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高中数学数列专题复习(整套) 3份


高中数学必修五数列专题复习
考点 1:数列的有关概念 1.在数列 {an } 中, a1 ? 2 , 1.解: A .
1 an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? n

1 1 1 a2 ? a1 ? ln(1 ? ) , a3 ? a2 ? ln(1 ? ) ,…, an ? an ?1 ? ln(1 ? ) 1 2

n ?1

2 3 4 ? an ? a1 ? ln( )( )( ) 1 2 3

(

n ) ? 2 ? ln n n ?1

2.已知 a n

?

n (n ? N ? ) ,则数列 ?an ? 的最大项是 n ? 156
2

2 .解:数列可以看成一种特殊的函数即 a n
f (X ) ? X (X ? N ? ) X ? 156
2

?

n (n ? N ? ) 可以看成 n ? 156
2

通过求函数的最大值可知第 12 项和第 13 项最大.
n

3.在数列 {a } 中, a
n

? 1 ? 22 ? 33 ?

? nn , (n ? N? ) ,在数列 {bn } 中, bn ? cos(a n? ) ,

(n ? N? ) ,则 b2008 ? b2009 ? _________.

3 解: a 的奇偶性为:奇,奇,偶,偶,奇,奇,偶,偶,…,从而 b
n

n

分别为:

?1 , ?1 , 1 , 1 , ?1 , ?1 , 1 , 1 ,…,周期为

4 ,所以,

b2008 ? b2009 ? 1 ? (?1) ? 2 .答:

2
2
1 1 ? ? a1 ? 3 a 2a 4 ?a ? 1 a2n ? an?

4. 已知数列 {an } 的通项公式为 an = n ? 1 , 设 Tn ? 4.解:
Tn ?

, 求 Tn .

1 an ? an ? 2


?

4 =2( 1 - 1 ) . n ?1 n?3 (n ? 1)(n ? 3)

1 1 ? ? a1 ? a3 a2 ? a4

1 =2[( 1 2 an ? an? 2

- 1 )+( 1 - 1 )+( 1 - 1 )+……+
4
3 5

4

6

(1 -
n

1 )+( 1 - 1 )]=2( 1 n?2 n ?1 n?3 2

+1 -
3

1 - 1 ) n?2 n?3

1

考点 2:等差数列 1. (2010 辽宁文数)设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S3 ? 3,S6 ? 24 , 则 a9 ? 1 解析:填 15. .
3? 2 ? S3 ? 3a1 ? d ?3 ? a1 ? ?1 ? 2 ,解得 ? ,? a9 ? a1 ? 8d ? 15. ? ? ?d ? 2 ? S ? 6a ? 6 ? 5 d ? 24 6 1 ? 2 ?
n
4

2.在等差数列 {a } 中,若 a

1 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,则 a9 ? a 1 1 3

的值为

16



1 a8?24 , 2. 解: 利用等差数列的性质得: a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 5a8 ? 120 , a9 ? a11 = 3

1 2 a8 ? d ? (a8 ? 3d ) ? a8 ? 16 3 3

3.在等差数列{ an }中, a

2,

则 a5 ? a6 ? a9 ? a12 ? a13 ? a16是方程x2 ? 6x ?1 ? 0的两根,



3 解: a2 ? a6 =2 a9 =6,? a9 =3,? a5 ? a6 ? a9 ? a12 ? a13 ? 5 a9 =15,答:15 4. 等差数列 {an } 共有 2n ? 1 项, 其中奇数项之和为 319, 偶数项之和为 290, 则其中间项为_________. 4 解:依题意,中间项为 a n ?1 ,于是有 ? ?
(n ? 1)an ?1 ? 319 ? nan ?1 ? 290

解得 a

n ?1

? 29 . 1

分析:本

题主要是考查等比数列的基本概念和性质,可利用方程思想将等比数 列问题转化为 a1 和 q 处理,也可利用等比数列的定义进行求解.设公比 为 q ,由题知, ?
?a1 ? 3
2 ?a1 ? a1q ? a1q ? 21

得 q ? 2 或 q ? ?3 ? 0 (舍去),∴ a3 ? a4 ? a5 ? 84
an ? an2 ? bn , n ? N * ,其中 a , b 为常

5.在数列 {an } 在中, an ? 4n ? 5 , a1 ? a2 ?
2

数,则 ab ? 5.解:∵ a n
ab ? ?1
? 4n ?


5 3 , ∴ a1 ? , 从而 S n 2 2
? n( 3 5 ? 4n ? ) 2 2 ? 2n 2 ? n 2 2

.∴a=2, b ? ? 1 ,则
2

2

6.已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ,且 A
a7 b7

n

Bn

?

