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【志鸿优化设计】2015届高考数学(人教版,理科)一轮总复习精品课件:8.5 直线、平面垂直的判定及其性质


8.5

直线、平面垂直的判定及其性质

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -2-

考纲要求 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的 有关性质与判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单 命题.<

br />
第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -3-

1.直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义: 如果直线 l 和平面 α 内的 与平面 α 垂直,记作

任意

一条直线都垂直,我们就说直线 l

l⊥α

.

(2)直线与平面垂直的判定方法: ①判定定理:一条直线与一个平面内的两条 么这条直线就垂直于这个平面. ②结论:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂 直于这个平面.用符号可表示为: ∥ ? ⊥

相交直线 都垂直,那

b⊥α .

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -4-

(3)直线与平面垂直的性质: ①由直线和平面垂直的定义知:直线垂直于平面内的 直线. ②性质定理:垂直于同一平面的两条直线平行.用符号可表示 为: ⊥ ? ⊥

任意一条

a∥ b .

想一想如果一条直线和一个平面内的无数条直线垂直,那么这条直线 就与此平面垂直,对吗? 答案:不对.如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,那么直线

与平面垂直.

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -5-

2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义: 两平面相交,如果它们所成的二面角是 面互相垂直. (2)平面与平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条 垂直.简述为“线面垂直,则面面垂直”,记为:

直二面角 ,就说这两个平

垂线 ,那么这两个平面互相
⊥ ? ?

α⊥β

.

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -6-

(3)平面与平面垂直的性质: 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂 ⊥ 直于另一个平面.用符号可表示为:? = ? m⊥β ? ⊥ 想一想垂直于同一平面的两个平面平行吗? .

答案:不一定,垂直于同一平面的两个平面的位置关系不确定.

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -7-

基础自测
1.“直线 l 垂直于平面 α 内的无数条直线”是“l⊥α”的( B ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -8-

2.若 m,n 表示直线,α 表示平面,则下列命题中,正确命题的个数为( C ) ∥ ① ? n ⊥α ⊥ ② ③ ④ ⊥ ? m∥n ⊥ ⊥ ? m⊥n ∥ ∥ ? n⊥α ⊥ B.2 C.3 D.4

A.1

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -9-

3.在如图所示的四个正方体中,能得出 AB⊥CD 的是(

)

关闭

A 中,CD⊥AB;B 中,AB 与 CD 成 60° 角;C 中,AB 与 CD 成 45° 角;D 中,AB
关闭

与 A CD 夹角的正切值为 2.
解析 答案

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -10-

4.设 α,β,γ 为彼此不重合的三个平面,l 为直线,给出下列命题: ①若 α∥β,α⊥γ,则 β⊥γ; ②若 α⊥γ,β⊥γ,且 α∩β=l,则 l⊥γ; ③若直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直,则直线 l 与平面 α 垂直; ④若 α 内存在不共线的三点到 β 的距离相等,则平面 α 平行于平面 β. 上面命题中,真命题的序号为 (写出所有真命题的序号).

关闭

③中 l∥α 也满足;④中 α 与 β 也可能相交.
关闭

①②
解析 答案

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -11-

考点一 直线与平面垂直的判定与性质
【例 1】 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60° .

(1)证明:AB⊥A1C; (2)若 AB=CB=2,A1C= 6,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积.

考点一

考点二

考点三

考点四

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -12-

答案:(1)证明:取 AB 的中点 O,连接 OC,OA1,A1B.因为 CA=CB, 所以 OC⊥AB. 由于 AB=AA1,∠BAA1=60° , 故△AA1B 为等边三角形,所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O, 所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C? 平面 OA1C,故 AB⊥A1C.

考点一

考点二

考点三

考点四

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -13-

(2)解:由题设知△ABC 与△AA1B 都是边长为 2 的等边三角形,所以
2 OC=OA1= 3.又 A1C= 6,则 A1C2=OC2+O1 ,故 OA1⊥OC.因为 OC∩AB=O,

所以 OA1⊥平面 ABC,OA1 为三棱柱 ABC-A1B1C1 的高.又△ABC 的面积 S△ABC= 3,故三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V=S△ABC×OA1=3.

考点一

考点二

考点三

考点四

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -14-

方法提炼 证明直线和平面垂直的常用方法: (1)利用判定定理; (2)利用面面垂直的性质定理; (3)利用结论:直线 a∥直线 b,a⊥平面 α? b⊥α; (4)利用结论:直线 a⊥直线 α,α∥平面 β? a⊥β.

