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高中数学公式大全精简版


高中数学公式大全精简版
一、集合模块
1、集合与集合的关系:用 ? , ? ? ,=表示;
A 是 B 的子集记为 A ? B;A 是 B 的真子集记为 A ? ? B。 ①任何一个集合是它本身的子集,记为 A ? A ; ②空集是任何集合的子集,记为 ? ? A ;空集是任何非空集合的真子集; ③如果 A ? B ,同时 B ? A ,那么 A = B;如果 A ? B, B ? C, 那么A ? C ;

2、交集 A B ? {x | x ? A且x ? B} ; 并集 A B ? {x | x ? A,或x ? B} ; 补集 CU A ? ,集合 U 表示全集。 {x | x ?U,且x ? A }

二、函数模块
(一) 、函数的概念:
1、函数的定义: y ? f ( x) , x ? A , y ? B ; 2、函数概念的三要素:定义域、值域与对应法则; 3、函数相等的条件:定义域和对应法则相同;

(二)函数定义域的求法:
1、由函数的解析式确定函数的定义域(二次根式、分式、对数式) ; 2、由实际问题确定的函数的定义域; 3、不给出函数的解析式,而由 f ( x) 的定义域确定函数 f [ g ( x)] 的定义域。

(三)函数值域的求法:
函数的值域是由函数的定义域与对应法则确定的,因此,要求函数的值域,一般要从函 数的定义域与对应法则入手分析,常用的方法有: (1)观察法; (2)图象法; (3)配方法; (4)换元法。

(四)函数图像的概念及画法:
1、函数图象的概念 将自变量的一个值 x0 作为横坐标,相应的函数值 f ? x0 ? 作为纵坐标,就得到坐标平面上

的一个点 x0, f ? x0 ? .当自变量取遍函数定义域 A 中的每一个值时,就得到一系列这样的 点.所有这些点组成的集合(点集)为

?

?

?? x, f ? x ?? x ? A? , 即 ?? x, y ? y ? f ? x ? , x ? A? ,所

有这些点组成的图形就是函数 y ? f ? x ? 的图象. 2、函数图象的画法 画函数的图象,常用描点法,其基本步骤是:⑴列表;⑵描点;⑶连线.在画图过程中, 一定要注意函数的定义域和值域. 3、分段函数 在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数; 注意: ①分段函数是一个函数,而不是几个函数; ②分段函数的定义域是 x 的不同取值范围的并集;其值域是相应的 y 的取值范围的并集

(五)函数的性质
1、单调性:定义:如果函数 y ? f ? x ? 对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变 量的值 x1、x2 ,当 x1 ? x2 时,都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ( ) ,则称 f ? x ? 在这个 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ?) 区间上是增函数(或减函数) ; 判断单调性的方法:定义法、复合函数法、求导法. 特别注意:复合函数单调性,奇偶函数在对称区间内的单调性关系.

2、奇偶性: 函数的奇偶性的定义 如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)为奇函数; 如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)为偶函数. 函数的奇偶性的几个性质 (1) 、奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于 y 轴对称; (2) 、 f ( x) 为奇函数,定义域为 D ,若 0 ? D, 则必有 f (0) ? 0 ;

(六) 、指数函数性质及其应用
1、常用的指数关系式: (1)负数和零不能作为底数; (2) a ? 1
0

.; a ? a ;
1

a?x ?

1 . ax

2、指数运算与指数函数 根式的性质 1: (n a ) n = a ; 根式的性质 2: 当 n 是奇数时,n a n = a ; 当 n 是偶数时,n a n ?| a |? ?

