kl800.com省心范文网

2018版高考数学大一轮复习高考专题突破六高考中的概率与统计问题文北师大版


2018 版高考数学大一轮复习 高考专题突破六 高考中的概率与统计 问题 文 北师大版

1.(2017·安阳质检)一射手对同一目标进行 4 次射击,且射击结果之间互不影响.已知至少 80 命中一次的概率为 ,则此射手的命中率为( 81 A. 1 1 B. 9 3 2 C. 3 8 D. 9 )

答案 C 80 4 解析 设此射手未命中目标的概率为 p,则 1-p = , 81 1 2 所以 p= ,故 1-p= . 3 3 2.在可行域内任取一点,其规则如算法框图所示,则能输出数对(x,y)的概率是( )

A.

π 8

π B. 4

π C. 6

π D. 2

答案 B 解析 依题意可行域为正方形,输出数对(x,y)形成的图形为图中阴影部分,故所求概率为 1 ? 2?2 π? ? 4 ? 2? π P= = . 2 2 4 · 2 2

1

3.(2016·西安模拟)红、蓝两色车、马、炮棋子各一枚,将这 6 枚棋子按车、马、炮顺序排 成一列,记事件“每对同字的棋子中,均为红棋子在前,蓝棋子在后”为事件 A,则事件 A 发生的概率为( A. 1 1 B. 20 12 )

1 1 C. D. 8 6

答案 C 解析 红、蓝两色车、马、炮棋子各一枚,将这 6 枚棋子按车、马、炮顺序排成一列,基本 事件总数 n=2×2×2=8. 每对同字的棋子中,均为红棋子在前,蓝棋子在后为事件 A, 则事件 A 包含的基本事件个数 m=1,

m 1 ∴事件 A 发生的概率 P= = . n 8
4 .(2016·哈尔滨模拟 ) 甲、乙、丙三人站成一排照相,则甲、乙两人相邻而站的概率为 ________. 答案 2 3

解析 甲、乙、丙三人随机地站成一排有(甲乙丙),(甲丙乙),(乙甲丙),(乙丙甲),(丙甲 4 2 乙),(丙乙甲)共 6 种排法,由概率计算公式得,甲、乙两人相邻而站的概率为 = . 6 3 5.为了从甲、乙两名运动员中选拔一人参加某次运动会跳水项目,对甲、乙两名运动员进行 培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 6 次,得到茎叶图如图所 示.从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑,你认为选派________(填甲或乙)运动员合适.

答案 甲 解析 根据茎叶图, 1 可得 x 甲= ×(78+79+81+84+93+95)=85, 6

2

x 乙= ×(75+80+83+85+92+95)=85.
2 2 2 2 2 2 s2 甲= ×[(78-85) +(79-85) +(81-85) +(84-85) +(93-85) +(95-85) ]=

1 6

1 6 1 6

133 , 3 139 . 3

2 2 2 2 2 2 s2 乙= ×[(75-85) +(80-85) +(83-85) +(85-85) +(92-85) +(95-85) ]=

因为 x 甲= x 乙,s甲<s乙,所以甲运动员的成绩比较稳定,选派甲运动员参赛比较合适.

