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江苏省淮安市2013-2014学年高一下学期期末考试+数学试题


江苏淮安市 2013-2014 学年度高一年级学业质量调查测试

数 学 试 卷
本试卷满分共 160 分;考试时间 120 分钟。
题卡相应位置 上. ......

2014.6

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.只要求写出结果,不必写出计算和推理过程.请把答案写在

答 .

1.已知集合 A ? {?1,0, 2,3}, B ? {0,3, 4} ,则 A

B?



.

2.某县区有 A, B, C 三所高中,共有高一学生 4000 人,且 A, B, C 三所学校的高一学生人数之比为 3 : 2 : 5 .现 要从该区高一学生中随机抽取一个容量为 200 的样本,则 A 校被抽到的学生人数为 ▲ 人. 3.若角ɑ的终边经过点 P ? 3m ? 9, m ? 2? ,且 cos ? ≤0 , sin ? ? 0 ,则实数 m 的取值范围是 4.函数 f ( x) ? log2 ( x ?1) ? 4 ? 2x 的定义域是 ▲ 5.若向量 a, b 满足 | a |? 1,| b |? 2 ,且 a 与 b 的夹角为 则 | a ? b |? ▲ . i≤4 6. 运行如图所示的算法流程图,则输出的 s 值为 7.若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先后抛掷两次,则出 现向上的点数之和为 5 的概率是 ▲ . ▲ . . , ▲ .

开始
i ? 1,s ? 1

?
3




s ? 3s ? 1 i ? i+1 第 6 题图

输出 s 结束

?y≥0 ? 8.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ≥ 0 ,则 2 x ? y ? 3 的最大值是 ▲ . ?x ? y ? 4 ≤ 0 ?
9.已知数列 {an } 是等差数列,且 a1 ? a7 ? a13 ? 2? ,则 sin a7 ? ▲ .

10.已知实数 x, y 满足 x ? 1, y ? 1, xy ? 16 ,则 log 2 x log2 y 的最大值为 ▲ . 11.已知 sin(

π 3 π 4 ?? ? ?? ? ? x) ? , sin( ? x) ? ? ,则 tan ? ? x ? tan ? ? x ? = ▲ . 4 5 4 5 ?4 ? ?4 ?

12.已知 {an } 为等比数列, Sn 是它的前 n 项和.若 a2 a3 ? 2a1 ,且 a4 与 2a7 的等差中项为

5 ,则 S5 ? 4


▲ . .

13.已知 M 为 ?ABC 的边 BC 上一点,若 AM ? CM ? 2, BM ? 1 ,则 2 AB ? AC 的最大值为 14. 正 项 数 列 {an } 满 足 a1 ? 1, a2 ? 2 , 又 数 列 { an an ?1 } 是 以

2 为公比的等比数列,则使得不等式 2

1 1 ? ? a1 a2

?

1 a2 n ?1

? 1280 成立的最大整数 n 为



.

二.解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.请把答案写在答题卡相应位置 上. ....... 15.(本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (3, ?4tan ? ), b ? (4,5cos? ) . (1) 若 a ∥ b ,求 sin ? 的值; (2) 若 a ? b ,且 ? ? (0, ) ,求 cos(2? ? ) 的值.

?

?

2

3

16.(本小题满分 14 分) 已知 ?ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (1) 求边 AB 的长; (2) 若 ?ABC 的面积为 sin C ,求角 C 的值.

1 6

17.(本小题满分 14 分) 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品,在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品,称其重量(单 位:克)是否合格,分别记录抽查数据, 制成如图所示的茎叶图. (1)根据样本数据,计算甲、乙两个车间产品重量的 均值与方差,并说明哪个车间的产品的重量相对稳定; 甲 2 4 3 1 1 7 12 11 10 乙 4 0 2 5 8 9

第 17 题图

(2)若从乙车间 6 件样品中随机抽取两件,求所抽取两件样品重量之差不超过 2 克的概率.

18.(本小题满分 16 分) 在某文艺会场中央有一块边长为 a 米( a 为常数)的正方形地面全彩 LED 显示屏如图所示,点 E , F 分 别为 BC , CD 边上异于点 C 的动点.现在顶点 A 处有视角 ?EAF ? 45? 的摄像机,正录制移动区域 ?ECF 内

表演的某个文艺节目.设 DF ? x 米, BE ? y 米. (1) 试将 y 表示为 x 的函数; (2) 求 ?ECF 面积 S 的最大值.