?a (a ? 0) ; ?? a (a ? 0)

3、分数指数幂 正数的正分数指数幂的意义: 正数的负分数指数幂的意义: 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义。 4、实指数幂的运算性质 (a ? 0, b ? 0, s ? R, r ? R) (1) a · a ? a
r
s r ?s

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

; (2) (a r ) s ? a rs ; (3) (ab)r ? a r a r ;

5、指数函数:函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 叫做指数函数,其中指数 x 是自变量,函数的 定义域是 R ;

6、指数函数的图象与性质:

a ?1

0 ? a ?1





定义域: 值域: 性 质 过点: 在 R 上是 ,即 x=0 时,y=1 在 R 上是

7、掌握指数函数的图象和性质,特别要弄清 a ? 1 与 0 ? a ? 1 对于函数值变化的影响: 当 a ? 1 时,若 x ? 0, 则 当 0 ? a ? 1 时,若 x ? 0, 则 , 若 x ? 0, 则 , 若 x ? 0, 则 ; 。

(七) 、对数函数性质及其应用
1、对数的概念 对数定义:一般地,如果 a ( a ? 0且a ? 1)的 b 次幂等于 N, 就是 a b ? N ,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 b ? log a N ,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数。

2、常用的对数关系式: (1)负数和零没有对数; (2)? a ? 1
0

∴ log a 1 ? ___ .; (2)? a ? a
1

∴ log a a ? ___ .

3、对数运算性质 指数运算性质 (a, b ? 0, r , s ? R) 对数运算性质 (a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0)

ar ? as ? ar ?s

loga (M ? N ) ? loga M ? loga N
log a ( M ) ? log a M ? log a N N

ar ? a r ?s as

(ar )s ? ars
3、对数函数的性质

loga M n ? n loga M

a ?1
3 3 2.5 2.5 2 2

0 ? a ?1

1.5

1.5


-1

1 0

1

1
1

1

0.5

0.5



-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域: (0,+∞) 值域:R 性 质
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

过点(1,0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0

王新敞
奎屯

新疆

x ? (0,1) 时 y ? 0

王新敞
奎屯

新疆

x ? (0,1) 时
王新敞
奎屯 新疆

y?0
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

x ? (1,??) 时 y ? 0

x ? (1,??) 时 y ? 0
王新敞
奎屯 新疆

在(0,+∞)上是增函数

在(0,+∞)上是减函数

王新敞
奎屯

新疆

三、复数模块
(一) 、复数的有关概念
1、复数的概念 形如 a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中 a,b 分别是它的实部和虚部.若 b=0,则 a+bi 为实数,若 b≠0,则 a+bi 为虚数,若 a=0 且 b≠0,则 a+bi 为纯虚数. 2、复数相等:a+bi=c+di?a=c 且 b=d(a,b,c,d∈R). 3、共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭?a=c;b=-d(a,b,c,d∈R).

(二) 、复数的四则运算
设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 1、加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; 2、减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; 3、乘法: (a ? bi)(c ? di) ? ac ? bci ? adi ? bdi 2 ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i ; 4、除法: (a ? bi ) ? (c ? di) ?

a ? bi (a ? bi )(c ? di ) ac ? bd bc ? ad ? ? ? i. c ? di (c ? di )(c ? di ) c 2 ? d 2 c 2 ? d 2

(三) 、复数的几何意义
1、复数 z=a+bi(a,b∈R)的模|z|= a2+b2,实际上就是指复平面上的点 Z 到原点 O 的 距离;|z1-z2|的几何意义是复平面上的点 Z1、Z2 两点间的距离. → → 2、复数 z、复平面上的点 Z 及向量OZ 相互联系,即 z=a+bi(a,b∈R)?Z(a,b)?OZ. 注:任意两个复数全是实数时能比较大小,其他情况不能比较大小.

(四)两条性质 (1)i4n=1,i4n 1=i,i4n 2=-1,i4n 3=-i,in+in 1+in 2+in 3=0(各式中 n∈N).
+ + + + + +

(2)(1± i)2=± 2i,

1+i 1-i =i, =-i. 1-i 1+i

四、概率统计模块
(一) 、等可能事件概率公式
一般地,如果一次试验中共有 n 种等可能出现的结果,随机事件 A 包含的结果数为 m, 则事件 A 可能出现的概率为 P ( A) ?