考点一

考点二

考点三

考点四

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -15-

举一反三 1 如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面
ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60° ,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.求证:
关闭

(1)∵ PA⊥底面 ABCD,∴ PA⊥CD.又 AC⊥CD,∴ CD⊥平面 PAC.而 AE? 平面 PAC,∴ CD⊥AE. (2)∵ PA⊥底面 ABCD, ∴ PA⊥AB.又 AB⊥AD, ∴ AB⊥平面 PAD. 而 PD? 平面 PAD,∴ AB⊥PD.① 又由∠ABC=60° ,PA=AB=BC,得 PA=AC.∵ E 是 PC 的中点,∴ AE⊥PC. 1)CD ;,∴ 由(1)( 知 AE⊥AE CD AE⊥平面 PCD. ∴ AE ⊥ PD. ② (2 )PD ⊥ 平面 ABE. 由①②,得 PD⊥平面 ABE.
答案 考点一 考点二 考点三 考点四

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -16-

考点二

平面与平面垂直的判定与性质

【例 2】 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形,MA⊥平面 ABCD,PD∥MA,E,G,F 分别为 MB,PB,PC 的中点,且 AD=PD=2MA.

(1)求证:平面 EFG⊥平面 PDC; (2)求三棱锥 P-MAB 与四棱锥 P-ABCD 的体积之比.

考点一

考点二

考点三

考点四

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -17-

答案:(1)证明:由已知 MA⊥平面 ABCD,PD∥MA,得 PD⊥平面 ABCD. 又 BC? 平面 ABCD,所以 PD⊥BC.因为四边形 ABCD 为正方形,所以 BC⊥DC.又 PD∩DC=D,因此 BC⊥平面 PDC.在△PBC 中,因为 G,F 分别 为 PB,PC 的中点,所以 GF∥BC,因此 GF⊥平面 PDC. 又 GF? 平面 EFG,所以平面 EFG⊥平面 PDC. (2)解:因为 PD⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,不妨设 MA=1,则 PD=AD=2,所以 VP-ABCD= S 正方形 ABCD·PD= .由于 DA⊥平面 MAB,且 PD∥MA, 所以 DA 即为点 P 到平面 MAB 的距离,VP-MAB= × ×1×2×2= ,所以 VP-MAB∶ VP-ABCD=1∶ 4.
考点一 考点二 考点三 考点四
1 3 1 2 2 3 1 3 8 3

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -18-

方法提炼 1.证明平面与平面垂直,主要方法是判定定理,通过证明线面垂直来实 现,从而把问题再转化成证明线线垂直加以解决. 2.线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化是解决有关垂直证明题 的指导思想,其中线线垂直是最基本的,在转化过程中起穿针引线的作用,线 面垂直是纽带,可以把线线垂直与面面垂直联系起来.

考点一

考点二

考点三

考点四

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -19-

举一反三 2E 是矩形 ABCD 中 AD 边上的点,F 为 CD 边的中
点,AB=AE= AD,现将△ABE 沿 BE 边折至△PBE 位置,且平面 PBE⊥平面
关闭

2 3

由题可知, = BCDE. 求证 :平面 PEF. △ 中, PBE⊥平面 ?∠ DEF = 45° ⊥ ? EF⊥BE. = △中, ?∠AEB = 45° ⊥ 平面 ⊥ 平面 平面?平面 = ?EF ⊥ 平面 PBE ⊥ EF ? 平面 PEF ? 平面 PBE⊥平面 PEF.
答案 考点一 考点二 考点三 考点四

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -20-

考点三

线面、面面垂直的综合应用

【例 3】 如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边三角形,已知 BD=2AD=8,AB=2DC=4 5.

(1)设 M 是 PC 上的一点,求证:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P-ABCD 的体积.

考点一

考点二

考点三

考点四

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -21-

答案:(1)证明:在△ABD 中,∵ AD=4,BD=8,AB=4 5, ∴ AD2+BD2=AB2.∴ AD⊥BD. 又∵ 平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,BD? 平面 ABCD,∴ BD⊥平面 PAD. 又 BD? 平面 BDM,∴ 平面 MBD⊥平面 PAD.

考点一

考点二

考点三

考点四

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -22-

(2)解:过 P 作 PO⊥AD, ∵ 平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,∴ PO⊥平面 ABCD, 即 PO 为四棱锥 P-ABCD 的高. 又△PAD 是边长为 4 的等边三角形,∴ PO=2 3.在底面四边形 ABCD 中,AB∥DC,AB=2DC, ∴ 四边形 ABCD 为梯形.在 Rt△ADB 中,斜边 AB 边上的高为 为梯形的高.∴ S 四边形 ABCD=
4×8 4 5

=

8 5 ,此即 5

2 5+4 5 8 5 1 × =24.∴ VP-ABCD= ×24×2 2 5 3

3=16 3.