第 18 题图

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b ? a ? a, b ? R ? . (1) 若关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 的解集为 (??, ?1)

(3, ??) ,求实数 a , b 的值;

(2) 设 a ? 2 ,若不等式 f ( x) ? b2 ? 3b 对任意实数 x 都成立,求实数 b 的取值范围;

? f ( x) ? 0 (3) 设 b ? 3 ,解关于 x 的不等式组 ? . ?x ? 1

20.(本小题满分 16 分) 已知递增数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 且满足 a1 ? 1 , 4Sn ? 4n ? 1 ? an 2 . 设 bn ?

1 , n ? N ? , 且数列 an an ?1

{bn } 的前 n 项和为 Tn .
(1) 求证:数列 {an } 为等差数列; (2) 试求所有的正整数 m ,使得

am 2 ? am ?12 ? am ? 22 为整数; am am ?1

(3) 若对任意的 n ? N ? ,不等式 ?Tn ? n ? 18(?1)n?1 恒成立,求实数 ? 的取值范围.

江苏省淮安市 2013-2014 学年度高一年级学业质量调查测试

数学参考答案与评分标准
一、填空题: 1. {0,3} ; 8. 5 ; 二.解答题 15. (1)因为 a // b ,所以 15cos ? ? ?16 tan ? ,……………………………………………2 分 所以 15cos 2 ? ? 16sin ? ? 0 ,即 15sin 2 ? ? 16sin ? ? 15 ? 0 ,………………………………4 分 解得 sin ? ? ? 或 sin ? ? 2. 60 ; 9. 3. ? ?2,3? ; 10.4; 4. (1, 2] ; 11.1; 5. 12.31;

7;
13. 6 ;

6. 41 ; 14. 9 ;

7.

1 ; 9

3 ; 2

3 5

5 3 (舍去),所以 sin ? ? ? . ……………………………………7 分 3 5

(2)因为 a ? b ,所以 a b ? 0 ,即 12 ? 20 tan ? cos ? ? 0 ,

3 , ………………………………………………………9 分 5 ? 4 24 因为 ? ? (0, ) ,所以 cos ? ? ,所以 sin 2? ? 2sin ? cos? ? , 2 5 25 7 cos2? ? 1 ? 2sin 2 ? ? , ………………………………………………………………12 分 25 ? 1 3 1 7 3 24 7 ? 24 3 sin 2? ? ? ? ? ? 所以 cos(2? ? ) ? cos 2? ? . …………14 分 3 2 2 2 25 2 25 50 a b c 16. (1)设 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,由 ? ? ? 2R , sin A sin B sin C a b c 得 sin A ? , ……………………………………………………2 分 ,sin B ? ,sin C ? 2R 2R 2R a b c 又因为 sin A ? sin B ? 2 sin C ,所以 ,即 a ? b ? 2c , ……………4 分 ? ? 2? 2R 2R 2R
所以 12 ? 20sin ? ? 0 ,即 sin ? ? 又 a ? b ? c ? 2 ? 1 ,所以 2c ? c ? 2 ? 1 , c ? 1 ,即 AB ? 1 .……………………………6 分

1 1 1 ab sin C ? sin C ,因为 sin C ? 0 ,所以 ab ? , ……………………8 分 2 6 3 a 2 ? b 2 ? c 2 (a ? b) 2 ? 2ab ? c 2 ? 由(1)知 c ? 1, a ? b ? 2 ,所以 cos C ? 2ab 2ab 2 2 ? ?1 1 3 ? ? , …………………………………………………………………………12 分 2 2 3
(2)由已知得 S ?

因为 C ? (0, ? ) ,所以 C ?

