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2016届高考数学(文)一轮复习专题课件:第3章+第7讲+正弦定理、余弦定理


第三章 三角函数、解三角形

第7讲

正弦定理、余弦定理

1.正弦定理和余弦定理

定理

正弦定理

余弦定理

内容

a b c = = sin A sinB sin C =2R _______________

___ (R为△ABC外接圆半径)

a2=__________________ ; b2+c2-2bccosA b2=__________________ ; c2+a2-2cacosB a2+b2-2abcosC c2=__________________

定理

正弦定理 2RsinA , a=__________ b=__________ 2RsinB ,

余弦定理

c=__________ 2RsinC ; a , 2R 变形形 sin A=__________ b 式 sin B=__________ , 2 R c sin C=__________ ; 2R
sinA∶sinB∶sinC a∶b∶c=__________________; a+b+c a = = sin A+sin B+sin C sin A

b2+c2-a2 cos A=___________ ; 2bc
c2+a2-b2 2ca cos B=___________ ; a2+b2-c2 cos C=___________ 2ab

2.三角形中常用的面积公式 1 (1)S= ah(h 表示边 a 上的高); 2 1 1 1 absinC acsinB 2 2 (2)S= bcsin A=____________ =______________ ; 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r 为三角形的内切圆半径). 2

[做一做] 1 1.在△ABC 中,a=3,b=5,sin A= ,则 sin B=( B ) 3 1 A. 5 5 C. 3 5 B. 9 D.1

a b 解析:在△ABC 中,由正弦定理 = , sin A sin B 1 5× 3 5 bsin A 得 sin B= = = . a 3 9

2.已知 a、b、c 分别为△ABC 三个内角 A、B、C 的对边, 4 14 若 cos B= , a=10, △ABC 的面积为 42, 则 c=________ . 5
3 1 解析:依题意可得 sin B= ,又 S△ABC= acsin B=42,则 5 2 c=14.

1.辨明两个易误点 (1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角 求另一边的对角,进而求出其他的边和角时,有时可能出 现一解、两解或无解,所以要注意分类讨论. (2)在判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式, 应移项提取公因式,以免漏解.

2.三角形解的判断

A为锐角

A为钝角或 直角

图形

关系 式
解的 个数

a=bsin A 一解

bsin A<a<b 两解

a≥b 一解

a>b 一解

[做一做] 3.在△ABC 中,若 a=18,b=24,A=45°,则此三角形 ( B ) A.无解 C.有一解 B.有两解 D.解的个数不确定

a b 解析:.∵ = , sin A sin B b 24 2 2 ∴sin B= sin A= sin 45°,∴sin B= . a 18 3 又∵a<b,∴B 有两个.

4.(2014· 高考福建卷)在△ABC 中,A=60°,AC=2,BC

1 = 3,则 AB 等于________ .
解析:∵A=60°,AC=2,BC= 3,设 AB=x,由余弦 定理,得 BC2=AC2+AB2-2AC· ABcos A,化简得 x2-2x +1=0,∴x=1,即 AB=1.

考点一 考点二 考点三

利用正、余弦定理解三角形(高频考点) 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 与三角形面积有关的问题

考点一 利用正、余弦定理解三角形(高频考点)
利用正、余弦定理解三角形是高考的热点,三种题型在高 考中时有出现,其试题为中档题.高考对正、余弦定理的 考查有以下三个命题角度: (1)由已知求边和角; (2)解三角形与三角函数性质结合; (3)解三角形与三角恒等变换结合.

(1)(2014· 高考北京卷)在△ABC 中,a=1,b=2,

15 1 2 cos C= ,则 c=________ ; sin A=________ . 8 4
a2+b2-c2 [解析] (1)在△ABC 中, 由余弦定理得 cos C= , 2ab 1 把 a=1,b=2,cos C= 代入可得 c=2. 4 1 15 2 因为 cos C= ,所以 sin C= 1-cos C= . 4 4 a c 15 再由正弦定理得 = ,解得 sin A= . sin A sin C 8

(2)(2014· 高考江苏卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的 长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,A=2B. π? ? ①求 a 的值;②求 sin?A+4?的值.

解:①因为 A=2B,所以 sin A=sin 2B=2sin Bcos B. a2+c2-b2 由正、余弦定理得 a=2b· . 2ac 因为 b=3,c=1,所以 a2=12,a=2 3.

b2+c2-a2 9+1-12 1 ②由余弦定理得 cos A= = =- . 2bc 6 3 由于 0<A<π ,所以 sin A= 1-cos A=
2

1 2 2 1- = . 9 3

π? π π 2 2 2 ? 1? ? 故 sin?A+4?=sin Acos +cos Asin = × +?-3? 4 4 3 2 2 4- 2 × = . 2 6

[规律方法] 在解有关三角形的题目时, 要有意识地考虑用 哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓住能够利用 某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边 的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦 或边的一次式,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时, 则要考虑两个定理都有可能用到.

