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数列(六)教师版


周末提高(六)2015 年高考数学真题分类汇编-数列

a 1.(15 北京理科)设 ? n ? 是等差数列. 下列结论中正确的是
A.若 a1 ? a2 ? 0 ,则 a2 ? a3 ? 0 C.若 0 ? a1 ? a2 ,则 【答案】C
?2an ,an ≤18 , an ?1 ? ? a 2, …? ?2an ? 36 ,an ?

18 ? n ? 1, 2.(15 北京理科)已知数列 ? n ? 满足: a1 ? N , a1 ≤ 36 ,且 .
*

B.若 a1 ? a3 ? 0 ,则 a1 ? a2 ? 0 D.若 a1 ? 0 ,则 ?

a2 ? a1a3

a2 ? a1 ? ? a2 ? a3 ? ? 0

记集合

M ? ?an | n ? N*?



(Ⅰ)若 a1 ? 6 ,写出集合 M 的所有元素; (Ⅲ)求集合 M 的元素个数的最大值. 【答案】 (1) M ? {6,12,24}, (3)8 3.(15 北京文科)已知等差数列 (Ⅰ)求

?an ? 满足 a1 ? a2 ? 10 , a4 ? a3 ? 2 .

?an ? 的通项公式; ?bn ? 满足 b2 ? a3 , b3 ? a7 ,问: b6 与数列 ?an ? 的第几项相等?

(Ⅱ)设等比数列 【答案】 (1)

?a ? an ? 4 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 2 ; b (2) 6 与数列 n 的第 63 项相等.

4.(15 年广东理科)在等差数列 【答案】 10 .

?an ? 中,若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 25 ,则 a2 ? a8 =

5.(15 年广东理科)数列 (1) 求

?an ?

满足

a1 ? 2a2 ? ? ? ? ? nan ? 4 ?

n?2 2n ?1 , n ? N *.

a3 的值;

(2) 求数列

?an ? 前 n 项和 Tn ;
bn ? Tn?1 ? 1 1 1? ? ?1 ? ? ? ??? ? ? an ? n ? 2 ? S ?b ? n ? 2 3 n? ,证明:数列 n 的前 n 项和 n

(3) 令 满足

b1 ? a1 ,

Sn ? 2 ? 2 ln n
n ?1

?1? 1 2?? ? ?2? 【答案】 (1) 4 ; (2)

; (3)见解析.

1

bn ?
(3)依题由

a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? 1 a ? 1? 1? ? ?1 ? ? ? ? ? an b2 ? 1 ? ?1 ? ? a2 n n ? 知 b1 ? a1 , 2 ? 2? , ? 2


6. (15 年广东文科) 若三个正数 a ,b ,c 成等比数列, 其中 a ? 5 ? 2 6 ,c ? 5 ? 2 6 , 则b ? 【答案】 1

7.(15 年广东文科)

? ?a ? S a ? 1 ,a2 ? 2 ,a3 ? 4 ,且当 n ? 2 时, 设数列 n 的前 n 项和为 n ,n ? ? .已知 1

3

5

?1? 求 a4 的值;
? 2?

4 S n ? 2 ? 5S n ? 8S n ?1 ? S n ?1 .
1 ? ? ?an ?1 ? an ? 2 ? 为等比数列; 证明: ?
n ?1

? 3? 求数列 ?an ? 的通项公式.

?1? 7 an ? ? 2n ? 1? ? ? ? ?2? 【答案】 (1) 8 ; (2)证明见解析; (3)
8.(15 年安徽理科)设 n ? N ,
*



xn 是曲线 y ? x2n?3 ? 1 在点 (1, 2) 处的切线与 x 轴交点的横坐标,

(1)求数列

{xn } 的通项公式;
2 2 1 2 2 n 2 n?1 ,证明

(2)记

Tn ? x x ? x

T ?

1 4n .

{a } 9. ( 15 年安徽文科)已知数列 n 中, a1 ? 1 ,
于 。

an ? an ?1 ?

1 {a } 2(n? 2) ,则数列 n 的前 9 项和等

2

【答案】27 10.(15 年安徽文科)已知数列 (1)求数列

?an ? 是递增的等比数列,且 a1 ? a4 ? 9, a2a3 ? 8.

?an ? 的通项公式;
bn ? an ?1 Sn Sn ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。

(2)设

Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,

2n ?1 ? 2 a ? 2n?1 (2) 2n ?1 ? 1 【答案】 (1) n

f ? x ? ? x2 ? px ? q ? p ? 0, q ? 0? a , b 11. (15 年福建理科) 若 是函数 的两个不同的零点, 且 a, b, ?2 这
三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p ? q 的值等于( A.6 【答案】D 12. (15 年福建文科) 若 a , b 是函数 B.7 C.8 D.9 )

f ? x ? ? x2 ? px ? q ? p ? 0, q ? 0?