?
3

. ……………………………………………………………14 分 则

2 2 17.(1)设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为 X 甲 X 乙 ,方差分别为 s甲 、 s乙 ,

122 ? 114 ? 113 ? 111 ? 111 ? 107 ? 113 ,……………………………1 分 6 124 ? 110 ? 112 ? 115 ? 108 ? 109 X乙 ? ? 113 ,………………………………2 分 6 1 2 2 2 2 2 2 2 s甲 ? ??122 ? 113? ? ?114 ? 113? ? ?113 ? 113? ? ?111 ? 113? ? ?111 ? 113? ? ?107 ? 113? ? ? ? 6 X甲 ?
? 21 , ………………………4 分
1 2 2 2 2 s乙 ? ??124 ? 113? ? ?110 ? 113? ? ?112 ? 113 ? ? 6
2 2 2 ? ?115 ? 113? ? ?108 ? 113? ? ?109 ? 113? ? ? 29.33 , …………………6 分 ?
2 2 由于 s甲 ,所以甲车间的产品的重量相对稳定;………………………………7 分 ? s乙

(2)从乙车间6件样品中随机抽取两件,结果共有 15 个:

?124,110? , ?124,112?, ?124,115?, ?124,108?, ?124,109?, ?110,112? , ?110,115?, ?110,108?, ?110,109?, ?112,115?, ?112,108? , ?112,109? , ?115,108?, ?115,109?, ?108,109?
.…………………………9 分

设所抽取两件样品重量之差不超过2克的事件为 A,则事件 A 共有 4 个结果:

?110,112? , ?110,108? , ?110,109? , ?108,109? .………………………………………11 分
所以抽取两件样品重量之差不超过 2 克的概率为 P ? A? ? 18.(1)由题意得 tan ?EAD ? , tan ?EAB ?

4 .………………………14 分 15

x a

y , a

因为 ?EAF ? 45? ,所以 ?EAD ? ?EAB ? 45? ,…………………………………………2 分 x y ? tan ?EAD ? tan ?EAB 所以 tan(?EAD ? ?EAB) ? ? 1,即 a a ? 1 ,………………5 分 xy 1 ? tan ?EAD tan ?EAB 1? 2 a a 2 ? ax 所以 y ? ,其中 0 ? x ? a . ………………………………………………………7 分 x?a (2)由 CE ? a ? y, CF ? a ? x ,知 ECF 的面积 S ? CE CF ? (a ? y)(a ? x)

a 2 ? ax 2ax(a ? x) )(a ? x) ? ,0 ? x ? a ,…………………………………………9 分 x?a x?a 2a(t ? a)(2a ? t ) 设 x ? a ? t ,则 x ? t ? a ,其中 0 ? t ? 2 a ,所以 S ? t 2 2 2 ?t ? 3at ? 2a 2a ? 2a ? 2a[3a ? (t ? )] ≤ 2a(3a ? 2 2a2 ) ? (6 ? 4 2)a2 ,…………14 分 t t 当且仅当 t ? 2a ,即 x ? ( 2 ? 1)a 时取等号, …………………………………………15 分 ? (a ?

故 ?ECF 面积 S 的最大值为 (6 ? 4 2)a2 .………………………………………………16 分 19. (1)因为不等式 f ( x) ? x2 ? ax ? b ? a ? 0 的解集为 (??, ?1) 所以由题意得 ?1,3 为函数 x ? ax ? b ? a ? 0 的两个根,
2
2 ? ?? ?1? ? ? ?1? a ? b ? a ? 0 所以 ? ,解得 a ? ?2, b ? ?5 .……………………………………4 分 2 ? ?3 ? 3a ? b ? a ? 0

(3, ??) ,

(2)当 a ? 2 时, x 2 ? 2 x ? b ? 2 ? b2 ? 3b 恒成立,即 x 2 ? 2 x ? 2 ? b2 ? 4b 恒成立. 因为 x2 ? 2x ? 2 ? ? x ? 1? ? 3≥ ?3 ,所以 b2 ? 4b ? ?3 , ………………………………6 分
2

解之得 1 ? b ? 3 ,所以实数 b 的取值范围为 1 ? b ? 3 .……………………………………8 分 (3)当 b ? 3 时, f ( x) ? x2 ? ax ? 3 ? a , f ( x) 的图象的对称轴为 x ? ? .

a 2

? f ( x) ? 0 (ⅰ)当 ? ? 0 ,即 ?6 ? a ? 2 时,由 ? ,得 x ? 1 ,…………………………………10 分 ?x ? 1 (ⅱ)当 ? ? 0 ,即 a ? 2 或 ?6 时

? x2 ? 2 x ? 1 ? 0 ? f ( x) ? 0 ①当 a ? 2 时,由 ? ,得 ? ,所以 x ? 1 , ?x ? 1 ?x ? 1 ? x2 ? 6 x ? 9 ? 0 ? f ( x) ? 0 ②当 a ? ?6 时,由 ? ,得 ? ,所以 1 ? x ? 3 或 x ? 3 ,………………12 分 ?x ? 1 ?x ? 1
(ⅲ)当 ? ? 0 ,即 a ? ?6 或 a ? 2 时,方程 f ( x) ? 0 的两个根为 x1 ?

