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高考复习专题2 三角函数的图像和性质


专题 2 三角函数的图像和性质

1.三角函数 y=Asin (ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象变换,周期及单调性是高考热点. 2.备考时应掌握 y=sin x, y=cos x, y=tan x 的图象与性质, 并熟练掌握函数 y=Asin (ωx+φ)(A>0, ω>0) 的值域、单调性、周期性等.

1.任意角和弧度制 (1)终边相同的角:所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集合 S={β|β=α+k· 360°, k∈Z}. (2)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. 1 1 (3) 扇形弧长公式:l=|α|r,扇形的面积公式:S= lr= |α|r2. 2 2 2.任意角的三角函数 y (1)设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么 sinα=y,cosα=x,tanα= (x≠0). x (2)各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 3.诱导公式

公式一

sin(2kπ+α)=sinα,cos(2kπ+α)=cosα, tan(2kπ+α)=tanα sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,

公式二 tan(π+α)=tanα sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα, 公式三 tan(-α)=-tanα sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα, 公式四 tan(π-α)=-tanα 公式五 公式六 口诀 π π sin?2-α?=cosα,cos?2-α?=sinα

? ?

? ?

? ?

? ?

π π sin?2+α?=cosα,cos?2+α?=-sinα 奇变偶不变,符号看象限

sinα 4.同角三角函数基本关系式: sin2α+cos2α=1,tanα= (cosα≠0). cosα

5.正弦、余弦、正切函数的性质 函数 图像 y=sinx y=cosx y=tanx

定义域 值域 奇偶性 最小正周期

R [-1,1] 奇函数 2π 在- π π + 2kπ , + 2 2

R [-1,1] 偶函数 2π 在 - π + 2kπ , 2kπ](k∈Z) 上 递 增 . 在 2kπ , π + 2kπ](k∈Z)上递减 当 x = 2kπ , k∈Z

π {x|x≠ +kπ,k∈Z} 2 R 奇函数 π

2kπ](k∈Z)上递增. 单调性 在 π 3π + 2kπ , + 2 2

在(-

π π + kπ , + 2 2

kπ)(k∈Z)上递增

2kπ](k∈Z)上递减

π 当 x= +2kπ, k∈Z 时, 时, y 取得最大值 2 y 取得最大值 1. 最值 π 当 x=- +2kπ,k∈Z 2 时,y 取得最小值-1 1. 无最值 当 x = π + 2kπ , k∈Z 时,y 取得最 小值-1 对 称 中 心 : (kπ , 0)(k∈Z). 对称性 π 对 称 轴 : x = + 2 kπ(k∈Z) 6.函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 (1)“五点法”作图 π 3π 设 z=ωx+φ,令 z=0、 、π、 、2π,求出 x 的值与相应的 y 的值,描点连线可得. 2 2 π 对称中心:( +kπ, 2 0)(k∈Z). 对 称 轴 : x = kπ(k∈Z) kπ 对称中心: ( , 0)(k∈Z) 2

考点一 三角函数图象及其变换 例 1、 (2016· 高考全国甲卷)函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( π A.y=2sin?2x-6? π B.y=2sin?2x-3 ? )

?

?

?

?

π C.y=2sin?x+6? D.y=

?

?

π 2sin?x+3 ?

?

?

【答案】 :A 【解析】 :根据图象上点的坐标及函数最值点,确定 A,ω 与 φ 的值. π π π 2π T π 由图象知 = -?-6?= ,故 T=π,因此 ω= =2.又图象的一个最高点坐标为?3 ,2?,所以 A=2, 2 3 ? π ? 2 ? ? π π π π 且 2× +φ=2kπ+ (k∈Z),故 φ=2kπ- (k∈Z),结合选项可知 y=2sin?2x-6?. 3 2 6 ? ? 【变式探究】 (1)函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 f(x)的单调递减区间为( 【答案】 :D 1 3 kπ- ,kπ+ ?,k∈Z A.? 4 4? ? 1 3 k- ,k+ ?,k∈Z C.? 4? ? 4 1 3 2kπ- ,2kπ+ ?,k∈Z B.? 4 4? ? 1 3 2k- ,2k+ ?,k∈Z D.? 4 4? ? )

π (2)要得到函数 y=sin?4x-3?的图象,只需将函数 y=sin 4x 的图象(

?

?

)

π A.向左平移 个单位 12

π B.向右平移 个单位 12

π π C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 3 3 【答案】 :B 【解析】 :基本法:根据三角函数图象的变换关系求解. π π π 由 y=sin?4x-3?=sin 4?x-12?得,只需将 y=sin 4x 的图象向右平移 个单位即可,故选 B. 12 ? ? ? ? 考点二 三角函数性质及应用 (1)函数 f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为________. 【答案】 :1 【解析】 :基本法:利用三角恒等变换将原式化简成只含一种三角函数的形式. ∵f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ) =sin(x+φ)cos φ+cos(x+φ)sin φ-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cos φ-cos(x+φ)sin φ =sin(x+φ)-φ]=sin x, ∴f(x)的最大值为 1. π (2)设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)?ω>0,|φ|< 2?的最小正周期为 π,且 f(-x)=f(x),则(

?