的两个不同的零点, 且 a, b, ?2 这

三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p ? q 的值等于________. 【答案】9 13.(15 年福建文科)等差数列 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ)设

?an ? 中, a2 ? 4 , a4 ? a7 ? 15 .

?an ? 的通项公式;

bn ? 2an ?2 ? n ,求 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 的值.
an ? n ? 2 ; (Ⅱ) 2101 .
a1 ? a3 ? a5 =21,则 a3 ? a5 ? a7 ? (
)

【答案】 (Ⅰ)

14.(15 年新课标 2 理科)等比数列{an}满足 a1=3, (A)21 【答案】B 15.(15 年新课标 2 理科)设 (B)42 (C)63

(D)84

S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 ? ?1 , an ?1 ? S n S n ?1 ,则 S n ? ________.

1 【答案】 n ?
16.(15 年新课标 2 文科)设 A. 5 B. 7 C. 9

Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 ? a3 ? a5 ? 3 ,则 S5 ? (



D. 11
3

【答案】A

{a } 17.(15 年新课标 2 文科)已知等比数列 n 满足
A.2 B.1
C. 1 2 D. 1 8

a1 ?

1 4 , a3a5 ? 4 ? a4 ?1? ,则 a2 ? (



【答案】C 18.(15 年陕西理科)中位数 1010 的一组数构成等差数列,其末项为 2015,则该数列的首项为 【答案】 5 19.(15 年陕西文科)中位数为 1010 的一组数构成等差数列,其末项为 2015,则该数列的首项为________ 【答案】5 20.(15 年陕西文科)设 (I)求 .

fn ( x) ? x ? x2 ? ? ? xn ? 1, n ? N , n ? 2.

f n?(2) ;
n

1 1? 2? ? 2? 0, ? 0 ? an ? ? ? ? ? f ( x) 在 ? 3 ? 内有且仅有一个零点(记为 an ) 2 3? 3? . (II)证明: n ,且
【答案】(I) 【解析】 试题分析:(I)由题设

fn?(2) ? (n ? 1)2n ? 1 ;(II)证明略,详见解析.

fn?( x) ? 1 ? 2x ?? ? nxn?1 ,所以 f n?(2) ? 1? 2? 2 ? ? ? n 2n?1 ,此式等价于数列

n {n ? 2n?1} 的前 n 项和,由错位相减法求得 fn?(2) ? (n ? 1)2 ? 1 ;

2 ?2? ? 2? 2 fn ( ) ? 1 ? 2 ? ? ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 0 (0, ) f ( x ) 3 3 内至少存在一个 ?3? ? 3? (II)因为 f (0) ? ?1 ? 0 , ,所以 n 在

n

2

f ?( x) ? 1 ? 2 x ? ? ? nxn?1 ? 0 ,所以 fn ( x) 在 零点,又 n

2 2 (0, ) (0, ) f ( x ) 3 内单调递增,因此, n 在 3 内有且只
n

1 ? an 1 1 1 1 ? xn 0 ? f n (an ) ? ?1 an ? ? an n ?1 ? fn ( x) ? ?1 a 1 ? an 2 2 2 1? x 有一个零点 n ,由于 ,所以 ,由此可得 1 1 1 ?2? 1 2 0 ? an ? ? an n?1 ? ? ? ? ? an ? 2 2 2 ? 3? 3 ,继而得 故2
试题解析:(I)由题设 所以
n ?1

1 ?2? ? ?? ? 3 ? 3? .

n

fn?( x) ? 1 ? 2 x ? ? ? nxn?1 ,


f n?(2) ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? n2n?1

4



2 f n?(2) ? 1 ? 2 ? 2 ? 22 ? ? ? n2n ? f n?(2) ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n?1 ? n2n
? 1 ? 22 ? n ? 2n ? (1 ? n)2n ? 1 1? 2 ,



① ? ②得

所以

fn?(2) ? (n ? 1)2n ? 1

(II)因为 f (0) ? ?1 ? 0

2? ?2? ?1 ? ? ? 3? ? 3? 2 fn ( ) ? ? 2 3 1? 3

n

? ? n 2 ? ? ?1 ? 1? 2 ? ? 2 ? ? 1? 2 ? ? 2 ? ? 0 ? ? ? ? ? 3? ? 3?


f ( x) 在 所以 n


2 (0, ) 3 内至少存在一个零点,

f n?( x) ? 1 ? 2 x ? ? ? nxn?1 ? 0
2 (0, ) 3 内单调递增, 2 (0, ) 3 内有且只有一个零点 an ,

f ( x) 所以 n 在

f ( x) 因此, n 在

1 ? xn fn ( x) ? ?1 1? x 由于 ,

0 ? f n (an ) ?
所以

1 ? an n ?1 1 ? an

由此可得

an ?

