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2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识):8.6 抛 物 线


课时跟踪检测(五十四) 抛 物 线

1.(2012· 合肥模拟)已知点 P(2,y)在抛物线 y2=4x 上,则 P 点到抛物线焦点 F 的距离 为( ) A.2 C. 3 B.3 D. 2

1 x2 y2 2.(2012· 安徽模拟)若抛物线 y2= x 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合,则 p 的值 2p 6 2 为( ) 1

A. 16 C.-4 1 B. 8 D.4

3.(2012· 杭州模拟)若点 A 的坐标是(3,2),F 是抛物线 y2=2x 的焦点,点 P 在抛物线上 移动,为使得|PA|+|PF|取得最小值,则 P 点的坐标是( A.(1,2) C.(2,2)
2

)

B.(2,1) D.(0,1)

4.(2013· 大同模拟)已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与曲线 x2+y2-6x-7=0 相切,则 p 的值为( A.2 1 C. 2 ) B.1 1 D. 4

1 5. (2012· 西安模拟)角 α 的终边经过点 A(- 3, 且点 A 在抛物线 y=- x2 的准线上, a), 4 则 sin α 等于( 1 A.- 2 C.- 3 2 ) 1 B. 2 D. 3 2

6.如图,F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A、B、C 在抛物线上,若 FA + FB + FC =0,则| FA |+| FB |+| FC |=( A.6 C.3

??? ?

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) B.4 D.2

7.(2013· 乌鲁木齐模拟)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交 y 轴于 点 A,抛物线上有一点 B 满足 OB ,= OA ,+ OF , (O 为坐标原点),则△BOF 的面积是 ________.

??? ?

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1 1 8.(2012· 渭南模拟)已知抛物线 C:y= x2,则过抛物线焦点 F 且斜率为 的直线 l 被抛 4 2 物线截得的线段长为________. 9.(2013· 广州模拟)已知直线 y=k(x-2)(k>0)与抛物线 y2=8x 相交于 A,B 两点,F 为 抛物线的焦点,若|FA|=2|FB|,则 k 的值为________. 10.(2011· 福建高考)如图,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x2=4y 相 切于点 A. (1)求实数 b 的值; (2)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.

11.如图,过抛物线 y2=4px(p>0)上一定点 M(x0,y0)(y0>0)作两条直 线,分别交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2). (1)求该抛物线上纵坐标为 4p 的点到点(p,0)的距离; y1+y2 (2)当 MA 与 MB 的斜率都存在,且 =-2 时,求 MA 与 MB 的 y0 斜率之和; (3)证明:直线 AB 不可能平行于 x 轴.

x2 y2 3 12.(2012· 安徽模拟)已知椭圆 C1: + 2=1(0<b<2)的离心率为 ,抛物线 C2:x2= 4 b 2 2py(p>0)的焦点是椭圆的顶点. (1)求抛物线 C2 的方程; (2)过点 M(-1,0)的直线 l 与抛物线 C2 交于 E,F 两点,过 E,F 作抛物线 C2 的切线 l1, l2,当 l1⊥l2 时,求直线 l 的方程.

1.(2012· 郑州模拟)如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交 抛物线于点 A、B,交其准线于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物 线的方程为( A.y2=9x C.y2=3x ) B.y2=6x D.y2= 3x

2.(2012· 安徽高考)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 为坐 标原点.若|AF|=3,则△AOB 的面积为( A. 2 2 ) B. 2 D.2 2

3 2 C. 2

1 3.(2012· 浙江高考)如图,在直角坐标系 xOy 中,点 P?1,2?到抛 ? ? 5 物线 C:y2=2px(p>0)的准线的距离为 .点 M(t,1)是 C 上的定点,A,B 4 是 C 上的两动点,且线段 AB 被直线 OM 平分. (1)求 p,t 的值; (2)求△ABP 面积的最大值.