2

2

题型一 古典概型与几何概型 例1 (1)(2016·山东)在[-1,1]上随机地取一个数 k,则事件“直线 y=kx 与圆(x-5) +
2

y2=9 相交”发生的概率为________.
1 1 1 (2)若任意 x∈A,则 ∈A,就称 A 是“和谐”集合,则在集合 M={-1,0, , ,1,2,3,4} x 3 2 的所有非空子集中,“和谐”集合的概率是________. 3 1 答案 (1) (2) 4 17 解析 (1)由已知得,圆心(5,0)到直线 y=kx 的距离小于半径,∴ 3 ? 3? -? - ? 4 ? 4? 3 由几何概型得 P= = . 1-?-1? 4 1 1 (2)由题意,“和谐”集合中不含 0 和 4,而 2 和 ,3 和 成对出现,1 和-1 可单独出现,故 2 3 1 1 1 1 “和谐”集合分别为{1},{-1},{-1,1},{2, },{3, },{1,3, },{1,2, },{-1,2, 2 3 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 },{-1,3, },{3, ,2, },{2, ,1,-1},{3, ,1,-1},{1,3, ,2, },{- 2 3 3 2 2 3 3 2 1 1 1 1 8 1,3, ,2, },{3, ,2, ,1,-1},共 15 个,而集合 M 的非空子集有 2 -1=255 个, 3 2 3 2 15 1 故“和谐”集合的概率是 P= = . 255 17 思维升华 几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性,几何概型经常涉及的几 何度量有长度、面积、体积等,解决几何概型的关键是找准几何测度;古典概型是命题的重 点,对于较复杂的基本事件空间,列举时要按照一定的规律进行,做到不重不漏. (1)(2016·江苏)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先后抛掷 2 次,则出现向上的点数之和小于 10 的概率是________.
3

|5k|
2

3 3 <3,解得- <k< , 4 4 k +1

(2)(2016·济南月考)已知函数 f(x)=x +bx+c,其中 0≤b≤4,0≤c≤4,记函数 f(x)满足 条件?
?f?2?≤12, ? ? ?f?-1?≤3

2

为事件 A,则事件 A 发生的概率为(

)

A.

5 5 B. 8 16

3 C. 8

1 D. 2

5 答案 (1) (2)A 6 解析 (1)基本事件共有 36 个.列举如下:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),其中满足点数之和小于 10 的有 30 个.故所 30 5 求概率为 P= = . 36 6 (2)?
? ?f?2?≤12, ?f?-1?≤3 ? ? ?2b+c≤8, 即为? ?-b+c≤2. ? ? ?2b+c≤8, 作出 0≤b≤4,0≤c≤4 及? ?-b+c≤2 ?

表示的区

16-6 5 域(图略),由几何概型概率公式得所求概率为 P= = . 16 8 题型二 概率与统计的综合应用 例2 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产品获利润 500 元,未售

出的产品,每 1 t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方 图, 如图所示. 经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品. 以 X(单位: t,100≤X≤150) 表示下一个销售季度内的市场需求量, T(单位: 元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利 润.

(1)将 T 表示为 X 的函数; (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率; 解 (1)当 X∈[100,130)时,

T=500X-300(130-X)=800X-39 000.
当 X∈[130,150]时,T=500×130=65 000.

4

?800X-39 000,100≤X<130, ? 所以 T=? ? ?65 000,130≤X≤150.

(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7, 所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7. 跟踪训练 2 (2016·衡阳模拟)某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生, 将他们的期中考 试数学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段:[40,50),[50,60),?, [90,100]后得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中实数 a 的值; (2)若该校高一年级共有 640 人, 试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 60 分的人数; (3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取 2 名学生,求这 2 名 学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率. 解 (1)由已知,得 10×(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)=1,解得 a=0.03. (2)根据频率分布直方图, 可知成绩不低于 60 分的频率为 1-10×(0.005+0.010)=0.85.由 于该校高一年级共有学生 640 人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级期中考试 数学成绩不低于 60 分的人数为 640×0.85=544. (3)易知成绩在[40,50)分数段内的人数为 40×0.05=2, 这 2 人分别记为 A, B; 成绩在[90,100] 分数段内的人数为 40×0.1=4, 这 4 人分别记为 C, D, E, F.若从数学成绩在[40,50)与[90,100] 两个分数段内的学生中随机选取 2 名学生,则所有的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D), (A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E), (D,F),(E,F),共 15 个.如果 2 名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100] 分数段内, 那么这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10.如果一个成绩在[40,50) 分数段内,另一个成绩在[90,100]分数段内,那么这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值一定 大于 10.记“这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10”为事件 M,则事件 M 包含的基
5

本事件有(A,B),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共 7 个,故所求概 7 率 P(M)= . 15 题型三 概率与统计案例的综合应用 例 3 (2016·湖北武汉华中师大一附中期末)某高中采取分层抽样的方法从应届高二学生中 按照性别抽出 20 名学生作为样本,其选报文科、理科的情况如下表所示. 性别 男 科目 文科 理科 2 10 5 3 女

