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圆柱圆锥圆台体积和表面积


柱体、锥体、台体的表面积与体积求解

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课前自主预习

第一章 空间几何体

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第一章 空间几何体

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第一章 空间几何体

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2.柱体的体积 (1)棱柱(圆柱)的高是指
两底面

之间的距离,即从一底面上任

意一点向另一个底面作垂线, 这点与垂足(垂线与底面的交点)之间 的距离.
Sh (2)柱体的底面积为 S,高为 h,其体积 V= .特别地,圆柱的

πr2h . 底面半径为 r,高为 h,其体积 V=

第一章 空间几何体

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3.锥体的体积 (1)棱锥(圆锥)的高是指从顶点向底面作垂线,顶点 垂足 与 (垂线与底面的交点)之间的距离.

1 (2)锥体的底面积为 S,高为 h,其体积 V= 3Sh .特别地,

1 2 πr h 圆锥的底面半径为 r,高为 h,其体积 V= 3 .

第一章 空间几何体

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4.台体的体积 (1)圆台(棱台)的高是指 两个底面 之间的距离. (2)台体的上、下底面面积分别为 S′,S,高为 h,其体积

1 V= 3(S+ SS′+S′)h.特别地,圆台的上、下底面半径分别 1 2 π(r +rr′+r′2)h 为 r,r′,高为 h,其体积 V= 3

.

第一章 空间几何体

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基础练习
1.正方体的全面积为 a ,则它的体积为
[解析] 设棱长为 x,则 6x2=a2, 6 6 3 3 ∴x= 6 a,V=x = 36 a .
2.长方体的长、宽分别为 4、3,体积为 24,则它的最 小的一个面的面积为 6 .
2

.

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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3.已知有一个圆柱形水缸,其中底面半径为 0.5m,里面水高 度为 0.8m, 现在有一个不规则几何体放进水缸, 水面上升到 1.2m, 则此不规则几何体体积约为(精确到 0.1,π 取 3.14)( A.0.4m3 C.0.3m3 B.0.2m3 D.0.8m3 )

[答案] C

[解析] V=π×0.5 ×(1.2-0.8)=0.3(m )

2

3

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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4 、十棱柱的底面积为 3,高为 2 3 ,则其体积等于 ________.
[解析]

[答案] 6
V=Sh= 3×2 3=6.

5、已知圆锥 SO 的底面半径 r=2,高为 4,则其体积等于 ________.
16 [答案] 3 π 1 2 1 16 2 [解析] V= πr h= π×2 ×4= π. 3 3 3

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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5、棱台的上、下底面面积分别是 2,4,高为 3,则棱台的 体积是( ) B.6+2 2 D.18

A.18+6 2 C.24

[答案] B

[解析]

1 体积 V=3(2+ 2×4+4)×3=6+2 2.

6、圆台 OO′的上、下底面半径分别为 1 和 2,高为 6, 则其体积等于________.

[答案]

14π

1 [解析] V=3π×(12+1×2+22)×6=14π.

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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例题解析
命题方向 多面体与旋转体的面积

【例1】圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm,它的侧 面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台的表面积是多少?

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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第一章

1.3

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命题方向

多面体的体积

[例 2] 长方体相邻三个面的面积分别为 2、3、6 求它的 体积.
[解析] ?ab=6 ? ?ac=3 ?bc=2 ? 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c则有

,∴a2b2c2=36 ∴abc=6

又V=abc=6 ∴体积为6.

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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一个三棱柱上下底面都是正三角形且侧棱与底面垂直, 已知它的侧面积为54cm2,体积为45 3cm3,求棱柱的高及底 面边长. [分析]用棱柱的高与底面边长表示出侧面积与体积,解 方程组即可.

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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[解析]

设正三棱柱的底面边长为a,高为h,如下图,则 ②.由①②组成的方程组得

3 2 有:3ah=54 ①, 4 a h=45 3

9 9 a=10,h=5,所以棱柱的高为5cm,底面边长为10cm.