7 n ? 45 , n?3

=


a p ? aq 2

6. 解: 解法 1: “若 2m ? p ? q, m, p, q ? N? , 则 am ? 解法 2:可设
bn ? k (2n ? 2) ,则

”解析:a 7 =
b7

( a1 ? a13 ) ? 13 A 17 2 ? 13 ? (b1 ? b13 ) ? 13 B13 2 2

, An ? k( n7 ? n 4 5 ) Bn ? kn(n ? 3)
k (2 ? 7 ? 2) 2

,则

an ? An ? ? A ? (1 k4 n ? 3, 8 ) 1n

a7 b7

= k (14 ? 7 ? 38) ? 17

7 .设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S4 ? 10, S5 ? 15 ,则 a 4 的最大值为 ___________. 7.解:∵等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S4 ? 10, S5 ? 15 ∴
4?3 ? S ? 4a1 ? d ? 10 ? ? 4 2 ? ? S ? 5a ? 5 ? 4 d ? 15 5 1 ? ? 2



?2a1 ? 3d ? 5 ? ? a1 ? 2d ? 3



5 ? 3d 5 ? 3d ? ? 3d ? ?a4 ? a1 ? 3d ? 2 2 ? ? a4 ? a1 ? 3d ? ? a1 ? 2d ? ? d ? 3 ? d ?



5 ? 3d ? a4 ? 3 ? d , 5 ? 3d ? 6 ? 2d , d ? 1 ∴ a4 ? 3 ? d ? 3 ? 1 ? 4 2

故 a 4 的最大值为 4 .

8. ( 2010 湖北卷理)已知函数 f ( x ) ? 2x , 等差数列 {ax } 的公差为 2 .若
f ( a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10) ? 4,

则 log2[ f (a1 ) ? f (a2 ) f (a3 ) ?

? f (a10 )] ?



8.解:依题意 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? 2 ,所以 a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? a9 ? 2 ? 5? 2 ? ?8
∴ f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? ? f (a10 ) ? 2a1 ?a2 ?
?a10

? 2?6 ? log2[ f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? ? f (a10 )] ? ?6

考点 3:等比数列 1. (2010 福建数) 在等比数列 ?a n ? 中,若公比 q=4 ,且前 3 项之和等于 21, 则该数列的通项公式 an ? 1【答案】 4 n-1
3



【解析】由题意知 a1 ? 4a1 ? 16a1 ? 21 ,解得 a1 ? 1 ,所以通项 an ? 4 n-1 . 【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用, 属基础题. 2. (2010 江苏卷)8、函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数,a1=16,则 a1+a3+a5=_________ 2.解析:考查函数的切线方程、数列的通项. 在点(ak,ak2)处的切线方程为: y ? ak 2 ? 2ak ( x ? ak ), 当 y ? 0 时,解得 x ? ak ,
2

所以 ak ?1 ? ak , a1 ? a3 ? a5 ? 16 ? 4 ? 1 ? 21 .
2

3.在各项都为正数的等比数列 {an } 中,首项 a1 ? 3 ,前三项和为 21,则
a3 ? a4 ? a5 ?

3.解:84 4. 已知等比数列 ?an ? 的各项都为正数, 它的前三项依次为 1, a ?1 , 2a ? 5 则数列 ?an ? 的通项公式是 a n = 4.解: a = 3 .
n ?1


m? 0 ), 则 b

n

m 5 . 三 个 数 a , b, c 成 等 比 数 列 , 且 a ? b ? c ? (

的取值范围




3
q q 1 m b ? 0,? ? q ? 1 ? . q b

5.解: [?m,0) ? (0, m ] . 解:设 a ? b , c ? bq ,则有 b ? b ? bq ? m,
b q

m 1 m 1 m ? ? q ?1? 3, ? ? q ? 1 ? ?1 , 当 q ? 0 时, 而b ? 0, 当 q ? 0 时, 即 m ? ?1 , ?0 ? b ? ;

3

b

q

b

而 m ? 0 ,? b ? 0 ,则 ?m ? b ? 0 ,故 b ?[?m,0) ? (0, m ]
3

考点 4:等差数列与等比数列综合应用 1.设等比数列 {an } 的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等
4

差数列,则 q 的值为
n


n

1.解: Sn ? a1 (1 ? q ) , 2Sn ? Sn?1 ? Sn?2 ,则有 2 ? a1 (1 ? q
1? q
1? q

)

?

