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2011《金版新学案》高三数学一轮复习 第八章不等式阶段质量检测五随堂检测 理 北师大版


阶段质量检测(五)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 M={x|x <4},N={x|x -2x-3<0},则集合 M∩N 等于( A.{x|x<-2} C.{x|-1<x<2} B.{x|x>3} D.{x|2<x<3}
2 2

)

/>
【解析】 M={x|-2<x<2},N={x|-1<x<3}, 则 M∩N={x|-1<x<2}. 【答案】 C 2.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则 a12 的值是( A.15 B.30 C.31 D.64 【解析】 由{an}是等差数列知 a7+a9=2a8=16, ∴a8=8,又 a4=1,∴a12=2a8-a4=15. 【答案】 A 3.下列命题中的真命题是( A.若 a>b,c>d,则 ac>bd B.若|a|>b,则 a >b C.若 a>b,则 a >b
2 2 2 2 2

)

)

D.若 a>|b|,则 a >b

2

【解析】 由 a>|b|,可得 a>|b|≥0?a >b . 【答案】 D 4.不等式?

2

2

?x+1?<1 的解集为( ? ?x-1?

)

A.{x|0<x<1}∪{x|x>1} B.{x|0<x<1} C.{x|-1<x<0} D.{x|x<0} 【解析】 ∵?

?x+1?<1,∴|x+1|<|x-1|,∴x2+2x+1<x2-2x+1.∴x<0.∴不 ? ?x-1?

等式的解集为{x|x<0}. 【答案】 D a2 5.设 Sn 是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和,且 S1,S2,S4 成等比数列,则 等于 a1 ( )
用心 爱心 专心 1

A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 由 S1,S2,S4 成等比数列, ∴(2a1+d) =a1(4a1+6d). a2 a1+d 3a1 ∵d≠0,∴d=2a1.∴ = = =3. a1 a1 a1 【答案】 C 1 1 a b 6.设 a>0,b>0,若 3是 3 与 3 的等比中项,则 + 的最小值为( a b A.8 B.4 1 C.1 D. 4 【解析】 由题意知 3 ·3 =3,即 3
a b a+b 2

)

=3,所以 a+b=1. b a · =4.当且仅当 a a b

1 1 ?1 1? b a 因为 a>0,b>0,所以 + =? + ?(a+b)=2+ + ≥2+2 a b ?a b? a b =b 时,等号成立. 【答案】 B 7.记数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n(n-1),则该数列是( 1 A.公比为 2 的等比数列 B.公比为 的等比数列 2 C.公差为 2 的等差数列 D.公差为 4 的等差数列

)

【解析】 由条件可得 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n(n-1)-2(n-1)(n-2)=4(n-1), 当 n=1 时,a1=S1=3,代入适合,故 an=4(n-1),故数列{an}表示公差为 4 的等差数列. 【答案】 D 8.在函数 y=f(x)的图象上有点列{xn,yn},若数列{xn}是等差数列,数列{yn}是等比 数列,则函数 y=f(x)的解析式可能为( A.f(x)=2x+1 B.f(x)=4x
2

)

?3?x C.f(x)=log3x D.f(x)=? ? ?4? ?3?x ?3? 【解析】 结合选项,对于函数 f(x)=? ? 上的点列{xn,yn},有 yn=? ?xn.由于{xn} 4 ? ? ?4? ?3?x ? ? n+1 3 yn+1 ?4? ? ? ?3?d 是等差数列,所以 xn+1-xn=d,因此 = =? ?xn+1-xn=? ? ,这是一个与 n 无关的 yn ?4? ?3?x ?4? ?4? n ? ?
常数,故{yn}是等比数列. 【答案】 D
用心 爱心 专心 2

y 2 9.已知函数 f(x)=x -4x+3,若实数 x、y 满足条件 f(y)≤f(x)≤0,则 的取值范围 x 是( ) 1? ? ?1 ? A.?-∞, ?∪[3,+∞) B.? ,3? 3 ? ? ?3 ? 1? ? C.?-3,- ? 3? ?

?1 ? D.? ,1?∪(1,3] ?3 ?