m ; n

(二) 、概率的性质
1、互斥事件 若事件 A 与事件 B 不可能同时发生,则称事件 A 与事件 B 互斥; 2、概率加法公式(互斥事件的概率) 若事件 A 与事件 B 互斥,则事件 A 或 B 发生的概率 P (A 概率的加法公式; 3、对立事件:若事件 A 与事件 B 不可能同时发生但二者必有一个发生,则称事件 A 与 事件 B 互为对立事件; 4、对立事件的概率:若事件 A 与事件 B 互为对立事件,则 P( A) ? P( B) ? 1; ,这就是 B) ?P (A)+ P (B)

(三)古典概型的概率计算公式.
一般地,对于古典概型,基本事件共有 n 个,随机事件 A 包含的基本事件是 m.由互斥事 件的概率加法公式可得 P ( A) ?

m , 所以在古典概型中 n

P( A) ?

m A包含的基本事件数 ? , n 总体的基本事件个数

(四)几何概型的概率计算公式.
一般地, 在几何概型中试验的全部结果 (即基本事件) 所构成的区域记为 D , 记事件 “该 点落在其区域 D 内部一个区域 d 内”为事件 A ,则事件 A 发生的概率

P ( A) =

构成事件A的区域长度(面积或体 积) 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积)

(五)样本方差与标准差
设样本的元素为 x1,x2, ?,xn ,样本的平均数为 x , 1、样本方差: s ?
2

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ??? ( xn ? x) 2 ] . n

2、样本标准差:

s?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ??? ( xn ? x)2 ] n

(六)回归方程
1、最小二乘法:使得样本数据的点到回归直线的距离平方和最小的方法叫最小二乘法.

2、回归方程:两个具有线性相关关系的变量的一组数据:

( x1,y1 ), ( x2,y2 ), ?, ( xn,yn ) ,其回归方程为 y ? b x ? a ,则
n ? ( xi ? x)( yi ? y ) ? ?^ i ?1 ? ? n ?b ? 2 ? ( xi ? x) ? ? i ?1 ?^ ^ ? a ? y ? b x ?
^

^

^

^

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1
^

2

i

? nx

2

其中, b 是回归方程的斜率, a 是在 y 轴上的截距.

五、三角函数的概念与三角变换公式
(一) 、弧度制
1、角度制与弧度制的互化:

? 弧度 ? 180? , 1? ?

?
180

弧度, 1 弧度 ? (

180

?

) ? ? 57?18'

2、弧长公式: l ? ?R ;扇形面积公式: S ?

1 2 1 ?R ? Rl . 2 2

(二) 、三角函数定义
角 ? 终边上任意一点 P 为 ( x, y ) ,设 | OP |? r ,则:

sin ? ?

y x y , cos ? ? , tan ? ? r r x

特殊角的三角函数值 角度 弧度

0
0

30

45

60

90

120
2? 3

135
3? 4

150
5? 6 1 2

180

? 6
1 2

? 4
2 2 2 2
1

? 3
3 2
1 2

? 2
1

?
0

sin ?

0

3 2
? 1 2

2 2 ? 2 2
?1

cos?
tan ?

1

3 2

0

?

3 2

?1
0

0

3 3

3



? 3

?

3 3

注:识记一些简单的勾股数,判断时借助三角形,

(三) 、三角函数符号规律
一全正,二正弦,三两切,四余弦; 注:y 的符号对应正弦的符号,x 的符号对应余弦的符号。

(四) 、诱导公式记忆规律
“奇变偶不变,符号看象限” ; 注:1、变与不变指的是函数名,使用公式时将已知角看作锐角; 2、将正切函数的诱导公式单独记忆。 3、注意角度和弧度的互换;

诱导公式(一)

(这里 k 为整数)

sin(360?k ? ? ) ? sin ?
诱导公式(二)

cos(360?k ? ? ) ? cos?

tan( 360?k ? ? ) ? tan?

sin(180? ? ? ) ? ? sin ?
诱导公式(三)

cos(180? ? ? ) ? ? cos?

tan( 180? ? ? ) ? tan?

sin(?? ) ? ? sin ?
诱导公式(四)

cos(?? ) ? cos?

tan(?? ) ? ? tan? tan( 180? ? ? ) ? ? tan?
? ? ) ? sin ? ? ? ) ? ? sin ?

sin(180? ? ? ) ? sin ?
诱导公式(五)

cos(180? ? ? ) ? ? cos?
sin( sin(

?
2

? ? ) ? cos ? ? ? ) ? cos ?

cos( cos(

?
2

诱导公式(六)

?
2

?
2

(五) 、同角三角函数的基本关系
sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1; sin ? ? tan ? ; cos ?