考点一

考点二

考点三

考点四

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -23-

方法提炼 当两个平面垂直时,常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线,把 面面垂直转化为线面垂直,进而可以证明线线垂直.

考点一

考点二

考点三

考点四

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -24-

举一反三 3 如图,四边形 ABCD 为正方形,QA⊥平面
ABCD, PD∥QA, QA=AB=2PD. ( 1) 证明: PQ⊥平面 DCQ; ( 2) 求棱锥 Q-ABCD 的体积与棱锥 P-DCQ 的体积的比值.
1

考点一

考点二

考点三

考点四

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -25-

( 1) 证明:由条件知四边形 PDAQ 为直角梯形. 因为 QA⊥平面 ABCD,QA? 平面 PDAQ, 所以平面 PDAQ⊥平面 ABCD,交线为 AD,所以 QA⊥DC. 又四边形 ABCD 为正方形,DC⊥AD,所以 DC⊥平面 PDAQ,可得 PQ⊥DC.在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ=PQ= 2 PD,则 PQ⊥QD. 又 DQ∩DC=D,所以 PQ⊥平面 DCQ.
2

考点一

考点二

考点三

考点四

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -26-

(2)解:设 AB=a.由题设知 AQ 为棱锥 Q-ABCD 的高, 所以棱锥 Q-ABCD 的体积 V1=3a3.由(1)知 PQ 为棱锥 P-DCQ 的高,而 PQ= 2a,△DCQ 的面积为 2 a2, 所以棱锥 P-DCQ 的体积 V2=3a3.故棱锥 Q-ABCD 的体积与棱锥 P-DCQ 的体积的比值为 1.
1 2 1

考点一

考点二

考点三

考点四

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -27-

考点四 垂直中的探索类和折叠类问题
【例 4】 如图(a),在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,D,E 分别为 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一点.将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥CD, 如图(b).

(1)求证:DE∥平面 A1CB. (2)求证:A1F⊥BE. (3)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?说明理由.
考点一 考点二 考点三 考点四

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -28-

答案: (1)证明:因为 D,E 分别为 AC,AB 的中点,所以 DE∥BC. 又因为 DE? 平面 A1CB,BC? 平面 A1CB, 所以 DE∥平面 A1CB. (2)证明:由已知得 AC⊥BC 且 DE∥BC, 所以 DE⊥AC.所以 DE⊥A1D,DE⊥CD. 所以 DE⊥平面 A1DC.而 A1F? 平面 A1DC, 所以 DE⊥A1F.又因为 A1F⊥CD,所以 A1F⊥平面 BCDE. 所以 A1F⊥BE.

考点一

考点二

考点三

考点四

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -29-

(3)解:线段 A1B 上存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ.理由如下: 如图,分别取 A1C,A1B 的中点 P,Q,则 PQ∥BC.

又因为 DE∥BC,所以 DE∥PQ.所以平面 DEQ 即为平面 DEP.由(2) 知,DE⊥平面 A1DC,所以 DE⊥A1C. 又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点, 所以 A1C⊥DP.所以 A1C⊥平面 DEP.从而 A1C⊥平面 DEQ.故线段 A1B 上存在点 Q,使得 A1C⊥平面 DEQ.
考点一 考点二 考点三 考点四

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -30-

方法提炼 在处理空间折叠问题时,要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相 互位置关系与长度关系等,关键是点、 线、 面位置关系的转化与平面几何知 识的应用,注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同,盲目套用容易导 致错误.

考点一

考点二

考点三

考点四

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -31-

举一反三 4 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6.D,E 分别是 AC,AB 上的点,且 DE∥BC,DE=2.将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置, 使 A1C⊥CD,如图 2.

(1)求证:A1C⊥平面 BCDE. (2)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小. (3)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由.

考点一

考点二

考点三

考点四

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -32-

答案: (1)证明:因为 AC⊥BC,DE∥BC,所以 DE⊥AC. 所以 DE⊥A1D,DE⊥CD.所以 DE⊥平面 A1DC.所以 DE⊥A1C.又因为 A1C⊥CD,DE? 平面 BCDE,CD? 平面 BCDE,所以 A1C⊥平面 BCDE. (2)解:如图,以 C 为坐标原点,建立空间直角坐标系 C-xyz, 则 A1(0,0,2 3),D(0,2,0),M(0,1, 3),B(3,0,0),E(2,2,0).设平面 A1BE 的法向量 为 n=(x,y,z), 则 n·1 B=0,n· =0. 又1 B=(3,0,-2 3), =(-1,2,0), 3-2 3z = 0, 所以 - + 2 = 0. 令 y=1,则 x=2,z= 3.所以 n=(2,1, 3). 设 CM 与平面 A1BE 所成的角为 θ. 因为 =(0,1, 3),所以 sin θ=|cos<n, >|= 所以 CM 与平面 A1BE 所成角的大小为 .
考点一 考点二 考点三 考点四
π 4 ·CM ||| CM|