【解析】 由 f(y)≤f(x)≤0 可得

即 画出其表示的平面区域如图:表示阴影部分内的点(x,y)与原点连线的斜率,由图形可 得的取值范围是. 【答案】 B 3x-y-6≤0, ? ? 10.设 x,y 满足约束条件?x-y+2≥0, ? ?x≥0,y≥0, 2 3 最大值为 12,则 + 的最小值为( a b A. C. 25 6 11 3 8 B. 3 D.4 )

若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的

【解析】 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by=z(a>0,b>0)过 直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点(4,6)时,目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值 12,即 4a+6b=12,即 2a+3b=6,而+=·=+≥+2=,故选 A 【答案】 A 11.对一切实数 x,不等式 x +a|x|+1≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是(
用心 爱心 专心
2

)
3

A.[-2,+∞) B.(-∞-2) C.[-2,2] D.[0,+∞) 【解析】 据已知可得 a≥-|x|- 1 ? 1 1 ? =-?|x|+ ?,据基本不等式|x|+ ≥2? |x|? |x| |x| ?

1 ? ? -?|x|+ ?≤-2,故若使原不等式恒成立,只需 a≥-2 即可. |x|? ? 【答案】 A 12.已知等比数列{an}的各项均为不等于 1 的正数,数列{bn}满足 bn=lgan,b3=18, b6=12,则数列{bn}前 n 项和的最大值等于( A.126 B.130 C.132 D.134 【解析】 由题意可知,lga3=b3,lga6=b6. 又∵b3=18,b6=12,则 a1q =10 ,a1q =10 , ∴q =10 . 即 q=10 ,∴a1=10 . 又∵{an}为正项等比数列, ∴{bn}为等差数列,且 d=-2,b1=22. 故 bn=22+(n-1)×(-2)=-2n+24. n(n-1) ∴Sn=22n+ ×(-2) 2
-2 22 3 -6 2 18 5 12

)

? 23?2 529 2 =-n +23n=-?n- ? + . 2? 4 ?
又∵n∈N ,故 n=11 或 12 时,(Sn)max=132. 【答案】 C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=1,S6=4S3,则 a4=________. 【解析】 设等比数列的公比为 q,则由 S6=4S3 知 q≠1, 1-q 4(1-q ) 3 3 ∴S6= = .∴q =3.∴a1q =3. 1-q 1-q 【答案】 3 ax-1 ? 1 ? 则 a=________. 14. 已知关于 x 的不等式 <0 的解集是(-∞, -1)∪?- ,+∞?, x+1 ? 2 ? 【解析】 由于不等式 ax-1 1 ? 1 ? <0 的解集是(-∞,-1)∪?- ,+∞?,故- 应是 ax x+1 2 ? 2 ?
6 3

-1=0 的根.∴a=-2. 【答案】 -2
用心 爱心 专心 4

15.若不等式 x -2ax+a>0 对 x∈R 恒成立,则关于 t 的不等式 a 解集为________. 【解析】 由 x -2ax+a>0 对 x∈R 恒成立得 Δ =4a -4a<0,即 0<a<1, ∴函数 y=a 是 R 上的减函数,∴2t+1>t +2t-3. 解得-2<t<2. 【答案】 (-2,2)
x 2 2 2

2

2t+1

<at +2t-3 的

2

16.若?表示一种运算,且有如下表示:1?1=2、m?n=k、(m+1)?n=k-1、m?(n+1) =k+2,则 2009?2009=________. 【解析】 由 m?(n+1)-m?n=k+2-k=2,取 m=1,可得数列{1?n}是以 1?1=2 为首 项,以 2 为公差的等差数列,因此 1?2009=2+(2009-1)×2=4018.又由(m+1)?n-m?n= k-1-k=-1,取 n=2009,得数列{m?2009}是以 1?2007=4018 为首项,以-1 为公差的等 差数列,于是 2009?2009=4018+(2009-1)×(-1)=2010. 【答案】 2010 三.解答题(本大题共 6 小题.共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (10 分)在公差为 d(d≠0)的等差数列{an}和公比为 q 的等比数列{bn}中, a2=b1=3, a5=b2,a14=b3, (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)令 cn=ban,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
?3+3d=3q ? 【解析】 (1)由条件得:? 2 ?3+12d=3q ? ?d=2 ? ∴? ?q=3 ?

