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2.3.2 双曲线的简单几何性质


预习导学 高中数学 · 选修2-1· 人教A版

2.3.2

双曲线的简单几何性质

2.3.2 双曲线的简单几何性质

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2.3.2

双曲线的简单几

何性质

[学习目标] 1.了解双曲线的简单几何性质,如范围、对称性、顶点、渐

近线和离心率等.
2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题. 3.能区别椭圆与双曲线的性质.

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[知识链接]

2.3.2

双曲线的简单几何性质

x 2 y2 类比椭圆的几何性质,结合图象,你能得到双曲线 2- 2=1 a b (a>0,b>0)的哪些几何性质?

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2.3.2

双曲线的简单几何性质



(1)范围:x≥a或x≤-a;

(2)对称性:双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的;
(3)顶点:双曲线有两个顶点A1(-a,0),A2(a,0).

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[预习导引] 1.双曲线的几何性质
x2 y2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0)

2.3.2

双曲线的简单几何性质

标准方程

y2 x2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0)

图形

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2.3.2

双曲线的简单几何性质

范围
对称性

x≥a或x≤-a _______________

y≥a或y≤-a _______________

坐标轴 对称轴:_______ 原点 对称中心:_______ A 1(-a,0),A2(a,0) A 1(0,-a),A2(0,a) __________________ __________________
b y= ± x a a y= ± x b

顶点 性 坐标 质
渐近线 离心率

c e= ,e∈(1,+∞) a

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2.3.2

双曲线的简单几何性质

2. 等轴双曲线 等长 的双曲线叫等轴双曲线,它的渐近线是 实轴和虚轴_____ y=±x . _________

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2.3.2

双曲线的简单几何性质

要点一
例1

已知双曲线的标准方程求其几何性质

求双曲线9y2-16x2=144的半实轴长和半虚轴长、焦点

坐标、离心率、渐近线方程. 2 2 y x 解 把方程 9y2-16x2=144 化为标准方程 2- 2=1. 4 3 由此可知,半实轴长 a=4,半虚轴长 b=3;
c= a2+b2= 42+32=5,焦点坐标是(0,-5),(0,5); c 5 4 离心率 e= = ;渐近线方程为 y=± x. a 4 3

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规律方法

2.3.2

双曲线的简单几何性质

讨论双曲线的几何性质,先要将双曲线方程化为

标准形式,然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质.

跟踪演练1 求双曲线x2-3y2+12=0的实轴长、虚轴长、焦
点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率. 2 2 y x 解 将方程 x2-3y2+12=0 化为标准方程 - =1, 4 12 ∴a2=4,b2=12,
∴a=2,b=2 3,∴c= a2+b2= 16=4. ∴双曲线的实轴长 2a=4,虚轴长 2b=4 3. 焦点坐标为 F1(0,-4),F2(0,4),顶点坐标为 A1(0,-2), 3 A2(0,2),渐近线方程为 y=± x,离心率 e=2. 3
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要点二

2.3.2

双曲线的简单几何性质

根据双曲线的几何性质求标准方程

例2

求适合下列条件的双曲线的标准方程: 13 (1)一个焦点为(0,13),且离心率为 ; 5 1 (2)渐近线方程为 y=± x,且经过点 A(2,-3). 2 解 (1)依题意可知,双曲线的焦点在 y 轴上,且 c=13,又 c 13 = , a 5 2 2 y x ∴a=5,b= c2-a2=12,故其标准方程为 2- 2=1. 5 12

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2.3.2

双曲线的简单几何性质

1 (2)法一 ∵双曲线的渐近线方程为 y=± x, 2 x2 y2 若焦点在 x 轴上,设所求双曲线的标准方程为 2 - 2= a b b 1 1(a>0, b>0),则 = . ① a 2 4 9 ∵ A(2,-3)在双曲线上,∴ 2- 2=1. ② a b 由①② 联立,无解. y2 x2 若焦点在 y 轴上,设所求双曲线的标准方程为 2- 2 = a b a 1 1(a>0, b>0),则 = . ③ b 2 9 4 ∵ A(2,-3)在双曲线上,∴ 2- 2=1. ④ a b
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2.3.2

