ( )

?
6

)

B. (

? ?

, ) 6 4

? ?

, ) 4 3

? ?

, ) 3 2

12.函数 y ? sin x 的一个单调增区间是( A. ? ? , ?

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?

B. ? , ?

? ? 3? ? ?? ? ?

C. ? ?, ?

D. ?

? 3? ? , 2? ? ? ? ?

1 lg(1 ? cos A) ? m, lg( ) ? n, 则lgsinA的值为 1 ? cos A 13. 已知 A 为锐角, ( A.m ? 1 n 1 3 1 B. (m ? n) 2 1 1 C. ( m ? ) 2 n 1 1 D. (m ? ) 2 n



14.若 sin? ? ? ,? ? (?

? ?

, ), 则 tan 2? ? 2 2

试卷第 2 页,总 4 页

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

(A) ?

1 2

4 2 ? , ? 是第三象限的角,则 ? 5 1 ? tan 2 1 (B) (C)2 (D) ?2 2

… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

A.

4 2 7

B. ?

4 2 7

C. ?

2 2 9

D.

2 2 9

? ? 0, ? ? ? 15.函数 y ? A sin(?x ? ? ) , ( )在一个周期内的图象如图所示,此函
数的解析式为( )

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

y ? 2 sin(2 x ?
A.

2? ) 3

y ? 2 sin(2 x ?
B.

?
3

)

x ? y ? 2 sin( ? ) 2 3 C.
16.为了得到函数 y ? cos(2 x ?

y ? 2 sin(2 x ?
D.

?
3

)


?
3

) 的图象,可以将函数 y ? sin 2 x 的图象(

A.向右平移

? ? 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 12 6 ? ? 个单位长度 D.向左平移 个单位长度 12 6
4 ? ? ,且 ? ? ( , ? ) ,则 tan( ? ? ) 等于( 5 2 4
B. ?7 C. )

C.向左平移

17.已知 cos ? ? ?

A. ?

1 7

1 7

D. 7

18.已知: cos?

3 ?? ?? ? ? ?5 ? ?? ? ? ,则 sin 2 ? ? ? ? ? cos? ? ? ? ? 的值 ( 3 6? ?6 ? ? ?6 ?
B.



A.

2? 3 3

2? 3 3

C. ?

1 3

D.

2 3

试卷第 3 页,总 4 页

… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分

二、 填空题二、 填空题本大题共 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分, 把答案填在题中的横线上

19.若α 是锐角,且 sin(? ?

?

1 ) ? , 则 cos ? 的值是 6 3



20.已知 ? , ? 都是锐角, sin ? ?

2 1 , cos(? ? ? ) ? , 则 cos ? ? _____. 2 2

?? ?

21. sin(x + y)sin(x-y)-cos(x + y)cos(x-y)化简后的结果是
?? ?

?? ?

AP ? ( x cos? ? y sin ? , x sin ? ? y cos? ) ,叫做把点 B 绕点 A 逆时针方向旋转 ? 角得

到点 P. 设平面内曲线 C 上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转

? 后得到点的轨迹是曲线 4

x 2 ? y 2 ? 2 ,则原来曲线 C 的方程是____
评卷人 得分

三、解答题三、解答题本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

23.若函数 f ( x) ?

3 sin 2 x ? 2 cos2 x ? m 在区间 [0, ] 上的最小值为 3, 2

?

(1)求常数 m 的值; (2)求此函数当 x ? R 时的最大值和最小值,并求相应的 x 的取值集合。

π? π? ? ? 24.已知函数 f (x)= 3 sinω x+ cos ? ? x ? ? ? cos ? ? x ? ? ? 1 (ω >0,x∈R) ,且 3? 3? ? ?
函数 f (x) 的最小正周期为 π . (Ⅰ)求函数 f (x) 的解析式; (Ⅱ) 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 若 f (B)=1, BA ? BC ? 且 a+c=4,试求 b 的值. 25. (本小题满分 12 分)已知空间向量
2

??? ? ??? ?