1 1 n ?1 1 ? an ? 2 2 2

1 2 ? an ? 3 故2

0 ? an ?
所以

1 1 n?1 1 ? 2 ? ? an ? ? ? ? 2 2 2 ? 3?

n ?1

1 ?2? ? ?? ? 3 ? 3?

n

考点:1.错位相减法;2.零点存在性定理;3.函数与数列. 21.(15 年天津理科)已知数列

{an } 满足 an?2 ? qan (q 为实数,且q ? 1),n ? N* , a1 ? 1, a2 ? 2 ,且
5

a2 + a3 , a3 + a4 , a4 + a5 成等差数列.
(I)求 q 的值和

{an } 的通项公式;

bn ?
(II)设

log 2 a2 n , n? N* {b } a2 n?1 ,求数列 n 的前 n 项和.

【答案】(I) 【解析】

?1 ? n2 ? 2 , n为奇数, an ? ? n ? 2 2 , n为偶数. ?

; (II)

Sn ? 4 ?

n?2 2 n ?1 .

试题分析:(I)由

(a

3

+ a4 ) - ( a2 + a3) = ( a4 + a5 ) - ( a3 + a4 )



a4 ? a2 ? a5 ? a3 先求出 q ,分 n 为奇数

与偶数讨论即可;(II)求出数列 试题解析:(I) 由已知,有 所以

?bn ? 的通项公式,用错位相减法求和即可.
,即

(a

3

+ a4 ) - ( a2 + a3) = ( a4 + a5 ) - ( a3 + a4 )

a4 ? a2 ? a5 ? a3 ,

a2 (q ? 1) ? a3 (q ? 1) ,又因为 q ? 1 ,故 a3 ? a2 ? 2 ,由 a3 ? a1q ,得 q ? 2 ,
n ?1 2

a ? a2k ?1 ? 2k ?1 ? 2 当 n ? 2k ? 1(n ? N *) 时, n
当 n ? 2k (n ? N *) 时,



an ? a2k ? 2k ? 2 ,
?1 ? n2 2 , n为奇数, ? an ? ? n ? 2 2 , n为偶数. ?

n 2

所以

{an } 的通项公式为

6

22. ( 15 年 天 津 文 科 ) 已 知

{an } 是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 , {bn } 是 等 差 数 列 , 且

a1 = b1 = 1, b2 +b3 = 2a3 , a5 - 3b2 = 7 .
(I)求

{an }和 {bn } 的通项公式;
cn = anbn , n ? N* ,求数列 {cn } 的前 n 项和.

(II)设

【答案】 (I)

S ? ? 2n ? 3? 2n ? 3 an ? 2n?1 , n ? N? , bn ? 2n ?1, n ? N? ; (II) n

24.(15 年浙江理科)

25.(15 年湖南理科)设

Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,且 3S1 , 2S2 , S3 成等差数列,则

an ?

.

【答案】 - 2n ? 3 . 26.(15 年山东理科)设数列 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ)若数列

{an }

的前 n 项和为

Sn

,已知

2Sn ? 3n ? 3.

{an } {bn }

的通项公式;

满足

anbn ? log3 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
7

? 3, n ? 1, an ? ? n ?1 ?3 , n ? 1.

Tn ?

13 2n ? 1 ? 12 4 ? 3n ?1

1 } * { a } a ? a ? n ? 1 a a ? 1 n ? N n n ? 1 n n 27.(15 年江苏)数列 满足 1 ,且 ( ) ,则数列 的前 10 项和为 {
20 11 【答案】
28.(15 年江苏)设
a

a1 , a2 , a3 , a4 是各项为正数且公差为 d (d ? 0) 的等差数列
a a a

3 1 2 4 (1)证明: 2 , 2 , 2 , 2 依次成等比数列;

(2)是否存在 (3)是否存在

a1 , d ,使得 a1 , a22 , a33 , a44 依次成等比数列,并说明理由;[来源:学科网 ZXXK]
n? k n? 2 k n?3k a1 , d 及正整数 n, k ,使得 a1n , a2 , a3 , a4 依次成等比数列,并说明理由.

【答案】 (1)详见解析(2)不存在(3)不存在

(2)令 a1 ? d ?a ,则 a1 , a2 , a3 , a4 分别为 a ? d , a , a ? d , a ? 2d ( a ? d , a ? ?2d , d ? 0 ) . 假设存在 a1 , d ,使得 a1 , a2 , a3 , a4 依次构成等比数列,
8
2 3 4

则 a ? ? a ? d ?? a ? d ? ,且 ? a ? d ? ? a
4 3 6

2

? a ? 2d ?