双曲线的简单几何性质

由③④ 联立,解得 a2= 8, b2= 32. y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 - = 1. 8 32 1 法二 由双曲线的渐近线方程为 y= ± x, 可设双曲线方程为 2 x2 2 - y = λ(λ≠ 0), 22 ∵ A(2,- 3)在双曲线上, 22 ∴ 2- (- 3)2= λ,即 λ=- 8. 2 y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 - = 1. 8 32
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2.3.2

双曲线的简单几何性质

规律方法 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程,一 般用待定系数法.当双曲线的焦点不明确时,方程可能有 两种形式,此时应注意分类讨论,为了避免讨论,也可设 双曲线方程为 mx2-ny2=1(mn>0),从而直接求得.若已 b x2 知双曲线的渐近线方程为 y=± x,还可以将方程设为 2- a a y2 =λ(λ≠0),避免讨论焦点的位置. b2

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2.3.2

双曲线的简单几何性质

跟踪演练 2 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且满足下列 条件的双曲线方程: 10 (1)双曲线过点(3,9 2),离心率 e= ; 3 (2)过点 P(2,-1),渐近线方程是 y=± 3x.
10 c2 10 解 (1)e = ,得 2= ,设 a2= 9k, 9 a 9 则 c2= 10k, b2= c2- a2= k. x2 y2 于是,设所求双曲线方程为 - = 1 9k k y2 x2 或 - =1 9k k
2

① ②

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2.3.2

双曲线的简单几何性质

把 (3, 9 2)代入①,得 k=- 161 与 k>0 矛盾,无解; 把 (3, 9 2)代入②,得 k= 9, y2 x2 故所求双曲线方程为 - = 1. 81 9 (2)法一 首先确定所求双曲线的标准类型,

可在图中判断一下点P(2,-1)在渐近 线y=-3x的上方还是下方.如图所示, x=2与y=-3x交点为Q(2,-6),P(2,-1) 在Q(2,-6)的上方,所以焦点在x轴上.

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2.3.2

双曲线的简单几何性质

x2 y2 设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b ?b 35 ? ?a=3 ?a2= 9. 依题意,得? ,解得? 2 ? ? 42- 12=1 ?b =35 ?a b x2 y2 ∴所求双曲线方程为 - =1. 35 35 9

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2.3.2

双曲线的简单几何性质

法二

由渐近线方程 3x± y= 0,

x2 2 可设所求双曲线方程为 - y = λ(λ≠ 0)(*) 1 9 将点 P(2,- 1)的坐标代入 (*),得 λ= 35, x2 y2 ∴所求双曲线方程为 - = 1. 35 35 9

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要点三

2.3.2

双曲线的简单几何性质

直线与双曲线的位置关系

x2 y2 例 3 直线 l 在双曲线 - =1 上截得的弦长为 4, 其斜率为 3 2 2,求 l 的方程.

解 设直线 l 的方程为 y= 2x+ m, ? 2x+ m ?y= 由?x2 y2 得 10x2+12mx+3(m2+ 2)= 0.(*) ? ? 3 - 2 =1 设直线 l 与双曲线交于 A(x1,y1),B(x2, y2)两点, 由根与系数的关系, 6 3 2 得 x1+ x2=- m, x1x2= (m +2). 5 10 又 y1= 2x1+m, y2= 2x2+m,
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2.3.2

双曲线的简单几何性质

∴ y1- y2= 2(x1- x2), ∴ |AB|2= (x1- x2)2+ (y1- y2)2= 5(x1- x2)2 = 5[(x1+ x2)2- 4x1x2] 36 2 3 2 = 5[ m - 4× (m + 2)]. 25 10 36 2 ∵ |AB|= 4,∴ m - 6(m2+ 2)= 16. 5 210 2 ∴ 3m = 70, m=± . 3 由 (*)式得 Δ= 24m2- 240, 210 把 m= ± 代入上式,得 Δ>0, 3 210 210 ∴ m 的值为± .∴所求 l 的方程为 y= 2x± . 3 3
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2.3.2

双曲线的简单几何性质

规律方法

直线与双曲线相交的题目,一般先联立方程组,

消去一个变量,转化成关于x或y的一元二次方程.要注意根

与系数的关系,根的判别式的应用.若与向量有关,则将向
量用坐标表示,并寻找其坐标间的关系,结合根与系数的关 系求解.