(六) 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1、 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; 2、 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;

3、 tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 。 1 ? tan? tan ?

注:由正余弦的和差化积公式可推出辅助角公式。

(七) 、二倍角公式:
① sin 2? ? 2 sin ? cos ? ; ② cos2? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ? ;
2 2 2 2

③ tan 2? ?

2 tan ? 。 1 ? tan 2 ?

(八)辅助角公式
a sin ? ? b cos ? ? a 2 ? b 2 sin ?? ? ? ?, tan ? ? b a

?? ?? ? ? sin ? ? cos? ? 2 sin?? ? ? , sin ? ? 3 cos? ? 2 sin ?? ? ? ; 4? 3? ? ?
应用以上公式对三角函数式化简。 (化简要求:项数最少、函数种类最少,分母中不含 三角函数,能求值,尽可能求值。 )

六、解三角形
(一) 、正弦定理及其推论
1、正弦定理: 在 ?ABC 中,边 a, b, c与角A, B, C 满足关系式

a b c ? ? ? 2 R (其中 R 为 ?ABC 外接圆的半径) sin A sin B sin C
利用正弦定理可以解决两类问题: (1)已知两角和任意一边,求其他两边和一角 (2)已知两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其他的边和角

2、公式变形:

? a ? 2 R sin A ? ?b ? 2 R sin B ?c ? 2 R sin C ?

注:该变形可以实现边角的互化,通常 2R 可以消掉或者可以求出;

3、推论: (大边对大角,大角对大边) 在 ?ABC中,已知 a, b 分别为?A, ?B 所对的边,则

a ? b ? A ___ B ? sin A ____sin B

(二) 、面积公式
S? 1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

注:面积公式关键点在于两边和它们夹角的正弦;解题时需结合题目条件灵活选择相应 公式;

(三) 、余弦定理及其推论
1、余弦定理: 在 ?ABC 中,边 a, b, c与角A, B, C 满足关系式

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C
应用:可以解决以下解斜三角形的问题: 已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.

2、余弦定理变形:

cos A?

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 b2 ? a 2 ? c 2 , cos B ? , cosC ? ; 2bc 2ac 2ba

应用一:可以解决以下两类解斜三角形的问题: 已知三边,求三个角;

应用二:按角对三角形进行判定: 根据余弦值的正负对三角形中最大角进行判定, 最大角为钝角即为钝角三角形; 最大角为直角即为直角三角形; 最大角为锐角则为锐角三角形;

应用三:实现角化边,将角的余弦化为三边的关系;

当C ?

?
2

2 2 2 时, cos C ? 0 , a ? b ? c ;

当0 ? C ? 当

?
2

2 2 2 时, cos C ? 0 , a ? b ? c ;

?
2

? C ? ? 时, cos C ? 0 , a 2 ? b2 ? c2 ;

(四) 、解三角形中常用角度关系及相应三角变换
1、 A ? B ? C ? ? , A ? B ? ? ? C ,

A? B ? C ? ? ; 2 2 2

2、 sin ? A ? B? ? sin C , cos ? A ? B ? ? ? cos C ; 3、 sin

A? B C A? B C ? cos , cos ? sin ; 2 2 2 2

4、 sinC ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ,

cos ? A ? B? ? cos A cos B ? sin Asin B , cosC ? cos[? ? ( A ? B)] ? ? cos ? A ? B? ? sin Asin B ? cos Acos B ;

七、数列
(一) 、等差数列与等比数列性质
等差数列 定义 等比数列

an?1 ? an ? d ( n ? 1, 2,3 ,?)