4



令t ?

d 1 3 6 4 ,则 1 ? ?1 ? t ??1 ? t ? ,且 ?1 ? t ? ? ?1 ? 2t ? ( ? ? t ? 1 , t ? 0 ) , a 2

化简得 t 3 ? 2t 2 ? 2 ? 0 ( ? ) ,且 t 2 ? t ? 1 .将 t 2 ? t ? 1 代入( ? )式,

1 t ?t ?1? ? 2 ?t ?1? ? 2 ? t 2 ? 3t ? t ?1? 3t ? 4t ?1 ? 0 ,则 t ? ? . 4 1 显然 t ? ? 不是上面方程得解,矛盾,所 以假设不成立, 4
因此不存在 a1 , d ,使得 a1 , a2 , a3 , a4 依次构成等比数列. (3)假设存在 a1 , d 及正整数 n , k ,使得 a1 , a2 则 a1 ? a1 ? 2d ?
n n?2k

2

3

4

n

n?k

, a3

n?2k

, a4

n ?3k

依次构成等比数列,
2? n ? 2 k ?

? ? a1 ? d ?

2? n ? k ?

,且 ? a1 ? d ? 及 a1 ?
n?k

n?k

? a1 ? 3d ?

n ?3k

? ? a1 ? 2d ?



分别在两个等式的两边同除以 a1 ? 则 ?1 ? 2t ?
n?2k

2 n?k ?

2 n?2k ?

,并令 t ?
n ?3k

d 1 (t ? ? ,t ? 0) , a1 3
2? n ? 2 k ?

? ?1 ? t ?

2? n ? k ?

,且 ?1 ? t ?

?1 ? 3t ?

? ?1 ? 2t ?



将上述两个等式两边取对数,得 ? n ? 2k ? ln ?1 ? 2t ? ? 2 ? n ? k ? ln ?1 ? t ? , 且 ? n ? k ? ln ?1 ? t ? ? ? n ? 3k ? ln ?1 ? 3t ? ? 2 ? n ? 2k ? ln ?1 ? 2t ? . 化简得 2k ? ?ln ?1 ? 2t ? ? ln ?1 ? t ? ? ? ? n? ? 2 ln ?1 ? t ? ? ln ?1 ? 2t ? ? ?, 且 3k ? ?ln ?1 ? 3t ? ? ln ?1 ? t ? ? ? ? n? ?3ln ?1 ? t ? ? ln ?1 ? 3t ? ? ?. 再将这两式相除,化简得 ln ?1 ? 3t ? ln ?1 ? 2t ? ? 3ln ?1 ? 2t ? ln ?1 ? t ? ? 4ln ?1 ? 3t ? ln ?1 ? t ? ( ?? ) . 令 g ?t ? ? 4ln ?1 ? 3t ? ln ?1 ? t ? ? ln ?1 ? 3t ? ln ?1 ? 2t ? ? 3ln ?1 ? 2t ? ln ?1 ? t ? ,
2 2 2 2 ??1 ? 3t ? ln ?1 ? 3t ? ? 3 ?1 ? 2t ? ln ?1 ? 2t ? ? 3 ?1 ? t ? ln ?1 ? t ?? ? ?. 则 g? ?t ? ? ?1 ? t ??1 ? 2t ??1 ? 3t ?

令 ? ? t ? ? ?1 ? 3t ? ln ?1 ? 3t ? ? 3 ?1 ? 2t ? ln ?1 ? 2t ? ? 3 ?1 ? t ? ln ?1 ? t ? ,
2 2 2

则 ?? ?t ? ? 6 ? ??1 ? 3t ? ln ?1 ? 3t ? ? 2 ?1 ? 2t ? ln ?1 ? 2t ? ? ?1 ? t ? ln ?1 ? t ? ? ?.

? ?t ? ? 6 ? 令 ?1 ?t ? ? ?? ?t ? ,则 ?1 ?3ln ?1 ? 3t ? ? 4 ln ?1 ? 2t ? ? ln ?1 ? t ? ? ?.

? ?t ? ? ? ?t ? ,则 ?2 令 ?2 ?t ? ? ?1

12 ?0. ?1 ? t ??1 ? 2t ??1 ? 3t ?

9

? ?t ? ? 0 , 由 g ? 0? ? ? ? 0? ? ?1 ? 0? ? ?2 ? 0? ? 0 , ?2
知 ?2 ?t ? , ?1 ? t ? , ? ? t ? , g ? t ? 在 ? ? , 0 ? 和 ? 0, ??? 上均单调. 故 g ? t ? 只有唯一零点 t ? 0 ,即方程( ?? )只有唯一解 t ? 0 ,故假设不成立. 所以不存在 a1 , d 及正整数 n , k ,使得 a1 , a2
n n?k

? 1 ? 3

? ?

, a3

n?2k

, a4

n ?3k

依次构成等比数列.

考点:等差、等比数列的定义及性质,函数与方程。

10


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