第一章

1.3

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命题方向

旋转体的体积

[例 3] 如图是一个底面直径为 20cm 的装有一部分水的 圆柱形玻璃杯,水中放着一个底面直径为 6cm,高为 20cm 的圆锥形铅锤(水面高过铅锤),当铅锤从水中取出后,杯里 的水将下降多少?

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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[解析]

1 6 2 因为圆锥形铅锤的体积为 ×π×( ) ×20= 3 2

60π(cm3),设水面下降 高度为xcm,则下降的小圆柱的体积为
?20? π? 2 ?2x=100πx. ? ?

所以有60π=100πx,解此方程得x=0.6. 故杯里的水下降了0.6cm.

第一章

1.3

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已知三角形ABC的边长分别是AC=3,BC=4,AB=5, 以AB所在直线为轴,将此三角形旋转一周,求所得几何体的 体积.

第一章

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[解析]

∵△ABC为直角三角形,且AB为斜边,∴绕AB

边旋转一周,所得几何体为两个同底的圆锥,且圆锥的底面 12 半径r= 5 . 1 ∴V锥=3· AB·πr2
?12? 1 = ×5×π×? 5 ?2 3 ? ?

48 = 5 π.

第一章

1.3

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[例 4]

(2011· 天津高考)一个几何体的三视图如下图(单

位:m),则该几何体的体积为________m3.

[答案]

(6+π)

第一章

1.3

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[解析]

此几何体是由一个长为3,宽为2,高为1的长方

体与底面直径为2,高为3的圆锥组合而成的,故V=V长方体+V圆 π 2 3 锥=3×2×1+ ×1 ×3=(6+π)m . 3

第一章

1.3

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(2010· 陕西高考)若某空间几何体的三视图如图所示,则 该几何体的体积是( )

[答案] C

1 A.3

2 B.3

C.1

D.2

第一章

1.3

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命题方向
[例 5]

割补法求体积

三棱台 ABC-A1B1C1 中,AB:A1B1=1:2,则三棱 )

锥 A1-ABC,B-A1B1C,C-A1B1C1 的体积之比为( A.1:1:1 C.1:2:4 B.1:1:2 D.1:4:4

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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[分析]

如图,三棱锥B-A1B1C可看作棱台减去两个三棱

锥A1-ABC和C-A1B1C1后剩余的几何体,分别求几何体的体 积,然后相比即可.

第一章

1.3

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[解析]

第一章

1.3

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三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面积之比为4:9.连接 A1B、BC1和AC1,把棱台分为三个棱锥B-A1B1C1,C1- ABC,A1-ABC1.则这三个棱锥体积之比为________.

[答案] 4:9:6

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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[解析]

如图,设三棱锥B-A1B1C1,C1-ABC,A1-

ABC1体积分别为V1、V2、V3,又设棱台的高为h,上、下底面 积分别为S1、S2.依题意,得

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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1 Sh V1 3 1 S1 4 4 = = = ?V1= V2. V2 1 S2 9 9 3S2h 1 又V棱台=3h(S1+ S1S2+S2) 1 ?4 = h? S2+ 3 ?9 ?
? 19 1 19 4 2 ? S +S = ·S h= 9 V2, 9 2 2? 9 3 2 ?

所以V3=V棱台-(V1+V2)
?4 ? 2 19 = 9 V2-?9V2+V2?=3V2, ? ?

故V1:V2:V3=4:9:6.
第一章 1.3 1.3.1 第2课时

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课堂达标
1.长方体同一顶点上的三条棱长分别为1、2、3,则长 方体的体积与表面积分别为( A.6,22 C.6,11 B.3,22 D.3,11 )

[答案] A

第一章

1.3

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2.已知圆台OO′的上、下底面半径分别为2和4,高为 9,则圆台OO′的体积是( A.84π C.54π B.60π D.40π )

[答案] A
1 2 V=3π(2 +2×4+42)×9=84π.

[解析]

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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1 3.圆锥的高扩大为原来的n倍,底面半径缩小为原来的 n 倍,那么它的体积变为原来的( A.1倍 C.n 倍
2

)

B.n倍 1 D.n倍

[答案] D

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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[解析]

1 2 由锥体的体积公式V= 3 πr h,可知锥体的体积与

高成正比,与底面半径的平方成正比.