an ?1 ? q ( n ? 1, 2,3 ,?) an

通项公式

an ? a1 ? ? n ?1? d , an ? am ? ? n ? m? d
n ? n ? 1? n ? a1 ? an ? Sn ? na1 ? d? 2 2
a ? b ? 2 A ( A 为 a , b 等差中项)
若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? ap ? aq

an ? a1qn?1 , an ? amqn?m
? na1 ? Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? ? ? 1? q (q ? 1) (q ? 1)

求和公式

中项公式 对称性

G 2 ? ab ( G 为 a , b 等比中项)
若 m ? n ? p ? q ,则 aman ? a p aq

注: (1)解题方法有基本量法,通常计算要多花些时间; (2)可观察题目特点使用相应性质,达到快速准确解题;

(3)另外两类数列的通项和求和均有多个公式,需根据条件灵活选用。

(二) 、根据前 n 项和求通项公式

?S1 (n ? 1) an ? ? ?Sn ? Sn?1 (n ? 2)
注:最后 an 的表达式分 n ? 1 和 n ? 2 两种情况讨论,最后检验两种情形能否合用一个式 子表示,若不能,就用分段形式表示。

归纳:数列模块预备知识为函数概念与思想,解题过程中常涉及到解高次方程组和指数 运算,在等比数列中会涉及到一些比例的性质的应用;

八、不等式模块
1、不等式的解法:求解不等式与解方程一样,要注意不等式的同解变形,解集相同
的不等式称为同解不等式;

2、一元一次不等式 ax ? b ? 0(a ? 0) 的解法与解集形式。
当 a ? 0 时, x ? ?

b b? ? , 即解集为 ? x | x ? ? ? , a a? ? b b? ? ,即解集为 ? x | x ? ? ? ; a a? ?

当a ? 0 时 x ? ?

3、一元二次不等式的解集
??0 ??0 ??0

y ? ax2 ? bx ? c
二次函数

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 )的图象

一元二次方程

ax 2 ? bx ? c ? 0

有两相异实根

有两相等实根

? a ? 0?

的根

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集
ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

4、解一元二次不等式的基本步骤:
(1)整理系数,使最高次项的系数为正数;
2 (2)计算 ? ? b ? 4ac ;

(3) ?

? 0 时,求相对应的一元二次方程的两根,然后根据“大于 0 取两边,小于 0
? 0 时结合二次函数的图象特征写出解集。

取中间”的法则写出不等式的解集; (4) ?

5、分式不等式求解时,一般先移项,通分,化简然后标根法求解
f ?x ? >0 ? f ?x ?g ?x ? ? 0 g ?x ?

f ?x ? ? 0 ? f ?x ?g ?x ? <0 g ?x ?

? f ? x? ? f ? x? g ? x? ? 0 ?0?? g ? x? ? ?g ? x? ? 0
切忌去分母

? f ?x ?g ?x ? ? 0 f ?x ? ?0?? g ?x ? ? g ?x ? ? 0

6、绝对值不等式

f ?x ? ? a f ?x ? ? a
平方法:

?a ? 0? ? ?a ? f ?x? ? a ?a ? 0? ? f ?x? ? a或f ?x? ? ?a
f

? x? ? g ? ?x ?

f 2 ?x ? ? g 2 ?x ?

零点分段法:适用于含有两个绝对值的不等式。

7、基本不等式
如果 a , b 是正数, 那么

a?b a?b 2 ) ≥ ab ) ≥ ab( a ? b ≥ 2 ab ,( ,当且仅当 a ? b 2 2

时,取得等号.

8、指数对数不等式
根据函数单调性求解;

9、不等式与线性规划问题
结合图像求解;

九、空间几何体的特征与表面积体积
(一) 、空间几何体的三视图和直观图
1、 中心投影与平行投影区别,正投影概念; 2、三视图的画法:长对正、高平齐、宽相等; 3、斜二测画法画直观图:
x ? 轴与 y ? 轴夹角 450 (或 1350 ,平行于 x 轴长度不变,平行于 y 轴长度减半;

设原图形的面积为 S,其直观图的面积为 S’,则

S' 2 ; ? S 4

(二) 、空间几何体的表面积和体积
要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是多面体,它们的各个面均是平面多边形,它们的表面积就是各 个面的面积之和。计算时要分清面的形状,准确算出每个面的面积再求和。棱柱、棱锥、棱 台底面与侧面的形状如下表: 底面 棱柱 棱锥 平面多边形 平面多边形 平行四边形 三角形 侧面 面积=底·高 面积=

1 ·底·高 2

棱台

平面多边形

梯形

面积=

1 · (上底+下底) ·高 2

要点诠释: 求多面体的表面积时,只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形,利用平面图形 求多面体的表面积.