1.(1)(2015· 四川成都模拟 ) 若△ABC 的内角 A,B,C 满足 6sin A=4sin B=3sin C,则 cos B=( D ) 15 A. 4 3 15 C. 16 3 B. 4 11 D. 16

(2)如图所示,△ABC 中,已知点 D 在边 BC 上,AD⊥AC, 2 2 sin ∠ BAC = , AB = 3 2 , AD = 3 , 则 BD 的 长为 3 3 ________ .

sin A sin B sin C 解析:(1)6sin A=4sin B=3sin C,即 = = , 2 3 4 a b c 由正弦定理得 = = ,可设 a=2k,b=3k,c=4k,由余 2 3 4 a2+c2-b2 11 弦定理得 cos B= = . 2ac 16 π? 2 2 ? (2)∵sin ∠BAC=sin ∠BAD+ =cos ∠BAD= , 3 2? ?
AB2+AD2-BD2 ∴根据余弦定理可得 cos ∠BAD= = 2AB·AD (3 2)2+32-BD2 2 2 = ,∴BD= 3. 3 2×3 2×3

(3)在锐角三角形 ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,且满足 3a-2bsin A=0. ①求角 B 的大小; → → ②若 a+c=5,且 a>c,b= 7,求AB·AC的值.

解:①因为 3a-2bsin A=0, 所以 3sin A-2sin Bsin A=0. 因为 sin A≠0,所以 sin B= π 又 B 为锐角,则 B= . 3 3 . 2

π ②由①可知,B= ,因为 b= 7, 3 π 根据余弦定理得 7=a +c -2accos , 3
2 2

整理得(a+c)2-3ac=7. 由已知 a+c=5,则 ac=6. 又 a>c,可得 a=3,c=2. b2+c2-a2 7+4-9 7 于是 cos A= = = , 2bc 14 4 7 7 → → → → 所以AB·AC=|AB|·|AC|cos A=cbcos A=2× 7× =1. 14

考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对 边,且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. (1)求角 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状. [解] (1)由题意知,
根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c, 即 a2=b2+c2+bc.① 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A, 1 故 cos A=- ,A=120°. 2

(2)由①得 sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C. 1 又 sin B+sin C=1,故 sin B=sin C= . 2 因为 0°<B<90°,0°<C<90°,故 B=C. 所以△ABC 是等腰钝角三角形.

本例的条件变为 2asin A=(2b-c)sin B+ (2c-b)sin C. 且 sin B+sin C= 3, 试判断△ABC 的形状.
解:∵2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C, 得 2a2=(2b-c)b+(2c-b)c, 即 bc=b2+c2-a2, b2+c2-a2 1 ∴cos A= = , 2bc 2 ∴A=60°. ∵A+B+C=180°,

∴B+C=180°-60°=120°. 由 sin B+sin C= 3, 得 sin B+sin(120°-B)= 3, ∴sin B+sin 120°cos B-cos 120°sin B= 3. 3 3 ∴ sin B+ cos B= 3, 2 2 ∴B+30°=90°, 即 B=60°. ∴A=B=C=60°, ∴△ABC 为正三角形. 即 sin(B+30°)=1.

又∵0°<B<120°,30°<B+30°<150°,

[规律方法] 判断三角形的形状,主要有如下两种途径: (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式 分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状; (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的 关系,通过三角函数恒等变换,得出内角的关系,从而判 断出三角形的形状,此时要注意应用 A+B+C=π 这个结 论,在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式, 应移项提取公因式,以免漏解.

c-b 2.(1)在△ABC 中,sin = (a,b,c 分别 2 2c 直角三角形 为角 A,B,C 的对边),则△ABC 的形状为______________.
2A

(2)在△ABC 中,若 b=asin C,c=acos B,则△ABC 的形

等腰直角三角形 状为______________________ .
c-b 解析:(1)∵sin = , 2 2c
2A

1-cos A c-b b ∴ = ,∴cos A= . c 2 2c
2 2 2 b b +c -a 由余弦定理 = , c 2bc

∴a2+b2=c2,∴△ABC 为直角三角形.

b sin B (2)由 b=asin C 可知 =sin C= ,由 c=acos B 可知 c a sin A a2+c2-b2 =a· ,整理得 b2+c2=a2,即三角形一定是直角 2ac 三角形,A=90°,∴sin C=sin B,∴B=C,即 b=c. 故△ABC 为等腰直角三角形.