3 3 , 2

1 ? a ? (sin ? ,?1, cos? ), b ? (1,2 cos? ,1), a ? b ? ,? ? (0, ) 5 2
(1)求 sin 2? 及 sin ? , cos? 的值; (2)设函数 f ( x) ? 5 cos(2 x ? ? ) ? cos 2 x( x ? R), 求f ( x) 的最小正周期及 f ( x) 取得最大值时 x 的值。

试卷第 4 页,总 4 页

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

22. .已知对任意平面向量 AB =(x,y),把 AB 绕其起点沿逆时针方向旋转 ? 角得到向量

… … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …

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参考答案 1.C 【解析】 设 C (6, y ) ,则 AB // AC ,又 AB ? (?8,8) , AC ? (3, y ? 6) , ∴ ?8( y ? 6) ? 3 ? 8 ? 0 ,∴ y ? ?9 . 2.D 【解析】 sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? ?

??? ? ????

??? ?

????

sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ?

?

tan 2 ? ? tan ? ? 2 4 ? 2 ? 2 4 ? ? . 故选 D tan 2 ? ? 1 4 ?1 5

3.B 【解析】 试题分析:∵ sin ?( ? ?

) c ?? os

? c ?o s ?(

? ? ) s i n? ?

s ?? in? [? (

∴ m ?) , ?? ]

sin(

)

又 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1, 且 ? 为第三象限角, ∴ cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? m 2 , si? n ? ?m , 故选 B 考点:本题考查了两角和差公式的运用 点评:熟练掌握两角和差公式及其变形是解决此类问题的关键,属基础题 4.B 【解析】

sin163? sin 223? ? sin 253? sin 313? ? ? sin17? sin 43? ? sin 73? sin 47?

? cos17? cos 43? ? sin17? sin 43? ? cos 60? ?
5.B 【解析】解:

1 ,故选 B 2

| 2 a ? b |? 4 a ? 4 a ? b ? b
? ? ? ?2

?

?

?2

? ?

?2

?| a |? 1,| a ? b |? a ? 2 a ? b ? b ? 3
?

? ?

?2

a ?( a ? b ) ? a ? a ? b ? 0
?2 ? ? ?2

?

?

?2

? ?

? 4 a ? 4 a? b ? b ? 4 ? 4 ? 4 ? 2 3
6.D 【解析】 因为 sin x ? cos x ?

?
6

, 所以 (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ? 2sin x cos x ?
2 2 2

?2
36



则有

sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin x cos x ? 2 ? ? 。因为 0 ? x ? ,所以 cos x ? 0 ,所以两边同除 2 2 sin x ? cos x 36 2

答案第 1 页,总 7 页

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cos x

2





tan 2 x ? 1 ? 2 tan x ? 2 ? tan 2 x ? 1 36















(36 ? ? 2 ) tan 2 x ? 72 tan x ? 36 ? ? 2 ? 0 。 所 以 有 b ? ? c ? 36 ? ? 2 , a ? 72 , 则
a?7 2 b ,?
7.A ,所以 a 3 c6 ? , 2? b ? c ? 110 ,故选 D

f ( x) ? 2cos(2 x ? ) 4 图象变化及性质。 y ? f ( x) 的图像向右平移 【解析】本题考查函数

?

? (? ? 0) 个 单 位 后 , 得 到 的 图 像 关 于 原 点 对 称 , 故 平 移 后 的 函 数 为 奇 函 数 。 由
2? x ?? ? ?
8.A 【解析】

?
4

? k? ?

?
2

? ? ? 2 x, k ? Z 得 最小值为 8 。

4 3 3 cos ? ? ? ? sin ? = ? .? 是第三象象限角所以 sin ? =5 5 5

1 ? tan 故 1 ? tan

? ?
2 ?

1?

sin cos

? ? ?
2 ? 2 sin

? ?
2 2

? cos ? sin

? ?
2 ? (cos

(sin

?

2

1?

sin cos

?
2

2

cos

?
2

2

? sin

?

? cos ) 2 2 2 2 ) ? (sin

?

?

? cos ) 2 2

?

?

1 ? sin ? 1 ?? cos ? 2

9.A 【解析】由运算 ?

?a b ? ?e ? ?ae ? bf ? ??? ? ? ? ?得 ?c d ? ? f ? ?ce ? df ?