要点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱、圆锥、圆台是旋转体,它们的底面是圆面,易求面积,而它们的侧面是曲面,应 把它们的侧面展开为平面图形,再去求其面积. 1.圆柱的表面积 (1)圆柱的侧面积: S 圆柱侧=C l =2π r l .

(2)圆柱的表面: S圆柱表 ? 2? r 2 ? 2? rl ? 2? r (r ? l ) . 2.圆锥的表面积 (1)圆锥的侧面积: S圆锥侧 ?

1 Cl ? ? rl . 2

(2)圆锥的表面积:S 圆锥表=π r2+π r l .

3.圆台的表面积 (1)圆台的侧面积: S 圆台侧=π (r'+r) l . (2)圆台的表面积: S圆台表 ? ? (r ' ? r ? r ' l ? rl ) .
2 2

要点诠释: 求旋转体的表面积时,可从旋转体的生成过程及其几何特征入手,将其展开后求表面积, 但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系. 4.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示.

要点三、柱体、锥体、台体的体积 1.柱体的体积公式:V=Sh.

2.锥体的体积公式: V ? 3.台体的体积公式: V ?

1 Sh . 3 1 h( S ? SS ' ? S ') . 3

4.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示.

要点四、球的表面积和体积 1.球的表面积公式:S 球=4π R2. 2.球的体积公式: V球 ?

4 ? R3 . 3

常用公式:一个长方体的长宽高分别为 a, b, c ,其外接球的半径为 R ,则

2R ? a2 ? b2 ? c2 ;

十、空间中点线面的位置关系
(一) 、 本章知识结构图
平面(公理 1、公理 2、公理 3、公理 4)

空间直线、平面的位置关系

线与线的位置关系 线与面的位置关系

面与面的位置关系

交 交交 行 交 交 交交 相行 平交 在 相 异 平 面 内 交 面 行 交 行



平 行



相 交

异面直线 所成的角

斜线与平 面所成的角

二面角的 平面角

(二) 、 空间平行和垂直关系的转化
1、平行关系: 线线平行、线面平行、面面平行相互之间的转化图为:
判定定理 性质定理
理 定 质 理 性 定 定 判

线线平行

线面平行
定 理 性 质

面面平行 平行关系中常用的平面几何知识: (1) 、三角形的中位线平行于底边; (2) 、构造平行四边形进行转换; (3) 、由角度关系得到平行;

2、垂直关系: 线线垂直、线面垂直、面面垂直相互之间的转化图为:
判定定理 判定定理 性质定理

线线垂直
定义

线面垂直

面面垂直

垂直关系中常用的平面几何知识: (1) 、勾股定理逆定理结合长度关系证垂直; (2) 、由角度关系得到垂直; (3) 、等腰三角形三线合一;

注:线面垂直性质定理实现了平行与垂直的转换;

常用定理

a // b ? ? // ? ? ? ? ? a // ? ; ①线面平行 b ? ? ? ? a // ? ; a ? ?? ? a ? ??
? ? / /? ? a ? ?? a // b ? ? ? ? a // b ? ? ? c // b ; ②线线平行: a ? ? ; ; ; ? a / / b ? ? ? a ? a / / b ? ? b ??? a // c ? ? ? ? b? ? ? ? b? ? ? a / /?

判 定

定 理

a ? ?,b ? ? ? ③面面平行: a b ? O ? ? ? ? / /? ; a / /? ,b / /? ? ?
④线线垂直:

a ? ?? ??a ?b; b ? ??

? ?? ? a ? ?,b ? ? ? ? ? ⑤线面垂直: a b ? O ? ? l ? ? ; ? ? ? l ? ? a ? ? ; a ? ?,a ? l? l ? a, l ? b ? ? ?
⑥面面垂直:二面角 90 ;

a ? ?? ??? ? ? ; a ?? ?

