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高中数学基础知识强化记忆7


专题七:解析几何
一、直线与方程
1、倾斜角与斜率: k ? tan? ? 2、直线方程: ⑴点斜式: y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ⑶两点式: ⑵斜截式: y ? kx ? b ⑷截距式:

y 2 ? y1 x2 ? x1

y ? y1 y2 ? y1 ? x ? x1 x2 ? x1

x y ? ?1 a b

⑸一般式: Ax ? By ? C ? 0

3、对于直线

l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2

有:⑴ l1 // l 2 ? ?

?k1 ? k 2 ; ?b1 ? b2 ?k1 ? k 2 ; ?b1 ? b2



l1 和 l 2 相交 ? k1 ? k2 ; l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1 .

⑶ l1 和 l 2 重合 ? ?



4、对于直线:

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0


有:⑴

? A1 B2 ? A2 B1 ; l1 // l 2 ? ? B C ? B C 2 1 ? 1 2

l1 和 l 2 相交 ? A1 B2 ? A2 B1 ;

⑶ l1 和 l 2 重合 ? ?

? A1 B2 ? A2 B1 ;⑷ l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 . ?B1C2 ? B2 C1

5、两点间距离公式: P 1P 2 ? 6、点到直线距离公式: d ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2
Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

7、两平行线间的距离公式: l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 与 l 2 : Ax ? By ? C 2 ? 0 平行,则 d ?

C1 ? C2 A2 ? B 2

二、圆与方程
1、圆的标准方程 (1)圆的标准方程: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程 (2)点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的关系的判断方法:
2 2 2

1

① ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r ,点在圆外 ② ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r ,点在圆上
2 2

③ ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r ,点在圆内
2

2、圆的一般方程 一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .其中圆心为 ( ? 3、直线与圆的位置关系 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种:

D 2

,?

E 2

) ,半径为 r ?

1 2

D2 ? E 2 ? 4F .

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ;

d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ;
2

d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .

弦长公式: l ? 2 r 2 ? d 2 ? 1 ? k 4、 圆与圆的位置关系

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

设两圆的连心线长为 d ? O1O2 ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: ⑴外离: d ? R ? r ;⑵外切: d ? R ? r ;⑶相交: R ? r ? d ? R ? r ; ⑷内切: d ? R ? r ;⑸内含: d ? R ? r . 5、 直线与圆的方程的应用 (1)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系; (2)过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为 代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论. 6、空间直角坐标系 (1)点 M 对应着唯一确定的有序实数组 ( x, y, z ) , x 、 y 、 z 分别 是 P、Q、R 在 x 、 y 、 z 轴上的坐标; (2)有序实数组 ( x, y, z ) ,对应着空间直角坐标系中的一点 (3)空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组 ( x, y, z ) 来表示, 该数 组叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标,记 M ( x, y, z ) , x 叫做点 M 的横坐标, y 叫做点 M 的纵坐标, z 叫做点 M 的竖坐标。 7、空间两点间的距离公式 空间中任意一点 P 1 ( x1 , y1 , z1 ) 到点 P 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) 之间的距离公式
O M1 M M2 H N2 y N P1
x P R M O Q M' y

z

P2

P1 P2 ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ? ( z1 ? z 2 )
2 2
2

2
x

N1

三、圆锥曲线
1.椭圆 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

第一定义 第二定义 范围

到两定点 F 即 | MF ( ) F2 的距离之和等于常数 2 a , 1 | ? | MF2 |? 2a 2a ?| F 1、 1 F2 | 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数 e ,即

MF ? e (0 ? e ? 1) d

? a ? x ? a 且 ?b ? y ? b

?b ? x ? b 且 ?a ? y ? a

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?
顶点

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ?

?1 ? 0, ?b? 、 ?2 ? 0, b ?

?1 ? ?b,0? 、 ?2 ? b,0?

轴长 对称性 焦点 焦距

长轴的长 ? 2 a 短轴的长 ? 2b 关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1F2 ? 2c (c2 ? a2 ? b2 )
e? c c2 a 2 ? b2 b2 ? ? ? 1 ? a a2 a2 a2 (0 ? e ? 1)
a2 y?? c
下焦半径: MF 1 ? a ? ey0 上焦半径: MF2 ? a ? ey0

离心率

准线方程

a2 x?? c
左焦半径: MF 1 ? a ? ex0 右焦半径: MF2 ? a ? ex0

焦半径

M ( x0, y0 )
焦点三角形面积

S ?MF1F2 ? b 2 tan

?
2

(? ? ?F1MF2 )

通径

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径: HH ? ?

b2 a

(焦点) 弦长公式

A( x1, y1 ), B( x2, y2 ) , AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2
3

2.双曲线 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

到两定点 F1 、 F2 的距离之差的绝对值等于常数 2a ,即 | MF1 | ? | MF2 | ? 2a 第一定义 ( 0 ? 2a ?| F1F2 | ) 第二定义 范围 顶点 轴长 对称性 焦点 焦距 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数 e ,即

MF ? e (e ? 1) d

x ? ?a 或 x ? a , y ? R

y ? ?a 或 y ? a , x ? R

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ?

实轴的长 ? 2 a 虚轴的长 ? 2b 关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1F2 ? 2c (c2 ? a2 ? b2 )
c c2 a 2 ? b2 b2 e? ? ? ? 1? 2 a a2 a2 a
x??
y??

离心率

(e ? 1)
a2 c
a x b

准线方程

a2 c
b x a

y??
y??

渐近线方程

焦半径

? MF1 ? ex0 ? a ?左焦: M 在右支 ? MF2 ? ex0 ? a ? ?右焦: ? MF1 ? ?ex0 ? a ?左焦: M 在左支 ? MF2 ? ?ex0 ? a ? ?右焦:
S ?MF1F2 ? b 2 cot

? MF1 ? ey0 ? a ?左焦: M 在上支 ? MF2 ? ey0 ? a ? ?右焦: ? MF1 ? ?ey0 ? a ?左焦: M 在下支 ? MF2 ? ?ey0 ? a ? ?右焦:

M ( x0, y0 )

焦点三角形面 积 通径

?
2

(? ? ?F1MF2 )

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径: HH ? ?
4

b2 a

3.抛物线

图形

y 2 ? 2 px
标准方程

y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

定义 顶点 离心率 对称轴 范围

与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)

? 0, 0 ?
e ?1

x轴
x?0 x?0

y轴
y?0 y?0

焦点

? p ? F ? ,0? ?2 ?
x?? p 2

? p ? F ? ? ,0? ? 2 ?
x? p 2

p? ? F ? 0, ? 2? ?
y?? p 2

p? ? F ? 0, ? ? 2? ?
y? p 2

准线方程 焦半径

M ( x0, y0 )
通径 焦点弦长 公式 参数 p 的 几何意义

MF ? x0 ?

p 2

MF ? ? x0 ?

p 2

MF ? y0 ?

p 2

MF ? ? y0 ?

p 2

过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径: HH ? ? 2 p

AB ? x1 ? x2 ? p
参数 p 表示焦点到准线的距离, p 越大,开口越阔

关于抛物线焦点弦的几个结论: 设 AB 为过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点的弦, A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,直线 AB 的倾斜角为 ? ,则 ⑴ x1 x2 ?

p2 , y1 y2 ? ? p 2 ; 4

⑵ AB ?

2p ; sin 2 ?

⑶ 以 AB 为直径的圆与准线相切;

B 在准线上射影的张角为 ⑷ 焦点 F 对 A 、


? ; 2

1 1 2 ? ? . | FA | | FB | P
5


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