?

)

π π 3π π π 3π A.f(x)在?0,2?单调递减 B.f(x)在?4 , 4 ?单调递减 C.f(x)在?0,2 ?单调递增 D.f(x)在?4, 4 ?单调递增

?

?

?

?

?

?

?

?

【答案】 :A

π 【变式探究】(2016· 高考全国甲卷)函数 f(x)=cos 2x+6cos?2-x?的最大值为(

?

?

)

A.4 B.5

C.6 D.7

3 11 sin x- ?2+ ,因为 sin x∈-1,1],所以当 sin x= 【答案】 :B【解析】 :f(x)=1-2sin2x+6sin x=-2? 2? ? 2 1 时,f(x)取得最大值,且 f(x)max=5.

1 函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?
6

) 的最小正周期是(



A.

? 2

B.?

C .2?

D.4?

π π 2.若函数 y=cos?ωx+6?(ω∈N*)图象的一个对称中心是?6 ,0?,则 ω 的最小值为(

?

?

?

?

)

A.1

B.2

C.4

D .8 )

3.若函数 f(x)=sin ax+ 3cos ax(a>0)的最小正周期为 2,则函数 f(x)的一个零点为( π A.- 3 2 B. 3 2 ? C.? ?3,0? D.(0,0)

π π 1 4. 把函数 y=sin?x+6 ?图象上各点的横坐标缩小到原来的 (纵坐标不变), 再将图象向右平移 个单位, 2 3 ? ? 那么所得图象的一条对称轴方程为( π A.x=- 2 π B. x=- 4 ) π D.x= 4

π C.x= 8

5.【2016 年高考四川文数】为了得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象上所 有的点( )

π 3

π 个单位长度 3 π (C)向左平行移动 个单位长度 6
(A)向左平行移动

π 个单位长度 3 π (D)向右平行移动 个单位长度 6
(B)向右平行移动

6.【2016 高考新课标 2 文数】若将函数 y ? 2sin 2 x 的图像向左平移 对称轴为( (A) x ? ) (B) x ?

? 个单位长度,则平移后图象的 12

k? ? ? (k ? Z ) 2 6 k? ? ? (k ? Z ) (C) x ? 2 12

k? ? ? (k ? Z ) 2 6 k? ? ? (k ? Z ) (D) x ? 2 12

7.【2016 年高考北京文数】将函数 y ? sin(2 x ?

?

) 图象上的点 P( , t ) 向左平移 s ( s ? 0 ) 个单位 3 4


?

长度得到点 P ' ,若 P ' 位于函数 y ? sin 2 x 的图象上,则( A. t ?

1 ? , s 的最小值为 2 6

B. t ?

? 3 , s 的最小值为 6 2

C. t ?

1 ? , s 的最小值为 2 3

D. t ?

? 3 , s 的最小值为 3 2

8.【2016 高考新课标 3 文数】函数 y ? sin x ? 3 cos x 的图像可由函数 y ? sin x ? 3 cos x 的图像至 少向右平移_____________个单位长度得到. 9.【2016 高考浙江文数】设函数 f ( x) ? sin 2 x ? b sin x ? c ,则 f ( x ) 的最小正周期( A.与 b 有关,且与 c 有关 C.与 b 无关,且与 c 无关 B.与 b 有关,但与 c 无关 D.与 b 无关,但与 c 有关 ) )

10.【2016 高考山东文数】函数 f(x)=( 3 sin x+cos x) ( 3 cos x –sin x)的最小正周期是( (A)

π 2

(B)π

(C)

3π 2

(D)2π

11.【2016 年高考四川文数】为了得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象上 所有的点( )

π 3

π 个单位长度 3 π (C)向左平行移动 个单位长度 6
(A)向左平行移动 12 若将函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? 正值是________. 1、设 f ? x ? ? sin x cos x ? cos ? x ?
2

π 个单位长度 3 π (D)向右平行移动 个单位长度 6
(B)向右平行移动

? ?

??

? 的图像向右平移 ? 个单位,所得图像关于 y 轴对称, 则 ? 的最小 4?

? ?

??

?. 4?
? A? ? ? 0, a ? 1 , ?2?

(Ⅰ) 求 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ) 在锐角 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 f ? 求 ?ABC 面积的最大值.

2、已知函数 f ? x ? ? sin x ? sin ? x ?
2 2

? ?

??

?, x?R 6?

(I)求 f ( x ) 最小正周期;(II)求 f ( x ) 在区间 [ -

p p , ] 上的最大值和最小值. 3 4

x x x 3.已知函数 f(x)= 2sin cos - 2sin2 . 2 2 2 (1)求 f(x)的最小正周期;(2)求 f(x)在区间-π,0]上的最小值.

4、已知函数 f ? x ? ? sin ?

?? ? (1)求 f ? x ? 的最小正周期和最大值; (2)讨论 ? x ? sin x ? 3 cos 2 x , ?2 ?

? ? 2? ? f ? x ? 在 ? , ? 上的单调性. ?6 3 ?


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