考点三

与三角形面积有关的问题
△ABC 的三角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 满

足(2b-c)cos A=acos C. (1)求 A 的值; (2)若 a=2,求△ABC 面积的最大值.
[解] (1)由余弦定理得: b2+c2-a2 a2+b2-c2 2bcos A=c· +a· =b, 2bc 2ab 1 π ∴cos A= ,由 0<A<π,得 A= . 2 3

(2)∵a=2,由余弦定理得: 4=b2+c2-2bccos π =b2+c2-bc≥2bc-bc=bc. 3

∴bc≤4,当且仅当 b=c 时取等号, 1 1 3 3 ∴S△ABC= bcsin A= bc· ≤ · 4= 3. 2 2 2 4 即当 b=c=a=2 时,△ ABC 面积的最大值为 3.

[规律方法] 与三角形面积有关问题的解题策略: 1 1 (1)求三角形的面积.对于面积公式 S= absin C= acsin B 2 2 1 = bcsin A,一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式. 2 (2)已知三角形的面积解三角形. 与面积有关的问题, 一般 要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化. (3)求有关三角形面积或周长的最值 (范围)问题,一般转化 为一个角的一个三角函数,利用三角函数的有界性求解, 或利用余弦定理转化为边的关系, 再应用基本不等式求解.

3.(2015· 洛阳市统考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,cos 2C+2 2cos C+2=0. (1)求角 C 的大小; 2 (2)若 b= 2a, △ABC 的面积为 sin Asin B, 求 sin A 及 c 2 的值.

解:(1)∵cos 2C+2 2cos C+2=0, ∴2cos2C+2 2cos C+1=0, 2 即( 2cos C+1) =0,∴cos C=- . 2
2

3π 又 C∈(0,π ),∴C= . 4

(2)∵c2=a2+b2-2abcos C=3a2+2a2=5a2, 1 10 ∴c= 5a,即 sin C= 5sin A,∴sin A= sin C= . 10 5 1 2 ∵S△ABC= absin C,且 S△ABC= sin Asin B, 2 2 1 2 ∴ absin C= sin Asin B, 2 2
2 c ab ? ? sin C= 2, ∴ sin C= 2, 由正弦定理得: ?sin C? sin Asin B

解得 c=1.

交汇创新——解三角形与数列的交汇
(2014· 高考陕西卷)△ABC 的内角 A, B, C 所对的 边分别为 a,b,c. (1)若 a,b,c 成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C); (2)若 a,b,c 成等比数列,求 cos B 的最小值.
[解] (1)证明:∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b. 由正弦定理得 sin A+sin C=2sin B. ∵sin B=sin[π -(A+C)]=sin(A+C), ∴sin A+sin C=2sin(A+C).

(2)∵a,b,c 成等比数列,∴b2=ac. 由余弦定理得 a2+c2-b2 a2+c2-ac 2ac-ac 1 cos B= = ≥ = , 2ac 2ac 2ac 2 当且仅当 a=c 时等号成立. 1 ∴cos B 的最小值为 . 2

[名师点评] 本题是解三角形问题和数列的交汇, 其解题思 路是由数列问题转化为边角的等式关系,再利用正、余弦 定理即可求解.本题体现了新课标卷的设计理念和意图, 在命题上追求知识间的交汇,有时也与不等式、直线、圆 等知识交汇命题,注重考查知识应用能力.

1.(2015· 河北冀州中学期中)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,点(a,b)在直线 x(sin A -sin B)+ysin B=csin C 上,则角 C 的值为( B ) π A. 6 π B. 3

π 5π C. D. 4 6 解析:因为点(a,b)在直线 x(sin A-sin B)+ysin B=csin C
上,所以 a(sin A-sin B)+bsin B=csin C,由正弦定理得 1 a -ab+b =c ,又 c =a +b -2abcos C,故 cos C= , 2
2 2 2 2 2 2

π 所以 C= . 3

2.(2014· 高考江苏卷)若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B

6- 2 4 =2sin C,则 cos C 的最小值是___________ .
解析: 由 sinA+ 2sinB=2sin C,结合正弦定理得 a+ 2b=2c.
2 ( a + 2 b ) 2 2 a + b - 2 2 2 4 a +b -c 由余弦定理得 cos C = = = 2ab 2ab

2ab 3 2 1 2 a+ b- 2 4 2 2 ≥ 2ab 6- 2 的最小值为 . 4

?3a2??1b2?- 2ab ?4 ??2 ? 2
2ab

6- 2 = ,故 cos C 4

本部分内容讲解结束
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