?a ? a 2 ? 4a ? 12 , 2

?a ? a 2 ? 4a ? 12 , 2 ? f (1) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? a ? ? 6 ①当 时,由 ? a 知 1 ? x1 ? x2 ,所以 ? 的解为 1 ? x ? x1 或 x ? x2 , ? ?3 ?x ? 1 ? ? 2 ? f (1) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? ②当 a ? 2 时,由 ? a 知 x1 ? x2 ? 1 ,所以 ? 的解为 x ? 1 ,…………………14 分 ? ? ?1 ?x ? 1 ? ? 2 综上所述, x2 ?
当 a ≤ ?6 时,不等式组的解集为 (1,

?a ? a 2 ? 4a ? 12 ?a ? a 2 ? 4a ? 12 ) ( , ??) , 2 2

当 a ? ?6 时,不等式组的解集为 (1, ??) .…………………………………………………16 分 20.(1)由 4Sn ? 4n ? 1 ? an 2 ,得 4Sn?1 ? 4(n ? 1) ? 1 ? an?12 (n ≥ 2) ,………………………2 分 所以 4an ? 4 ? an 2 ? an?12 (n ≥ 2) ,即 an 2 ? 4an ? 4 ? an?12 ,即 (an ? 2)2 ? an?12 (n ≥ 2) , 所以 an ? 2 ? an?1 (n ≥ 2) 或 an ? 2 ? ?an ?1 (n ≥ 2) , 即 an ? an?1 ? 2(n ≥ 2) 或 an ? an?1 ? 2(n ≥ 2) ,……………………………………………4 分 若 an ? an?1 ? 2(n ≥ 2) , 则有 a2 ? a1 ? 2 , 又 a1 ? 1 , 所以 a2 ? 1 , 则 a1 ? a2 , 这与数列 {an } 递增矛盾 , 所以

an ? an?1 ? 2(n ≥ 2),故数列 {an } 为等差数列.……………………………6 分

(2) 由(1)知 an ? 2n ? 1 ,所以

am 2 ? am ?12 ? am ? 2 2 (2m ? 1) 2 ? (2m ? 1) 2 ? (2m ? 3) 2 ? am am ?1 (2m ? 1)(2m ? 1)

4m 2 ? 12m ? 7 4m 2 ? 1 ? 12m ? 6 6 ? ?1? ,………………………………………8 分 2 2 4m ? 1 4m ? 1 2m ? 1 6 6 因为 1 ? ? Z ,所以 ? Z ,又 2m ? 1≥1 且 2m ? 1 为奇数,所以 2 m ? 1 ? 1 或 2m ? 1 ? 3 ,故 m 的值 2m ? 1 2m ? 1 ?
为 1 或 2 .……………………………………………………………10 分 (3) 由(1)知 an ? 2n ? 1 ,则 bn ? 所以 Tn ? b1 ? b2 ?

1 1 1 1 ? ( ? ), (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 ? bn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? )] 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ,……………………………………………………………………12 分 ? (1 ? )? 2 2n ? 1 2n ? 1 n 从而 ? ? n ? 18(?1)n?1 对任意 n ? N ? 恒成立等价于, 2n ? 1 (2n ? 1)(n ? 18) 当 n 为奇数时, ? ? 恒成立, n (2n ? 1)(n ? 18) 9 记 f (n) ? ,则 f (n) ? 2(n ? ) ? 37 ≥ 49 ,当 n ? 3 时取等号,所以 ? ? 49 , n n (2n ? 1)(n ? 18) 当 n 为偶数时, ? ? 恒成立. n (2n ? 1)(n ? 18) 9 记 g (n) ? ,因为 g (n) ? 2(n ? ) ? 35 递增,所以 g (n) min ? g (2) ? ?40 , n n
所以 ? ? ?40 .综上,实数 ? 的取值范围为 ? ? ?40 .………………………………………16 分


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