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2.3.2

双曲线的简单几何性质

x2 2 跟踪演练 3 设双曲线 C: 2-y =1(a>0)与直线 l:x+y a =1 相交于两个不同的点 A、B. (1)求实数 a 的取值范围; 5→ → (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,若PA= PB,求 a 的值. 12

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2.3.2

双曲线的简单几何性质

x2 2 解 (1)将 y=- x+ 1 代入双曲线方程 2- y = 1(a>0)中得 (1 a - a2)x2+ 2a2x- 2a2= 0.
2 ? ?1- a ≠ 0, 依题意? 4 2 2 ? Δ = 4 a + 8 a ( 1 - a ) >0, ?

∴ 0<a< 2且 a≠ 1. (2)设 A(x1, y1), B(x2, y2), P(0, 1), → 5→ 因为PA= PB, 12 5 所以 (x1, y1- 1)= (x2, y2- 1). 12

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2.3.2

双曲线的简单几何性质

5 由此得 x1= x2. 12 由于 x1, x2 是方程 (1- a2)x2+ 2a2x- 2a2= 0 的两根,且 1 - a2≠ 0, 17 2a2 5 2 2 a2 所以 x2=- x2 =- 2, 2. 12 12 1- a 1- a 2a2 289 消去 x2 得- = . 1- a2 60 17 由 a>0,解得 a= . 13

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2.3.2

双曲线的简单几何性质

x2 y2 1.双曲线 - =1 的焦点到渐近线的距离为 4 12 A.2 3 B.2 C. 3

( D.1

)

答案

x2 y2 解析 ∵双曲线 - =1 的一个焦点为 F(4,0),其中一 4 12 4 3 条渐近线方程为 y= 3x, ∴点 F 到 3x-y=0 的距离为 2 =2 3.

A

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2.3.2

双曲线的简单几何性质

2.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为
1 A.- 4 答案 A B.-4 C.4 1 D. 4

(

)

由双曲线方程 mx2+y2=1, 知 m<0, 则双曲线方程 2 x 可化为 y2- =1,则 a2=1, 1 - m 1 a=1, 又虚轴长是实轴长的 2 倍, ∴b=2, ∴- =b2= 4, m 1 ∴m=- ,故选 A. 4 解析
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2.3.2

双曲线的简单几何性质

x2 y2 3.若在双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右支上到原点 O 和右焦 a b 点 F 的距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范 围是 ( )

A.e> 2 C.e>2

B.1<e< 2 D.1<e<2

答案

C

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2.3.2

双曲线的简单几何性质

由于到原点 O 和右焦点 F 距离相等的点在线段 c OF 的垂直平分线上,其方程为 x= .依题意,在双曲线 2 x2 y2 - = 1(a>0, b>0)的右支上到原点和右焦点距离相等 a2 b2 c 的点有两个,所以直线 x= 与右支有两个交点,故应满 2 c c 足 >a,即 >2,得 e>2. 2 a

解析

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2.3.2

双曲线的简单几何性质

x2 y2 4.(2012· 湖南)已知双曲线 C: 2- 2=1 的焦距为 10,点 a b P(2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为 ( ) x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 20 5 5 20 x2 y2 x2 y2 C. - =1 D. - =1 80 20 20 80

答案

A

x2 y2 解析 双曲线 C 的渐近线方程为 2- 2= 0 及点 P(2,1) a b 4 1 在渐近线上,∴ 2- 2=0,即 a2=4b2,又 a2+b2=c2 a b = 25,解得 b2= 5,a2=20,故选 A.
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2.3.2

双曲线的简单几何性质

1.渐近线是双曲线特有的性质.两方程联系密切,把双 x2 y2 曲线的标准方程 2- 2=1(a>0,b>0)右边的常数 1 换 a b 为 0,就是渐近线方程.反之由渐近线方程 ax± by=0 变为 a2x2-b2y2=λ, 再结合其他条件求得 λ 就可得双曲 线方程.

2.准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口.对

圆锥曲线来说,渐近线是双曲线特有的性质.利用双曲线
的渐近线来画双曲线特别方便,而且较为精确,只要作出 双曲线的两个顶点和两条渐近线,就能画出它的近似

图形.
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2.3.2

双曲线的简单几何性质

再见
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