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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4.已知高为3的棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正 三角形(如图),则三棱锥B1-ABC的体积为( 1 A. 4 3 C. 6 1 B. 2 3 D. 4 )

[答案] D

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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[解析] 3 ×1 = 4 ,
2

3 三棱锥B1-ABC的高h=3,底面积S=S△ABC= 4

1 1 3 3 则VB1-ABC=3Sh=3× 4 ×3= 4 .

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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5.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那 么圆柱与圆锥的体积之比为( A.1 3 C. 2 1 B. 2 3 D. 4 )

[答案] D

第一章

1.3

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[解析]

设圆柱底面半径为R,圆锥底面半径r,高都为

h,由已知得2Rh=rh,∴r=2R, 1 2 V柱:V锥=πR h: πr h=3:4,故选D. 3
2

第一章

1.3

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6.(2012· 全国新课标(文))如图,网格上小正方形的边长 为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则几何体的体积为 ( ) A.6 B.9 C.12 D.18

[答案] B

第一章

1.3

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[解析]

由三视图知,其对应几何体为三棱锥,其底面为

1 1 一边长为6,这边上高为3,棱锥的高为3,故其体积为 × 3 2 ×6×3×3=9,故选B.

第一章

1.3

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7.(2012· 上海高考数学试题(理科))若一个圆锥的侧面展 开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为________.

[答案]

3π 3

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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[解析]

根据该圆锥的底面圆的半径为r,母线长为l,根

1 2 据条件得到 πl =2π,解得母线长l=2,2πr=πl=2π,r=1所以 2 1 1 3 2 2 该圆锥的体积为:V圆锥= Sh= × 2 -1 π= π. 3 3 3

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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[点评]

本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开

图.审清题意,所求的为体积,不是其他的量,分清图形在 展开前后的变化;其次,对空间几何体的体积公式要记准记 牢,属于中低档题.

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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8.如图所示,棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,截 去三棱锥C1-BCD后剩余部分的几何体的体积V=________.

[答案]

20 3

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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[解析] 20 . 3

? 1 ?1 V=V正方体-VC1-BCD=2 - × ?2×2×2? ×2= 3 ? ?
3

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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9.已知圆台的高为3,在轴截面中,母线AA1与底面圆直 径AB的夹角为60° ,轴截面中的一条对角线垂直于腰,求圆台 的体积.

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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[解析]

如图所示,作轴截面A1ABB1,设圆台的上、下底

面半径和母线长分别为r,R,l,高为h. 作A1D⊥AB于点D,则A1D=3. tan60° 又∵∠A1AB=60° ,∴AD=A1D· 1 , 3 即R-r=3× 3 ,∴R-r= 3. 又∵∠BA1A=90° ,∴∠BA1D=60° . ∴BD=A1D· tan60° ,即R+r=3× 3,

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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∴R+r=3 3,∴R=2 3,r= 3,而h=3, 1 ∴V圆台= πh(R2+Rr+r2) 3 1 =3π×3×[(2 3)2+2 3× 3+( 3)2] =21π. 所以圆台的体积为21π.

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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课后强化作业(点此链接)

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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1、 一个几何体的三视图及相关尺寸如图所示:

2cm

正视图

这个几何体是 正四棱锥 _______,

侧视图

它的表面积是

4 ? 4 3 cm _________,
2

2 cm

它的体积是
3 4 _________. 3

2cm

2 cm
1.3

俯视图

第一章

1.3.1 第2课时

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变式1:一几何体的三视图及相关尺寸如图所示:

2cm
1 cm

这个几何体是 侧视图

正视图

由正四棱锥和长 ____ ___, 方体组合而成
2

它的表面积是
2 cm

_________,

12 ? 4 3 cm

2cm

4?

它的体积是

俯视图

3 4 3 _________.