?sin ? cos ? ? ?cos ? ? ?sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? ?sin(? ? ? ) ? ?0 ? ?cos ? sin ? ? ? ?sin ? ? ? ?cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ?cos(? ? ? ) ? ? ?0 ? 。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
10.C 【解析】解:因为 ? ? (

3? , ? ) 所以 4

? ? 5? sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ) ?? ? ? (?, ) 4 4 4 ? sin ? ? cos ? ? 0, cos ? ? 0
因此在第三象限。 11.C

答案第 2 页,总 7 页

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【解析】因为 sin ? ? cos ? ? tan ? (0 ? ? ?

?

0 ?? ?

?
2

,得到关于 ? 的取值范围是 (

? ?

? sin ? ,根据 ) ? 2 sin(? ? ) ? tan ? ? 2 4 cos ?

, ) ,选 C. 4 3

12.C 【解析】本题考查三角函数的性质. 先作出函数 y ? sin x 的图象如图 ? A? 所示: 将函数 y ? sin x 的图象位于 x 轴下方的部分对称翻转到 x 轴上方, 则得到函数 y ? sin x 的图 象如图 ? B ? .从图象可知,A、B、D 均错 故正确答案为 C

y y

o

? 2

?

3? 2

x

o

? A?
13.B 【解析】略 14.B 【解析】本题考查同角三角函数关系式,倍角公式. 因 为

? ? 2 ? B?

3? 2

x

1 ? ? s ?i ? ? n ?? ? , 3 2

(所 2

以,

cos )? ? , 1 ? sin 2 ? ?

2 2 ; 3





t

s ?i ? a? n c ? o

n ? s

2 2 tan ? 则 tan 2? ? ;? ? 4 1 ? tan 2 ?

2 ) 4 ? ? 4 2 . 故选 B 7 2 2 1 ? (? ) 4 2 ? (?

15.A 【解析】 考点:由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式. 分析: 根据已知中函数 y=Asin (ω x+? ) 在一个周期内的图象经过 (-

? 5? , 2) 点和 (, 12 12

2),我们易分析出函数的最大值,最小值,周期,然后可以求出 A,ω ,φ 值后,即可得 到函数 y=Asin(ω x+? )的解析式. 解:由已知可得函数 y=Asin(ω x+? )的图象经过(-

? 5? ,2)点和(,2) 12 12

答案第 3 页,总 7 页

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∴A=2,T=π 即 ω =2 则函数的解析式可化为 y=2sin(2x+? ),将(-

? ? +? = +2kπ ,k∈Z, 6 2 2? 即φ = +2kπ ,k∈Z, 3 2? 当 k=0 时,φ = 3 2? 此时 y=2sin(2x+ ) 3
故选 A 16.D 【解析】本题考查函数图像的变换。 解答:因为 y ? cos ? 2 x ?

? ,2)代入得 12

? ?

??

? ?? ? ? ? ? ? ? cos ? 2 x ? ? ? ? sin 2 ? x ? ? 3? 6 2? 12 ? ? ?
? 个单位长度,故选 D。 12

所以可以将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移

17.D 【解析】本题考查同角三角函数关系式 ,两角和与差的三角函数.

4 ? 3 3 ? cos ? ? ? , ? ? ( , ? ),? sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? , 所以 tan ? ? ? ; 则 5 2 5 4

3 1 ? (? ) ? 4 4 ? 7. 故选 D tan( ? ? ) ? ? ? 3 4 1 ? tan tan ? 1? 4 4 tan ? tan ?
18.A 【解析】略 19.( 2 6 -1)/6 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 α 是 锐 角 , 且 有

?

sin(? ?
式 可

?

1 ? ? ? ? ) ? , ? ? ? (? ? ), 则 cos ? ? cos( ? (? ? )) 根据两角和的余弦公 6 3 6 6 6 6


cos( ? (? ? )) ? cos cos(? ? ) ? sin sin(? ? ) , 因 为 6 6 6 6 6 6 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ?( 0 , ? ? ) ?( ? ), ?而 ( s i n? (,? )? ) , 说 明 了 (? ? )? ( 0 , , )故 2 6 6 3 6 3 6 3


?