(1)若在该样本中从报考文科的男生和报考理科的女生中随机地选出 3 人召开座谈会, 试求 3 人中既有男生也有女生的概率; (2)用独立性检验的方法分析有多大的把握认为该中学的高二学生选报文理科与性别有关?

n?ad-bc? 2 参考公式:χ = (其中 n=a+b+c+d) ?a+b??c+d??a+c??b+d? P(χ 2≥k0) k0
0.10 2.706 0.05 3.841 0.01 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

2

解 (1)报考文科的 2 名男生记为 A1,A2,报考文科的 3 名女生记为 B1,B2,B3,从 5 人中选 3 人有 (A1,A2,B1),(A1,A2,B2),(A1,A2,B3),(A1,B1,B2),(A1,B1,B3),(A1,B2,B3),(A2,

B1,B2),(A2,B1,B3),(A2,B2,B3),(B1,B2,B3),共 10 种.
3 人中既有男生也有女生的有 9 种, 9 ∴所求概率为 . 10 20×?2×3-10×5? 2 (2)χ = ≈4.432>3.841,可知有 95%以上的把握认为该中学的高二学 12×8×13×7 生选报文理科与性别有关. 思维升华 统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主,概率以考查概 率计算为主,往往和实际问题相结合,要注意理解实际问题的意义,使之和相应的概率计算 对应起来,只有这样才能有效地解决问题. 为了解大学生观看某卫视某综艺节目是否与性别有关,一所大学心理学教师从 该校学生中随机抽取了 50 人进行问卷调查,得到了如下的列联表:
6
2

喜欢看“某综艺节目” 女生 男生 合计 10

不喜欢看“某综艺节目” 5

合计

50

若该教师采用分层抽样的方法从 50 份问卷调查中继续抽查了 10 份进行重点分析,知道其中 喜欢看“某综艺节目”的有 6 人. (1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有 99.5%的把握认为喜欢看“某综艺节目”与性别有关?说明你的理由; (3)已知喜欢看“某综艺节目”的 10 位男生中,A1,A2,A3,A4,A5 还喜欢看新闻,B1,B2,B3 还喜欢看动画片,C1,C2 还喜欢看韩剧,现在从喜欢看新闻、动画片和韩剧的男生中各选出 1 名进行其他方面的调查,求 B1 和 C1 不全被选中的概率. 下面的临界值表供参考:

P(χ 2≥k0) k0

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841
2

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n?ad-bc? 2 (参考公式:χ = ,其中 n=a+b+c+d) ?a+b??c+d??a+c??b+d?
6 解 (1)由分层抽样知识知,喜欢看“某综艺节目”的同学有 50× =30(人),故不喜欢看 10 “某综艺节目”的同学有 50-30=20(人),于是可将列联表补充如下: 喜欢看“某综艺节目” 女生 男生 合计 20 10 30
2

不喜欢看“某综艺节目” 5 15 20

合计 25 25 50

50×?20×15-10×5? 2 (2)∵χ = ≈8.333>7.879. 30×20×25×25 ∴有 99.5%的把握认为喜欢看“某综艺节目”与性别有关. (3)从喜欢看“某综艺节目”的 10 位男生中选出喜欢看韩剧、喜欢看新闻、喜欢看动画片的 各 1 名,其一切可能的结果组成的基本事件共有 N=5×3×2=30(个),用 M 表示“B1,C1 不 全被选中”这一事件,则其对立事件 M 表示“B1,C1 全被选中”这一事件,由于 M 由(A1,B1,

C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1),(A4,B1,C1),(A5,B1,C1)5 个基本事件组成,所以 P( M )

7

5 1 = = . 30 6 由对立事件的概率公式得

P(M)=1-P( M )=1- = .