2 cm
1.3

第一章

1.3.1 第2课时

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2、 在底面边长为a,侧棱长为2a的正 D1 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,求: (1) 此棱柱的体积V; (2) 点B到平面AB1C的距离。
C1 A1 B1

VB-AB C= VB -ABC
1 1

= VA-BB C
1

D

C
A B

= VC-ABB

1

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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变式2
已知正三棱锥S-ABC的侧棱 两两垂直,侧棱长为 2cm ,求:
(1) 此棱锥的体积V; (2) 点S到底面ABC的距离。

S

VS-ABC= VB-SAC = VA-SBC = VC-SAB
第一章 1.3

C A O

B

1.3.1 第2课时

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典型例题精析

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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【例1】圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm,它的侧 面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台的表面积是多少? 思路点拨:解答本题的关键是求圆台的侧面积,要求侧面积就 要求出圆台的母线长.

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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【练一练】1.长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则这个长方 体的表面积是____.

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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2.已知圆锥的高为4,母线长为5,则圆锥的侧面积为____.

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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3.棱长为1,各面都是等边三角形的四面体的表面积为____.

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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【例2】一个正三棱锥的底面边长为6,侧棱长为 15, 求这个 三棱锥的体积. 思路点拨:正三棱锥顶点和底面中心的连线与底面垂直,利用 此特点求出棱锥的高即可.

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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【练一练】1.一组邻边长分别为1和2的矩形,绕其一边所在的 直线旋转成一个圆柱,则这个圆柱的体积为____.

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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2.一个圆锥经过轴的截面(称为轴截面)是边长为2的等边三 角形,这个圆锥的体积为____.

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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【例3】已知正三棱锥V—ABC的正视图、俯视图如图所示, 其中VA=4,AC=2 3,求该三棱锥的表面积和体积.

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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思路点拨:由正视图和俯视图可画出该几何体的直观图,再根
据图中已给的长度信息结合正三棱锥结构特征求解.

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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【练一练】1.如图,是一个几何体的三视图及其尺寸(单位: cm),则该几何体的表面积和体积分别为( (A)24π cm2,12π cm3 (B)15π cm2,12π cm3 (C)24π cm2,36π cm3 (D)15π cm2,36π cm3 )

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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2.(2009·山东高考)一空间几何
体的三视图如图所示,则该几何体 的体积为( )

(A)2π +2 3
(B)4π +2 3

(C)2π + 2 3
3

(D)4π + 2 3
3

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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知能巩固提高

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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一、选择题(每题5分,共15分) 1.(2010· 北京高考)如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,动点E、F在棱A1B1 上,动点P,Q分别在棱AD,CD上,若 EF=1,A1E=x,DQ=y, DP=z(x,y,z大

于零),则四面体PEFQ的体积(
(A)与x,y,z都有关 (C)与y有关,与x,z无关



(B)与x有关,与y,z无关 (D)与z有关,与x,y无关

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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【解题提示】把PEFQ的体积表示出来.由于△EFQ中, EF=1,Q到EF的距离为侧面的对角线长,故选择△EFQ为底面.

点P到△EFQ的距离,即是点P到对角面A1B1CD的距离.

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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【解析】选D.S△EFQ= 1 ×1×2 2 = 2,
2

点P到平面EFQ的距离为 2 z,
1 VP-EFQ= S△EFQ·h= 1 z. 3 3

2

因此体积只与z有关,而与x,y无关.

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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2.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半,且侧面积 是32π ,则母线长为( (A)2 (B)4 ) (C)2 (D)8

【解析】选B.由侧面积公式可得32π=π(r+R)l,又由已知 条件知l=
r+R , 故32π=π·2l2,l=4. 2

第一章

1.3

1.3.1 第2课时

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3.正六棱台的两底面边长分别为1 cm和2 cm,各侧面梯形 的高都是 7 cm,它的侧面积是( )
2

(A) 9 7 cm2
2 (C) 2 2 cm2 3

(B) 9 7 cm2
(D)3
2 cm
2

【解题提示】正六棱台的侧面是由六个全等的等腰梯形构

成的,求出一个等腰梯形的面积再乘以6即可. 【解析】选A.六棱台的侧面积 S=6 ? 1+2 ? 7 = 9 7 (cm2).
2 2 2

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4.如图所示,一个空间几何体的正 视图和侧视图都是边长为1的正方形, 俯视图是一个圆,那么这个几何体 的侧面积为____.

