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2013-2014学年高中数学人教A版选修1-1同步辅导与检测:2.2.2双曲线的简单几何性质


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圆锥曲线与方程

2 .2 2.2.2

双曲线

双曲线的简单几何性质

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双曲线的几何性质:(请同学们自己填写表中空白的 内容) 标准 方程

x2 y2 2- 2=1 a b
(a>0,b>0)

y2 x2 - =1 a2 b2

(a>0,b>0)

图 形

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焦点 焦距 范围 性 对称性 质 顶点 轴 |x|≥a F1(-c,0),F2(c,0) 2c |y|≥a F1(0,-c),F2(0,c)

关于x、y轴对称,关于原点对称 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)

离心率
渐近线

实轴A1A2长为2a,虚轴B1B2长为2b c e= a
b y=± x a

a y=± x b

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1.双曲线的有关几何元素 求双曲线的顶点、焦点、轴长、离心率、渐近线 方程时,要先将方程化成双曲线的标准形式,然后求 a、b,即可得到所求. 2.双曲线的渐近线方程 x2 y2 b 双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 y=± x,双曲线 a b a y2 x2 a - =1 的渐近线方程为 y=± x,一般情况下,先求 a2 b2 b a、b,再写方程.两者容易混淆.可将双曲线方程中右 边的“1”换成“0”,然后因式分解即得渐近线方程, 这样就不至于记错了.

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(1) 若已知渐近线方程为 mx± ny=0,求双曲线方程. 双曲线的焦点可能在 x 轴上,也可能在 y 轴上,可用下 面的方法来解决: 法一:分两种情况设出方程进行讨论; 法二:依据渐近线方程,设出双曲线为 m2x2-n2y2=λ(λ≠0),求出 λ 即可. x2 y2 (2)与 2- 2=1 共渐近线的双曲线方程可设为 a b x2 y2 - =λ(λ≠0). a2 b2

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求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标,焦点 坐标,实轴长,虚轴长,离心率和渐近线方程.
2 2 x y 解析:将 9y2-4x2=-36 变形为 - =1, 9 4 x2 y2 即 2- 2=1, 3 2 ∴a=3,b=2,c= 13. 因此顶点坐标 A1(-3,0),A2(3,0); 焦点坐标 F1(- 13,0),F2( 13,0), c 13 实轴长 2a=6;虚轴长 2b=4;离心率 e= = ; a 3 2 渐近线方程为:y=± x. 3

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变式迁移

x2 y2 1.(1)双曲线 - =1 的焦点坐标为______, 16 9 离心率为________,渐近线方程为________. x2 y2 4 (2) 与椭圆 + =1 有相同焦点且以直线 y=± x 49 24 3 为渐近线的双曲线方程是( ) x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 9 16 16 9 y2 x2 y2 x2 C. - =1 D. - =1 16 9 9 16

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解析:(1)焦点坐标为(-5,0),(5,0), c 5 3 离心率为 = ,渐近线方程为 y=± x. a 4 4 x2 y2 (2)椭圆 + =1 中, 49 24 a2=49,b2=24, c= a2-b2=5. ∴焦点坐标为(-5,0),(5,0) ∴双曲线的焦点在 x 轴上,且 c=5.又渐近线方程为 4 b 4 y=± x,即 = ,于是可求得 a=3,b=4. 3 a 3 x2 y2 ∴双曲线的方程是 - =1.故选 A. 9 16 5 3 答案:(1)(-5,0),(5,0), ,y=± x (2)A 4 4 返回 金品质?高追求 我们让你更放心!

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根据以下条件,分别求出双曲线的标准方程. 5 (1)过点 P(3,- 2),离心率 e= ; 2 (2)F1,F2 是双曲线的左、右焦点,P 是双曲线上一点, 且∠F1PF2=60° ,S△PF1F2=12 3,又离心率为 2.