?

?

?

?

?

? ? 2 2 cos(? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ) ? ,然么代入可知结论为( 2 6 -1)/6 。 6 6 3
答案第 4 页,总 7 页

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考点:本试题主要考查了两角和差的三角函数公式的运用。 点评:解决该试题的关键利用构造角的思想来表示所求的角。 20.

2? 6 4

【解析】 试 题 分 析 : 因 为

?, ?











2 2 1 ? cos ? ? ,? cos(? ? ? ) ? , ? ? ? ? (0, ? ) 2 2 2 ? 3 ?? ? ? ? (0, ) ? sin(? ? ? ) ? 2 2 sin ? ?

cos ? ? cos[( ? ? ? ) ? ? ] ? cos( ? ? ? ) cos ? ? sin( ? ? ? ) sin ?


1 2 3 2 2? 6 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 4
2? 6 4

进而得到结论为

考点:本题主要考查了两角和差的三角函数公式的运用。 点评:解决该试题的关键是构造角的思想,注意已知中角的范围的限制,对于求解函数值的 正负号,有着关键性的作用。 21.-cos 2 x 【解析】略 22.xy=-1 【解析】略 23 . ( 1 ) 因 为 函 数

f ( x) ? 3 sin 2 x ? 2 cos2 x ? m







f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? m ? 1 ,即 f ( x) ? 2 sin(2 x ?

?

?
6

? 2x ?

?
6

?

7? ? 1 ,所以 sin(2 x ? ) ? ? , f ( x) min ? m ,? m ? 3 -----6 分 6 6 2

) ? m ? 1 ,当 x ? [0, ] 时, 6 2

?

x? ( 2 ) 因 为 f ( x) ? 2 s i n2( x ? {x | x ? k? ? x ? {x | x ? k? ?
【解析】略 【答案】

?

? ?
6

6

) ? 4 , 所 以 当 x ? R 时 , 2x ?


?

, k ? z}



f ( x) m a ? 6x ,

2x ?

?
6

6

? 2k? ?

?
2

,即 即

? 2k? ?

?
2



3

, k ? z} 时, f ( x) min ? 2

π? ? 解: (1) f ? x ? ? 3 sin ? x ? cos ? x ? 1 ? 2sin ? ? x ? ? ? 1 ,3 分 6? ?

答案第 5 页,总 7 页

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又 T ? π ,?? ? 2 ,

5分 6分

π? ? ? f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 ; 6? ?

π π π? π? ? ? (2) f ? B ? ? 2sin ? 2 B ? ? ? 1 ? 1,? sin ? 2 B ? ? ? 1 ,? 2 B ? ? 2k? ? , ? k ? Z ? , 6? 6? 6 2 ? ? π π ? k ? Z? ,又 B 是 ?ABC 的内角,? B ? ; 6 6 ??? ? ??? ? 3 3 而 BA ? BC ? ca cos B ? ,? ac ? 3 , 11 分 2 又 a ? c ? 4 ,? a2 ? c2 ? 10 ,
解得 B ? k? ? 9分

?b2 ? c2 ? a 2 ? 2ac cos B ? 10 ? 3 3 .
【解析】略 25. (1)见解析(2)见解析 【解析】 (1)∵ a ? b ?

14 分

1 5

∴ sin ? ? cos? ?

1 ①……………………2 分 5 1 25

∴ 1 ? 2 sin ? cos? ?

∴ sin 2? ?

24 ②……………………4 分 25 4 3 , cos? ? ……………………6 分 5 5

联立①,②解得: sin ? ?

(2) f ( x) ? 5 cos(2 x ? ? ) ? cos 2 x

? 5 cos 2x cos? ? 5 sin 2x sin? ? cos 2x ? 3 cos2x ? 4 sin 2x ? cos2x
? 4(sin 2 x ? cos 2 x)
? 4 2 sin(2 x ?

?
4

) ……………………10 分

∴ f ( x)的最小正周期T ? ? . ……………………11 分 当 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

时, f ( x) max ? 4 2 ,
答案第 6 页,总 7 页

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此时 x ? k? ?

?
8

, (k ? Z )

答案第 7 页,总 7 页


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