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【解析】由三视图可判断该几何体为圆柱,其高为1,底面直 径为1,故其侧面展开图为一个边长分别为1和π的矩形,故其 侧面积为π.

答案:π

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5.如图所示,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是A1B1 上一点,且PB1=
1 A1B1,则多面体P-BCC1B1的体积为____. 4

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【解题提示】解决这个问题的关键是把多面体P-BCC1B1看 成以正方体的侧面为底,以B1P为高的四棱锥,然后按照棱锥 知识求解. 【解析】四棱锥P-BCC1B1的底面是正方体的侧面BCC1B1, 高PB1= 1 A1B1=1,
1 2 16 ∴VP-BCC1B1 = ? 4 ?1= . 3 3 16 答案: 3 4

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三、解答题(6题12分,7题13分,共25分) 6.(2010·南阳高一检测)如图,一个圆锥的

底面半径为2 cm,高为6 cm,在其中有一个高
为x cm的内接圆柱. (1)试用x表示圆柱的侧面; (2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大?

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1 r 6-x , r=2- x. 3 2 6 2? 2 1 (1)S圆柱侧=2πr·x=2π·(2- x)·x=x +4πx 3 3 =- 2 ? (x-3)2+6π(0<x<6). 3

【解析】设圆柱的底面半径为r.由题意知 =

(2)当x=3 cm时,圆柱的侧面积最大,为6π cm2.

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7.(2010·天津高考改编)一个几何体的三视图如图所示,求 这个几何体的体积.

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【解题提示】由三视图还原几何体的形状. 【解析】由三视图可得该几何体是一个组合体,上面是一个高

为1的正四棱锥,其底是边长为2的正方形,下面是一个长为1、
宽为1、高为2的长方体,所以所求几何体的体积为 V=
1 4 10 ×2×2×1+2= +2= . 3 3 3

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1.(5分)一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3,若在上面钻一

个圆柱形孔后其表面积没有变化,则孔的半径为(
(A)3 (B)8 (C)9 (D)3,8,9

)

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【解析】选A.要使几何体的表面积不发生变化,则圆柱的两底 面面积之和等于圆柱的侧面积.设圆柱的底面半径为r,则 2πr2=2πrh,即r=h.还需检验:当h=9时,在长为8,宽为3的面上 不可能截得半径为9的孔;当h=8时,在长为9,宽为3的面上也不

可能截得半径为8的孔;当h=3时,在长为9,宽为8的面上可以截
得半径为3的孔.故选A.

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2.(5分)在正方体的八个顶点中,有四个顶点恰好是正四面体
的顶点,则正方体的表面积与此正四面体的表面积之比为 ( )

(A) 3

(B) 2

(C) 6
2

(D) 3
3

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【解析】选A.如图,设正方体的棱长为a,
则正四面体A—B1D1C的所有棱长均为 2 a. 正方体的表面积S1=6a2, 正四面体的表面积S2=4× 3×( 2 a)2 =2 3 a2. ∴S1∶S2=6a2∶2 3 a2=
4
3 ∶1.

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3.(5分)已知三棱锥O-ABC中,OA、OB、OC两两垂直,OC=1,
OA=x,OB=y,且x+y=4,则三棱锥体积的最大值是____. 【解题提示】解决这个题的关键是利用“x+y=4”消元化 成一个二次函数,利用二次函数的知识求最值.

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【解析】由题意得三棱锥的体积是:
1 1 1 V= 1 × xy×1= x(4-x)=- (x-2)2+ 2 , 3 2 6 6 3

由于x>0,则当x=2时,Vmax= 2
3

答案: 2
3

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4.(15分)已知正四棱台的高、侧棱、体对角线的长分别为 7 cm、9 cm、11 cm,求它的表面积和体积.

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【解析】

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