a1 (1 ? q n?1 ) a1 (1 ? q n? 2 ) , ? 1? q 1? q

, q ? 1 时, 2Sn ? 2n ? Sn?1 ? Sn?2 ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? 2n ? 3 ? q2 ? q ? 2 ? 0 ,? q ? ?2 . 2.在△ABC 中,tan A 是以-4 为第 3 项,4 为第 7 项的等差数列的公差,
tan B 是以
1 为第 3

3 项,9 为第 6 项的等比数列的公比,则这个三角形




3

2 解:锐角三角形.由题意得 4 ? ?4 ? 4 tan A ? tan A ? 2 ? 0 , 9 ? 1 tan3 B ? tan B ? 3 ? 0
故 tan C ? ? tan( A ? B) ? ? tan A ? tan B ? 1 ? 0, 1 ? tan A tan B
n

?ABC 是锐角三角形.
? an ?1 ? an , ( n ? N? ) , 定义数列 {?2 an }

3. 对于数列 {a } , 定义数列 {?a } 满足: ?a
n

n

满足:
1

( n ? N? ) ,若数列 {?2 an } 中各项均为 ?2 an ? ?an?1 ? ?an ,

1,且 a

2 1

?a 2 0 0 8

?0,

则 a ? __________. 3 解:由数列 {? a } 中各项均为 1,知数列 {?a } 是首项为 ?a ,公差为 1
2 n
n
1

的等差数列,所以, a

n

n ?1 1 ? a1 ? ? ?ak ? a1 ? (n ? 1)?a1 ? (n ? 1)(n ? 2) .这说明, a n 是关 2 k ?1

于 n 的二次函数,且二次项系数为 1 ,由 a
2

21

1 ?a (n ? 21)( n ? 2008) 2008 ? 0 ,得 an ? 2



从而 a

1

? 20070 .

点评: 等差比数列的通项公式和前 n 项和的公式是数列中的基础知识, 必须牢固掌握. 4.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 2n . (Ⅰ)设 bn ?
an 2 n ?1

.证明:数列 ?bn ? 是等差数列;
5

(Ⅱ)求数列 ?an ?

的前 n 项和 Sn . 4.解: (1) an?1 ? 2an ? 2n ,
an ?1 a ? nn ? 1 , bn?1 ? bn ? 1 , n 2 2 ?1

则 bn 为等差数列, b1 ? 1 ,

bn ? n , an ? n2n?1 .

(2) Sn ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ?? (n ? 1) ? 2n?2 ? n ? 2n?1
2S n ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n

两式相减,得
S n ? n ? 2n ? 1? 20 ? 21 ? 22 ? ? ? 2n?1 ? n ? 2n ? 2n ? 1

5.等差数列 {an } 的各项均为正数, a1 ? 3 ,前 n 项和为 Sn , {bn } 为等比数 列,
b1 ? 1 ,且 b2 S2 ? 64, b3 S3 ? 960 .

(1)求 an 与 bn ;

(2)求和: 1

S1

?

1 ? S2

?

1 Sn



5.解、 (1)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则 d 为正整数,
an ? 3 ? (n ? 1)d , bn ? qn?1
d ?? d ?2 ? 5 (舍去) 解得 ? ,或? ? ? 40 ?q ? 8 ?q ? ? 3 ? ? 6

S3b3 ? (9 ? 3d )q 依题意有 ? ?

2

? 960

? S2b2 ? (6 ? d )q ? 64



故 an ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ?1, bn ? 8n?1

(2) Sn ? 3 ? 5 ? ∴1
?

? (2n ? 1) ? n(n ? 2)
? 1 n(n ? 2)

S1

?

1 ? S2

?

1 1 1 1 ? ? ? ? S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5
?

1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? 2 3 2 4 3 5

1 1 1 1 1 1 3 2n ? 3 ? ) ? (1 ? ? ? )? ? n n?2 2 2 n ?1 n ? 2 4 2(n ? 1)(n ? 2)

6.已知直线

n

: y ? x ? 2n 与圆 Cn : x2 ? y2 ? 2an ? n ? 2(n ? N ? ) 交于不同点
6

A n、

Bn,其中数列 {an } 满足: a1 ? 1, an?1 ? 1 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

4

An Bn

2



(Ⅱ)设 bn ? n (an ? 2), 求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .
3

6.解:(1)圆心到直线的距离 d ?
1 An Bn )2 ? 2an ? 2, 则an ?1 ? 2 ? 2(an ? 2) 2 ?易得an ? 3 ? 2n ?1 ? 2 n bn ? (an ? 2) ? n ? 2n ?1 , 3 (2) Sn ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ??? ? n ? 2n?1 ? an ?1 ? (

n,

2Sn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ??? ? n ? 2n

相减得 Sn ? (n ?1)2n ?1

7


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