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等差数列前n项和


等差数列前 n 项和
一.基础知识
1.等差数列 {an } 前 n 项和公式为 S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d ,公式用首项 a1 、公差 d 表示为 S n ? na1 ? 2 2

2.在等差数列的通项公式与前 n 项和公式中,含有 a 1 , d , n , a n , S n 五个量

,只要已知其中的三个量, 就可以求出余下的两个量.即“知三求二” 。 3.在等差数列 {an } 中,前 n 项和设为 Sn ,则 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m 依次成等差数列. 4 .等差数列 {an } 的通项公式 an ? a1 ? ( n ?1) d 是关于 n 的一次函数 an ? pn? q的形式;前 n 项和公式

Sn ? na1 ?

n(n ? 1) d 是关于 n 的二次函数 Sn ? An2 ? Bn 的形式.对于前 n 项和 Tn ? An2 ? Bn ? C的数列 2

{bn } ,当且仅当 C ? 0 ,数列 {bn } 为等差数列.
5.设 {an } 、 {bn } 是两个等差数列,它们的前 n 项和分别为 An 、 Bn ,则 6.记等差数列 {an } 的前偶数项和为 S偶 ,数列前奇数项和为 S奇 . 当项数为 2 n 时,则有 S偶 ? S奇 ? nd 当项数为 2n ? 1 时,则有 S奇 ? S偶 ? an

A2 n ?1 an ? . B2 n ?1 bn

二.典型例题
例 1.在等差数列 {an } 中, (1)已知 a1 ? 3 , a50 ? 101 ,求 S 50 ;

(2)已知 a1 ? 3 , d ?

1 ,求 S10 ; 2

(3)已知 d ?

1 3 15 , a n ? , S n ? ? ,求 a 1 及 n 。 2 2 2

例 2. (1)设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 A、 1 B、 ? 1 C 、2

a5 5 S ? ,则 9 ? ( a3 9 S5
D、



1 2

(2)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? a2 ? a 3 ? 12 , an ?2 ? an ?1 ? an ? 210 , Sn ? 925 ,求 n 的值.

三.随堂练习
1.已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15 ,偶数项之和为 30 ,则其公差为( A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 ) )

2.已知等差数列{an}满足 a2+a4=4,a3+a5=10,则数列{an}的前 10 项和 S10=( A.138 C.95 B.135 D.23 )

3.已知{an}是等差数列,a10=10,前 10 项和 S10=70,则公差 d=( 2 A.- 3 1 C. 3 1 B.- 3 2 D. 3

4.等差数列 {an } 中, a1 ? a2 ? a3 ? ?24, a18 ? a19 ? a20 ? 78 ,则此数列前 20 项和等于( A.160 B.180 C.200 D.220



5.等差数列 ?an ? 的前 m 项的和为 30 ,前 2 m 项的和为 100 ,则它的前 3m 项的和为( A. 130 B. 170 C. 210 D. 260

)

6.已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 An 和 Bn ,且

An 5n ? 3 ? ,则这两个数列的第九项之比 Bn 2n ? 1

a9 ? b9



7.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 9n ? 1 ? c ,若 ?an ? 是等差数列,则 c ? 8.等差数列 ?an ? 中, S n 是前 n 项的和,若 S 5 ? 20 ,则 a2 ? a3 ? a4 ? A、15 B 、18 C 、9 D 、12 ) 9.数列 {an } 是等差数列, S10 ? 0, S11 ? 0 ,则使 an ? 0 的最小的 n 的值是(

. ( )

A、 5

B、 6

C 、7

D、 8

10.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S4 ? ?62 , S6 ? ?75 , (1)求 an 和 Sn ; (2)求 a1 ? a2 ? a3 ????? a14 ; (3)求 a1 ? a2 ? a3 ????? an .

11. (1)在等差数列 {an } 中, a4 ? ?15 ,公差 d ? 3 ,求数列 {an } 的前 n 项和为 Sn 的最小值. (2)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 S3 ? S12 , 则当公差 d ? 0 时, Sn 有最 值 ;当公差 d ? 0 时, Sn 有最 值 . .

(3)等差数列 {an } 中,公差 d ? 0 , 3a8 ? 5a13 ,则前 n 项和 Sn 取最大值时, n 的值为___

12.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a3 ? 12 , S12 ? 0 , S13 ? 0 . (1)求公差 d 的取值范围; (2)指出 S1 , S2 , S3 , ???, S12 中哪一个最大,并说明理由.


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