1 5 6 6

1.甲、乙两人进行两种游戏,两种游戏规则如下: 游戏Ⅰ:口袋中有质地、大小完全相同的 5 个球,编号分别为 1,2,3,4,5,甲先摸出一个球, 记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢. 游戏Ⅱ:口袋中有质地、大小完全相同的 6 个球,其中 4 个白球、2 个红球,由裁判有放回 地摸两次球,即第一次摸出记下颜色后放回再摸第二次,摸出两球同色算甲赢,摸出两球不 同色算乙赢. (1)求游戏Ⅰ中甲赢的概率; (2)求游戏Ⅱ中乙赢的概率,并比较这两种游戏哪种游戏更公平,试说明理由. 解 (1)∵游戏Ⅰ中有放回地依次摸出两球的基本事件有 5×5=25(个),其中甲赢有(1,1), (1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),(2,2),(2,4),(4,4),(4,2), 13 共 13 个基本事件,∴游戏Ⅰ中甲赢的概率为 P= . 25 (2)设 4 个白球为 a,b,c,d,2 个红球为 A,B,则游戏Ⅱ中有放回地依次摸出两球,基本事 件有 6×6=36(个),其中乙赢有(a,A),(b,A),(c,A),(d,A),(a,B),(b,B),(c,

B),(d,B),(A,a),(A,b),(A,c),(A,d),(B,a),(B,b),(B,c),(B,d),共 16
个基本事件, 16 4 ∴游戏Ⅱ中乙赢的概率为 P′= = . 36 9 13 1 4 1 ∵| - |<| - |,∴游戏Ⅰ更公平. 25 2 9 2 2.在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,b4=8,{an}的前 10 项和 S10=55. (1)求 an 和 bn; (2)现分别从{an}和{bn}的前 3 项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项的值 相等的概率. 10×9 解 (1)设数列{an}的公差为 d,数列{bn}的公比为 q.依题意得 S10=10+ d=55,b4=q3 2
8

=8, 解得 d=1,q=2,所以 an=n,bn=2
n-1

.

(2)分别从{an}和{bn}的前 3 项中各随机抽取一项,得到的基本事件有(1,1),(1,2),(1,4), (2,1),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),共 9 个. 符合题意的基本事件有(1,1),(2,2),共 2 个. 2 故所求的概率 P= . 9 3. 某班甲、 乙两名同学参加 100 米达标训练, 在相同条件下两人 10 次训练的成绩(单位: 秒) 如下: 1 甲 乙 11.6 12.3 2 12.2 13.3 3 13.2 14.3 4 13.9 11.7 5 14.0 12.0 6 11.5 12.8 7 13.1 13.2 8 14.5 13.8 9 11.7 14.1 10 14.3 12.5

(1)请画出茎叶图.如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的 100 米比赛,从成绩的稳定性 方面考虑,选派谁参加比赛更好,并说明理由(不用计算,可通过统计图直接回答结论); (2)经过对甲、乙两位同学的若干次成绩的统计,甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5,14.5]之 间,现甲、乙比赛一次,求甲、乙成绩之差的绝对值小于 0.8 秒的概率. 解 (1)甲、乙两人 10 次训练的成绩的茎叶图如图:从统计图中可以看出,乙的成绩较为集 中,差异程度较小,乙成绩的稳定性更好,所以选派乙同学代表班级参加比赛更好.

(2)设甲同学的成绩为 x,乙同学的成绩为 y, 则|x-y|<0.8, 得 x-0.8<y<0.8+x, 如图,阴影部分面积即为 3×3-2.2×2.2=4.16, 则 P(|x-y|<0.8)=P(x-0.8<y<0.8+x) = 4.16 104 = . 3×3 225

9

4.(2016·贵阳模拟)一次考试中,五名学生的数学、物理成绩如下表所示: 学生 数学成绩 x(分) 物理成绩 y(分)

A1
89 87

A2
91 89

A3
93 89

A4
95 92

A5
97 93

(1)要从 5 名学生中选 2 人参加一项活动,求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于 90 分 的概率; (2)根据上表数据, 用变量 y 与 x 的相关系数和散点图(在所给坐标系中画出)说明物理成绩 y 与数学成绩 x 之间线性相关关系的强弱.如果具有较强的线性相关关系,求 y 与 x 的线性回 归方程(系数精确到 0.01),如果不具有线性相关关系,请说明理由.

