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高二数学(不等式的性质)


高二数学辅导——不等式的性质 (10 月 28 上午,202, 用) 205
一、对性质的熟悉,哪些有,哪些没有,哪些可以有,条条会证明。 哪些有:课本上共四条: (1)对称性: a ? b ? b ? a , a ? b ? b ? a (2)传递性: a ? b, b ? c ? , a ? c (3)可加性: a ? b ? . a ? c ? b ? c 推论

1:移项法则: a ? b ? c ? a ? c ? b 推论 2:同向不等式可加.

a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d

(4)可乘性: a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc 推论 1:同向(正)可乘: a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd 推论 2:可乘方(正): a ? b ? 0 ? a n ? b n ` 推论 3: a ? b ? 0 ?
n

(n ? N ? , n ? 2)

a?nb

(n ? N ? , n ? 2)

这些真没有: a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d 、

a ? b, c ? d ? ac ? bd



a?b?

1 1 ? a b

这条可以有:倒数法则: a ? b ? 0或a ? b ? 0 ?

1 1 ? . a b

二、 性质中的典型问题
第一种、擦边题,易错

1、下列命题中正确的是???????????????????? ( (A) 若a ? b, 则a2 ? b2 (C) 若a ? b , 则a2 ? b2 2、设 (B) 若a2 ? b2 , 则a ? b (D) 若 a ? b, 则a2 ? b2

)

1 1 ? ? 0 ,则 ?????????????????????( a b



(A) a 2 ? b 2

(B) a ? b ? 2 ab

(C) ab ? b2

(D) a2 ? b2 ? a ? b )

3、若 a ? b ? c, a ? b ? c ? 0 ,则有????????????????? (

1

(A) ab ? ac

(B) ac ? bc

(C) ab ? bc

(D)以上皆错 )

4、若 ac ? bd , a ? b ? 0 , ??????????????????( (A) c ? d ? 0 (B) c ? d (C) c ? d
1 1 ? 等价的条件是 a b

(D)c、d 大小不确定
[ ] D. a b ? ab ? 0
2 2

5、如果 a , b 为非 0 实数,则与不等式 A. a ? b且ab ? 0

B. a ? b且ab ? 0

C. a ? b且ab ? 0

6、若 a, b ? R ,给出下列条件:(1) a ? b ? 1 ,(2) a ? b ? 2 ,(3) a ? b ? 2 , (4) a ? b ? 2 ,(5) ab ? 1 ,其中能推出“ a , b 中至少有一个数大于 1”的条件是___.
2 2

7、已知“ a ? b, a ?

1 1 ? b ? ”同时成立,则 ab 应满足的条件是_______. a b

第二种,严格使用性质才能解决的问题 1、若 ?

?
2

?? ? ? ?

?
3

,则 ? ? ? 的取值范围是

2、已知 12 ? m ? 60 , 15 ? n ? 36 ,则

m 的取值范围是_________________. n

2、已知函数 f ( x) ? ax 2 ? c , -4≤ f (1) ≤-1, -1≤ f (2)≤5, 求 f (3) 的取值范围

王新敞
奎屯

新疆

点评:应当注意,下面的解法是错误的: 依题意,得: ?

?? 4 ? a ? c ? ?1 ?? 1 ? 4a ? c ? 5

(1) (2)

由(1) (2)利用不等式的性质进行加减消元,得 0≤a≤3, 1≤c≤7 (3) 所以,由 f (3) ? 9a ? c 可得,-7≤ f (3)≤27
王新敞
奎屯 新疆

以上解法其错因在于,由(1) (2)得到不等式(3)是利用了不等式性质中的加法法则, 而此性质是单向的,不具有可逆性,即(3)与(1)和(2)不等价。从而使得 a、c 的范围 扩大,这样 f (3)的范围也就随之扩大了 练习:高考题选 1、 (2011 全国大纲理 3)下面四个条件中,使推出 a> b 成立,但不能由 a> b 推出的是 A. a>b ? 1 B. a>b ? 1
2 2 C. a >b
王新敞
奎屯 新疆

D. a >b
3

3

2

2、 (2012 湖南文)设 a>b>1, c ? 0 ,给出下列三个结论: ①

c c > a b

;② a < b

c

c

; ③ logb (a ? c) ? log a (b ? c) , A.① B.① ② C.② ③ D.① ②③

其中所有的正确结论的序号是 __

3、 (2012 四川文)设 a , b 为正实数,现有下列命题: ①若 a ? b ? 1,则 a ? b ? 1 ;
2 2

②若

1 1 ? ? 1 ,则 a ? b ? 1 ; b a

③若 | a ? b |? 1 ,则 | a ? b |? 1 ;

④若 | a3 ? b3 |? 1 ,则 | a ? b |? 1 。

其中的真命题有____________。 (写出所有真命题的编号) 4、 (2010 江苏卷)设实数 x,y 满足 3≤ xy 2 ≤8,4≤

x2 x3 ≤9,则 4 的最大值是 y y




第三种 利用性质比较大小 1、比较下列各题中两数的大小: 1 (1) m ? log a (1 ? a), n ? log a (1 ? ) ,则 m _______ n。 a (2) a ? n ? 1 ? n 与 b ? n ? n ? 1 ,则 a ____b。

2、已知 a ? 0, a 2 ? 2ab ? c 2 ? 0, bc ? a 2 ,试比较 a、b、c 的大小。

三、比较法的两种表现形式
1、已知 a> 2 ,比较 b ?
a?2 与 2 的大小. a ?1

2、已知 a, b, m 都是正数,求证:若 a ? b ,则

a a?m a a?m ? ;若 a ? b ,则 ? , b b?m b b?m

3、设 x>0,y>0 且 x≠y. 比较

x y x2 y2 的大小 ? 2与 ? 2 y x y x

3

4、 (2011 安徽理 19) (Ⅰ)设 x ? 1, y ? 1, 证明

x? y?

1 1 1 ? ? ? xy; xy x y ,

(Ⅱ) 1 ? a ? b ? c ,证明 loga b ? logb c ? logc a ? logb a ? logc b ? loga c .

5、在等差数列 ?an ? 和等比数列 ?bn ? 中, a1 下面两组数的大小. (1)

? b1 ? 0, a3 ? b3 ? 0, a1 ? a3 .试比较

a2与b2 .(2) a5与b5 .

? 6、 已知 a, b, m, n ? R , m ? n ? 1 , 且 则 ma ? nb 和 m a ? n b 的大小关系是_______.

7、已知 a ? 2, b ? 2 ,试比较 a ? b与ab 的大小______________。

8、若

a ? 0, b ? 0且a ? b .
18

求证:

a a ? bb ? a b ? b a .
(2)比较 10
8

9、 (1)比较 16

与1816 的大小。

与810 的大小

四、开阔眼界,了解一些不等式的证明方法
1、证明当 k 是大于 1 的整数时, s

? 1?

1 1 1 1 ? k ? k ? ?? ? k ? ?? ? 2 . k 2 3 4 n

2、求证: 7 ? 6 ? 3 ? 2

3、已知 | a |? 1,| b |? 1|,求证:

a?b ?1 1 ? ab

3、已知 a、b、c 都是正数,求证: a ? ab ? b + b ? bc ? c > a ? ac ? c
2 2 2 2 2

2

4


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