课时跟踪检测(五十四) A级 1.选 B ∵点 P(2,y)在抛物线 y =4x 上, ∴点 P 到焦点 F 的距离等于点 P 到准线 x=-1 的距离.∵点 P 到准线 x=-1 的距离 为 3,∴点 P 到焦点 F 的距离为 3. 1 2.选 A 椭圆的右焦点(2,0),故 p= . 16 1 3. C 易知点 A(3,2)在抛物线 y2=2x 的内部, 选 借助图像可得|PF|与 P 到准线 x=- 的 2 距离相等,则|PA|+|PF|最小时,P 点应为过 A 作的准线的垂线与抛物线的交点,故 P 的纵 坐标为 2,横坐标为 2. p 4.选 A 注意到抛物线 y2=2px 的准线方程是 x=- ,曲线 x2+y2-6x-7=0,即(x 2 p -3)2+y2=16 是圆心为(3,0),半径为 4 的圆.于是依题意有?2+3?=4. ? ? p 又 p>0,因此有 +3=4,解得 p=2. 2 5.选 B 抛物线标准方程为 x2=-4y,准线为 y=1, 得 a=1,sin α= 1 = . ?- 3? +1 2
2 2 2

1

6.选 A 设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),∵F(1,0), ∴ FA + FB + FC =(x1+x2+x3-3,y1+y2+y3)=0,
? ?x1+x2+x3=3, ∴? 又 p=2, ?y1+y2+y3=0. ?

??? ?

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∴| FA |+| FB |+| FC | p p p =x1+ +x2+ +x3+ =3+3=6. 2 2 2 7.解析:由题可知 F(1,0),可设过焦点 F 的直线方程为 y=k(x-1)(可知 k 存在),则

??? ?

??? ?

??? ?

A(0,-k),∴B(1,-k),由点 B 在抛物线上,得 k2=4,k=± 2,即 B(1,± 2), 1 1 S△BOF= · |yB|= ×1×2=1. |OF|· 2 2 答案:1 1 8. 解析: 由题意得 l 的方程为 y= x+1, x=2(y-1). 即 代入抛物线方程得 y=(y-1)2, 2 即 y2-3y+1=0.设线段端点坐标为(x1,y1),(x2,y2),则线段长度为 y1+y2+p=5. 答案:5
? 2 ?y =8x, 9.解析:直线 y=k(x-2)恰好经过抛物线 y2=8x 的焦点 F(2,0),由? 可得 ?y=k?x-2? ?

8 ky2-8y-16k=0,因为|FA|=2|FB|,所以 yA=-2yB,则 yA+yB=-2yB+yB= ,所以 yB=- k 8 ,y · =-16,所以-2y2 =-16,即 yB=± 2,又 k>0, y 2 B k A B 故 k=2 2. 答案:2 2
? ?y=x+b, 10.解:(1)由? 2 得 x2-4x-4b=0,(*) ?x =4y ?

因为直线 l 与抛物线 C 相切, 所以 Δ=(-4)2-4×(-4b)=0. 解得 b=-1. (2)由(1)可知 b=-1,故方程(*)为 x2-4x+4=0. 解得 x=2,代入 x2=4y,得 y=1, 故点 A(2,1). 因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切, 所以圆 A 的半径 r 就等于圆心 A 到抛物线的准线 y=-1 的距离, 即 r=|1-(-1)|=2, 所以圆 A 的方程为(x-2)2+(y-1)2=4. 11.解:(1)当 y=4p 时,x=4p,抛物线的准线方程为 x=-p,焦点为(p,0),抛物线上 纵坐标为 4p 的点到点(p,0)的距离,就是该点到焦点的距离,由抛物线的定义得,所求距离 为 4p-(-p)=5p. (2)设直线 MA 的斜率为 kMA,MB 的斜率为 kMB, 由 y2=4px1,y2=4px0, 1 0 得 kMA= y1-y0 4p = , x1-x0 y1+y0

4p 同理 kMB= , y2+y0 又 y1+y2 =-2,所以 y1+y2=-2y0, y0

4p 4p 因为 kMA+kMB= + y1+y0 y2+y0 = 4p?y1+y2+2y0? =0, ?y1+y0??y2+y0?