参考公式:
n

相关系数 r=

∑ ?xi- x ??yi- y ? i=1
n
2

n
2

∑ ?xi- x ? i ∑ ?yi- y ? i=1 =1 线性回归方程是 y=bx+a,
n

∑ ?xi- x ??yi- y ? i=1 其中 b= ,a= y -b x ; n 2 ∑ ? x i- x ? i=1

yi 是与 xi 对应的回归估计值.
5

参考数据: x =93, y =90,∑ (xi- x ) =40, i=1
5

2

∑ (yi- y ) =24, i=1
5

2

∑ (xi- x )(yi- y )=30, 40≈6.32, 24≈ 4.90. i=1 解 (1)从 5 名学生中任取 2 名学生的所有情况有

10

(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A3,A4),(A3,A5), (A4,A5),共 10 种. 其中至少有一人的物理成绩高于 90 分的情况有 (A1,A4),(A1,A5),(A2,A4),(A2,A5),(A3,A4),(A3,A5),(A4,A5),共 7 种, 7 故选中的学生中至少有一人的物理成绩高于 90 分的概率为 . 10 (2)变量 y 与 x 的相关系数是 r= 30 ≈ ≈0.97. 40× 24 30.97 30

可以看出,物理成绩与数学成绩高度正相关.

b= =0.75,a=90-0.75×93=20.25,
故线性回归方程为 y=0.75x+20.25. 散点图如图所示: 从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近,并且在逐步上升,故物理成绩与数学成 绩正相关.

30 40

11


江苏专用2018版高考数学大一轮复习高考专题突破六高考...

江苏专用2018版高考数学大一轮复习高考专题突破六高考中的概率与统计问题教师用书文_数学_高中教育_教育专区。高考专题突破六 高考中的概率与统计问题 1.(2017·淮安...

2018版高考数学大一轮复习高考专题突破五高考中的圆锥...

2018版高考数学大一轮复习高考专题突破高考中的圆锥曲线问题文北师大版_数学_高中教育_教育专区。2018 版高考数学大一轮复习 高考专题突破高考中的圆锥曲线问 ...

2018版高考数学大一轮复习高考专题突破四高考中的不等...

2018版高考数学大一轮复习高考专题突破高考中的不等式问题试题理_数学_高中教育_教育专区。高考专题突破四 高考中的不等式问题试题北师大版 1.正三棱柱 ABC...

...2018版高考数学大一轮复习高考专题突破六高考中的圆...

浙江专用2018版高考数学大一轮复习高考专题突破六高考中的圆锥曲线问题_数学_高中教育_教育专区。(浙江专用) 2018 版高考数学大一轮复习 高考专题突破六 高考中的 ...

2018版高考数学大一轮复习高考专题突破四高考中的立体...

2018版高考数学大一轮复习高考专题突破高考中的立体几何问题文新人教版_数学_高中教育_教育专区。2018 版高考数学大一轮复习 高考专题突破高考中的立体几何问 ...

浙江专用2018版高考数学大一轮复习高考专题突破五高考...

浙江专用2018版高考数学大一轮复习高考专题突破高考中的立体几何问题_数学_高中教育_教育专区。(浙江专用) 2018 版高考数学大一轮复习 高考专题突破高考中的 ...

2018版高考数学大一轮复习高考专题突破三高考中的数列...

2018版高考数学大一轮复习高考专题突破高考中的数列问题文新人教版_数学_高中教育_教育专区。2018 版高考数学大一轮复习 高考专题突破高考中的数列问题 文 新...

2018版高考数学大一轮复习高考专题突破二高考中的三角...

2018版高考数学大一轮复习高考专题突破高考中的三角函数与平面向量问题试题理_...高考专题突破二 高考中的三角函数与平面向量问题试题北师大 版 π 1.(...

浙江专用2018版高考数学大一轮复习高考专题突破一高考...

(浙江专用)2018 版高考数学大一轮复习 高考专题突破高考中 的导数应用问题教师用书 1.若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1,+∞)上单调递增,则 k 的取值范围...

江苏专用2018版高考数学大一轮复习高考专题突破四高考...

江苏专用2018版高考数学大一轮复习高考专题突破高考中的立体几何问题教师用书理_数学_高中教育_教育专区。高考专题突破四 高考中的立体几何问题教师用书 理 苏教版...

相关文档