=

4 8× 4

=

2 . 2

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -33-

(3)解:线段 BC 上不存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直.理由如下: 假设这样的点 P 存在,设其坐标为(p,0,0),其中 p∈[0,3].设平面 A1DP 的法向 量为 m=(x,y,z),则 m·1 D=0,m· =0. 又1 D=(0,2,-2 3), =(p,-2,0), 所以 2-2 3z = 0, 令 x=2,则 y=p,z= . 3 -2 = 0.
3

所以 m= 2,,

.

平面 A1DP⊥平面 A1BE,当且仅当 m·n=0, 即 4+p+p=0.解得 p=-2,与 p∈[0,3]矛盾. 所以线段 BC 上不存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直.
考点一 考点二 考点三 考点四

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -341 2 3 4

1.下列命题中错误的是( ) A.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β B.如果平面 α 不垂直于平面 β,那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β 关闭 C.如果平面 α⊥平面 γ,平面 β⊥平面 γ,α∩β=l,那么 l⊥平面 γ D.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 对于命题 A,在平面 α 内存在直线 l 平行于平面 α 与平面ββ 的交线,则 l

平行于平面 β,故命题 A 正确. 对于命题 B,若平面 α 内存在直线垂直于平面 β,则平面 α 与平面 β 垂直, 故命题 B 正确. 对于命题 C,设 α∩γ=m,β∩γ=n,在平面 γ 内取一点 P 不在 l 上,过 P 作 直线 a,b,使 a⊥m,b⊥n.∵ γ⊥α,a⊥m,则 a⊥α,∴ a⊥l, 同理有 b⊥l.又 a∩b=P,a? γ,b? γ, ∴ l⊥γ.故命题 C 正确. 关闭 对于命题 D,设 α∩β=l,则 l? α,但 l? β. D 故在 α 内存在直线不垂直于平面 β,即命题 D 错误.
解析 答案

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -351 2 3 4

2.如图所示,已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平面 ABC.则下 列结论不正确的是( )

关闭

A 中 ,∵ CD∥AF,AF? 面 PAF,CD? 面 PAF, ∴ CD∥平面 PAF 成立; B 中,∵ ABCDEF 为正六边形, A.CD∥平面 PAF B.DF⊥平面 PAF ∴ DF⊥AF.又∵ PA⊥面 ABCDEF, C. CF ∥平面 D.CF ∴ DF ⊥平面PAB PAF 成立 ; ⊥平面 PAD C 中,CF∥AB,AB? 平面 PAB,CF? 平面 PAB,∴ CF∥平面 PAB; D 而 D 中 CF 与 AD 不垂直,故选 D.
解析

关闭

答案

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -361 2 3 4

3.边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角,则 AC 的长 为 .

关闭

取 BD 的中点 E,连接 AE,EC,则 BD⊥AE,BD⊥EC,∠AEC 是直二面角的 平面角,即∠AEC=90° ,在 Rt△AEC 中,AE=EC= a
2a 2
关闭 ,于是 AC= 2 + E 2 =a.

解析

答案

第八章

8.5

直线、平面垂直的判定及其性质 -371 2 3 4

4.(2013 北京高考)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平
关闭 面 PAD⊥平面 ABCD,PA⊥AD.E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点. (1)因为平面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD, 所以 PA⊥底面 ABCD. (2)因为 AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点,所以 AB∥DE,且 AB=DE. 所以四边形 ABED 为平行四边形.所以 BE∥AD.又因为 BE? 平面 PAD,AD? 平面 PAD,所以 BE∥平面 PAD. (3)因为 AB⊥AD,而且四边形 ABED 为平行四边形,所以 BE⊥CD,AD⊥CD.由(1)知 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥CD.所以 CD⊥平面 PAD.所以 CD⊥PD. 因为 和 F 分别是 求证:(1) PAE ⊥底面 ABCD;CD 和 PC 的中点, 所以 PD∥EF.所以 CD⊥EF. (2)BE∥平面 PAD; 又因为 CD⊥BE,EF∩BE=E, (3)平面 BEF ⊥平面 PCD. 所以 CD ⊥平面 BEF. 所以平面 BEF⊥平面 PCD.

答案


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