所以 kMA+kMB=0, 故 MA 与 MB 的斜率之和为 0. (3)证明:设直线 AB 的斜率为 kAB, 则 kAB= y2-y1 y2-y1 4p 2p = 2 = ,由(2)知 y1+y2=-2y0,所以 kAB=- ,由于 M(x0, y2 y2 y1+y2 y0 x2-x1 1 - 4p 4p

2p 2p y0)为定点,所以- 为定值且- ≠0,故直线 AB 不可能平行于 x 轴. y0 y0 4-b2 c 3 12.解:(1)∵椭圆 C1 的长半轴长 a=2,半焦距 c= 4-b2.由 e= = = 得 b2 a 2 2 =1, ∴椭圆 C1 的上顶点为(0,1),即抛物线 C2 的焦点为(0,1), 故抛物线 C2 的方程为 x2=4y. (2)由已知可得直线 l 的斜率必存在,设直线 l 的方程为 y=k(x+1),E(x1,y1), 1 F(x2,y2).由 x2=4y 得 y= x2, 4 1 ∴y′= x. 2 1 1 ∴切线 l1,l2 的斜率分别为 x1, x2. 2 2 1 1 当 l1⊥l2 时, x1·x2=-1, 2 2 即 x1x2=-4.
? ?y=k?x+1? 由? 2 得 x2-4kx-4k=0, ? ?x =4y

∴Δ=(4k)2-4×(-4k)>0, 解得 k<-1 或 k>0.① 且 x1x2=-4k=-4,即 k=1,满足①式,∴直线 l 的方程为 x-y+1=0. B级 1.选 C 过点 B 作准线的垂线,垂足为 B1,记准线与 x 轴的交点为

F1,则依题意得

|BB1| |BC| 2 2 2p 2p = = ,所以|BB1|= |FF1|= ,由抛物线的定义得|BF|=|BB1|= . |FF1| |CF| 3 3 3 3

过 A,B 作 x 轴的垂线,垂足分别为 D,E,由△BEF∽△ADF 得 2 2p p p- 3 3 3 = ,解得 p= .所以此抛物线的方程是 y2=3x. 3 2 3-p 2.选 C 由题意,抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),准线方程为 l:x=-1,可得 A 点的 横坐标为 2,代入 y2=4x 得 y2=8,不妨设 A(2,2 2),则直线 AB 的方程为 y=2 2(x-1), 1 1 与 y2=4x 联立得 2x2-5x+2=0,可得 B?2,- 2?,所以 S△AOB=S△AOF+S△BOF= ×1×|yA ? ? 2 -yB|= 3 2 . 2

?2pt=1, ?p=1, ? ? 3.解:(1)由题意知? p 5 得? 2 ?1+2=4, ?t=1. ? ?
(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 Q(m,m), 设直线 AB 的斜率为 k(k≠0).
?y2=x1, ? 1 由? 2 ?y2=x2, ?

得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2, 故 k· 2m=1, 所以直线 AB 的方程为 y-m= 即 x-2my+2m2-m=0.
2 ? ?x-2my+2m -m=0, 由? 2 ? ?y =x,

1 (x-m), 2m

消去 x,整理得 y2-2my+2m2-m=0, 所以 Δ=4m-4m2>0,y1 +y2 =2m,y1·2 =2m2 -m.从而|AB|= y 1+4m2· 4m-4m2. |1-2m+2m2| 设点 P 到直线 AB 的距离为 d,则 d= ,设△ABP 的面积为 S, 1+4m2 1 则 S= |AB|· d=|1-2(m-m2)|· m-m2. 2 由 Δ=4m-4m2>0,得 0<m<1. 1 令 u= m-m2,0<u≤ ,则 S=u-2u3, 2 S′(u)=1-6u2.由 S′(u)=0, 1 1+ 2 · 1 -y2|= |y k

得 u=

6 ? 1? ∈ 0, , 6 ? 2? 6 6? = . ?6? 9 6 . 9

所以 S(u)max=S?

故△ABP 面积的最大值为


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