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解析:(1) 依题意,双曲线的实轴可能在 x 轴上, 也可能在 y 轴上. x2 y2 当双曲线的实轴在 x 轴上时,设 2- 2=1 为所求, a b a2+b2 5 5 c2 5 由 e= , 2= ,即 2 = ,∴a2=4b2① 2 a 4 a 4 9 2 又点 P(3,- 2)在双曲线上,∴ 2- 2=1② a b 1 由①②得 a =1,b = . 4
2 2

y2 x2 当双曲线的实轴在 y 轴上时,设 2- 2=1 为所求. a b 返回 金品质?高追求 我们让你更放心! 2

1 ◆数学?选修 1-1?得 (配人教 版 )◆ 由①② a =1A , b = . 4
2 2

y2 x2 当双曲线的实轴在 y 轴上时,设 2- 2=1 为所求. a b c2 5 2 9 同理有 2= , 2- 2=1,a2+b2=c2 解之, a 4 a b 17 得 b =- (不合题意,舍去). 2
2

故双曲线的实轴只能在 x 轴上,
2 y 2 所求双曲线的标准方程为 x - =1. 1 4

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x2 y2 (2)设双曲线方程为 2- 2=1, a b c 由 e= =2,得 c=2a. a ∴|F1F2|=2c=4a, 由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=± 2a, 1 又 S△PF1F2= |PF1||PF2|sin 60° =12 3. 2 ∴|PF1||PF2|=48. 由余弦定理,得 (2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60° =(|PF1|-|PF2|)2+|PF1||PF2|, ∴(4a)2=(2a)2+48, 解得,a2=4,c2=16,b2=12. x2 y2 故所求的双曲线的标准方程为 - =1. 4 12 金品质?高追求 我们让你更放心!

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变式迁移

x2 y2 2.求与双曲线 - =1 共渐近线且过点 A(2 3,-3) 16 9 的双曲线方程.

x2 y2 解析:设所求双曲线方程为 - =λ(λ≠0). 16 9 1 将点(2 3,-3)代入,得 λ=- , 4 y2 x2 ∴双曲线方程为 - =1. 9 4 4

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两焦点,PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦,如果

x2 y2 已知F1,F2是双曲线 2- 2=1 (a>b>0)的 a b

∠PF2Q=90°,求双曲线的离心率.

x2 y2 解析:设 F1(c,0),将 x=c 代入双曲线 2- 2=1, a b b2 那么 y=± .由|PF2|=|QF2|,∠PF2Q=90° , a 知|PF1|=|F1F2|, b2 ∴ =2c,∴b2=2ac, a c ?2 c 2 2 ? ∴c -2ac-a =0,∴ a -2× -1=0. a ? ? 即有 e2-2e-1=0,解得 e=1+ 2(舍去 e=1- 2). 所以所求双曲线的离心率 e=1+ 2.

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变式迁移

x2 y2 3.已知双曲线 C 的方程为 2- 2=1(a>b>0),离心率 a b 5 2 5 e= ,顶点到渐近线的距离为 .求双曲线 C 的方程. 2 5 解:设双曲线的一个顶点 A1(a,0),其中一条渐近线为:

? ? bx-ay=0,依题意有? |ab| =2 a +b ? ?5
c 5 = a 2
2 2

5

2 x 解得 a2=4,b2=1,故双曲线方程为: -y2=1. 4

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过点P(8,1)的直线与双曲线x2-4y2=4相交于A、 B两点,且P是线段AB的中点,求直线AB的方程.

解析:设 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 2 x2 - 4 y 1 1=4① 2 x2 - 4 y 2 2=4② ①-②得 (x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0, ∵P 是线段 AB 的中点,∴x1+x2=16,y1+y2=2. y1-y2 x1+x2 ∴ = =2,即直线 AB 的斜率为 2. x1-x2 4?y1+y2? ∴直线 AB 的方程为 2x-y-15=0.
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变式迁移 4.双曲线两条渐近线方程为x+2y=0和x-2y=0.且 截直线x-y-3=0所得弦长为 8 3 ,试求双曲线方程.
3

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解析:∵渐近线方程为 x+2y=0 和 x-2y=0, ∴可设双曲线方程为 x2-4y2=λ, 2 2 ? x - 4 y =λ ? 2 ? 由 ?3x -24x+36+λ=0. ? ?x-y-3=0 Δ=242-4×3×(36+λ)>0,即 λ<12. 36+λ 又 x1+x2=8,x1x2= , 3 ∴由弦长公式得 8 3 2 2 ?1+k ?[?x1+x2? -4x1x2]= . 3 x2 2 解得 λ=4,故所求的双曲线方程为 -y =1. 4
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