十一、直线和圆模块
(一) 、直线与方程
1、直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴 平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0? ? ? ? 180? 性质:直线的倾斜角 α=90°时,斜率不存在,即直线与 y 轴平行或者重合. 当 α=0°时,
? 9 0 ? 斜率 k=0; 当 0?? ?

时, 斜率 k ? 0 , 随着 α 的增大, 斜率 k 也增大; 当 90? ? ? ? 180? 时,

斜率 k ? 0 ,随着 α 的增大,斜率 k 也增大.

2、直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率 常用 k 表示。即 k ? tan ? 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 ②过两点的直线的斜率公式: k ? 3、直线方程 点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ? 斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b 一般式: Ax ? By ? C

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

? 0 (A,B 不全为 0)
2 特殊的方程如: ○ 平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数) ;

1 各式的适用范围 注意:○

平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数) ;

4、两直线平行与垂直 当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时,

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。

5、两条直线的交点

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交
A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 交点坐标即方程组 ? 的一组解。 ? A x ? B y ? C ? 0 2 2 ? 2
方程组无解 ? l1 // l 2 ; 方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合;

B x2 , y2) 6、两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),( 是平面直角坐标系中的两个点,
则 | AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ; 7、点到直线距离公式:一点 P?x0 , y0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的距离

d?

Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2



8、两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。

l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 , l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 , d ?

C1 ? C2 A ?B
2 2



(二) 、圆与方程
圆的标准方程: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 叫做圆心是 C (a, b) ,半径是 r 的圆的标准方程.
2 2 圆的一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0) .
2 2

圆的一般方程转化为标准方程;

(三) 、点直线圆的位置关系
1、点与圆的位置关系 设点 P( x0 , y0 ) ,圆 C ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 或 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则
2 2 2 2 2

点 P 在圆 C 上 ? ( x0 ? a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? r 2 ? x0 ? y0 ? Dx0 ? Ey0 ? F ? 0 ;

2

2

2、直线与圆的位置关系 直线 l : Ax ? By ? C ? 0( A, B 不全为 0) ,圆 C : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,圆心到直线 的距离为 d ,直线与圆的位置关系的判断方法:

d ? r ? 直线与圆相离; d ? r ? 直线与圆相切; d ? r ? 直线与圆相交;
3、两圆的位置关系 设两圆的圆心距为 d ,两圆半径分别为 r 1, r 2 ,则 d ? r 1 ?r 2 ? 两圆相离; d ? r 1 ?r 2 ? 两圆外切;| r1 ? r2 |? d ? r 1 ?r 2 ? 两圆相交; d ?| r 1 ? r2 | ? 两圆内切; d ?| r 1 ? r2 | ? 两 圆内含.

十二、椭圆模块
(一) 、椭圆的概念与基本性质
定 义 方 程 离心率

x2 y 2 x型: 2 ? 2 ?( 1 a ? b ? 0) a b y 2 x2 y型: 2 ? 2 ?( 1 a ? b ? 0) a b


| F1P | ? | F2 P |? 常数 ?| F1F2 |? 椭圆


c a 线段就想到和为常数 2 a , 焦点 ? (0,1) ?PF1F2 e?
②长轴 A1 A2 ? 2a ,短轴

①看到椭圆上的点与焦点的连

| F1P | ? | F2 P |? 常数 ?| F1F2 |? 线段F1F2 | F1P | ? | F2 P |? 常数 ?| F1F2 |? 无图

B1B2 ? 2b ,焦距 F1F2 ? 2c 长
半轴 a ,短半轴 b ,半焦距 c

2 2 2 备注:a、b、c 关系为 a ? b ? c

(二) 、直线与圆锥曲线的简单联立问题
直线被圆锥曲线所截弦长求法: 代数法:用一般的弦长公式 AB = (1 ? k ) x1 ? x2 ?
2

(1 ? k 2 ) ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 .

因为 ? ? 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时, 务必别忘了检验 ? ? 0 !


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