∴an=2n-1,bn=3

n

(2)由(1)得,∴cn=ban=b2n-1=3
2n+1

2n-1



cn+1 3 = 2n-1=9,c1=3,所以{cn}是首项为 3,公比为 9 的等比数列. cn 3
n

3(1-9 ) 3 n ∴Tn= = (9 -1) 1-9 8 18.(12 分)已知函数 f(x)=ax +x-a,a∈R. 17 (1)若函数 f(x)有最大值 ,求实数 a 的值; 8 (2)解不等式 f(x)>1(a≥0). 【解析】 (1)a≥0 时不合题意, 1 ?2 1+4a ? 又 f(x)=a?x+ ? - , 4a ? 2a?
2 2

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5

1+4a 17 当 a<0 时,f(x)有最大值,且- = , 4a 8 1 解得 a=-2 或- . 8 (2)f(x)>1,即 ax +x-a>1, (x-1)(ax+a+1)>0, ①当 a=0 时,解得 x>1,即不等式的解集是{x|x>1}; 1? ? ②当 a>0 时,由(x-1)?x+1+ ?>0, a? ? 1 得 x>1 或 x<-1- . a
? ? ? 1 ∴不等式的解集是?x?x>1或x<-1- a ? ? ? ? ? ?. ? ?
2

2

19. (12 分)在平面直角坐标系中, 已知三个点列{An}、 {Bn}、 {Cn}, 其中 An(n, an)、 Bn(n, → bn)、Cn(n-1,0)满足:向量 AnAn+1 与BnCn共线,且点列{Bn}在方向向量为(1,6)的直线上,a1 =a,b1=-a. (1)试用 a 与 n 表示 an(n≥2); (2)若 a6 与 a7 两项中至少有一项是 an 的最小值,试求 a 的取值范围. 【解析】 (1)AnAn+1=(1,an+1-an), → BnCn=(-1,-bn). → 因为向量 AnAn+1 与向量BnCn共线, 则 an+1-an 1 = , -bn -1

即 an+1-an=bn. 又{Bn}在方向向量为(1,6)的直线上, 有 bn+1-bn =6, n+1-n

即 bn+1-bn=6. 所以 bn=-a+6(n-1), an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) =a1+b1+b2+…+bn-1 =a+3(n-1)(n-2)-a(n-1) =3n -(9+a)n+6+2a(n≥2). a+9 2 (2)二次函数 f(x)=3x -(9+a)x+6+2a 是开口向上,对称轴为 x= 拋物线. 6
2

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6

a+9 ?11 15? 11 又∵在 a6 与 a7 两项中至少有一项是 an 的最小值, 故对称轴 x= 在? , ?内, 即 6 2 ?2 2? a+9 15 < < , 6 2 ∴24<a<36.
? (x>0) ?f(x) 2 20. (12 分)已知函数 f(x)=ax +4(a 为非零实数), 设函数 F(x)=? ?-f(x) (x<0) ?

.

(1)若 f(-2)=0,求 F(x)的表达式; (2)设 mn<0,m+n>0,试判断 F(m)+F(n)能否大于 0? 【解析】 (1)由 f(-2)=0,4a+4=0?a=-1,
? (x>0) ?-x +4 ∴F(x)=? 2 ?x -4 (x<0) ? ?m·n<0 ? (2)∵? ? ?m+n>0
2

.

.∴m,n 一正一负.

不妨设 m>0 且 n<0,则 m>-n>0, F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=am +4-(an +4) =a(m -n ), 当 a>0 时,F(m)+F(n)能大于 0, 当 a<0 时,F(m)+F(n)不能大于 0. 21. (12 分)某高店代销某工厂生产的一种商品, 利润按销售额的 10%提成, 经市场调查: 若该商品以 50 元一个出售,则每月销售量 1 万个,若售价每提高 2 元,则销售量在上次的 基础上下降三个百分点.设以售价为 52 元出售为第一次提价,以后每次提价都在原来的售 价上提高 2 元. (1)求第 n 次提价的月销售额 an; (2)要使商店的月利润最大,进行几次提价最好? 【解析】 (1)由题意知:第 n 次提价的单价为: 50+2n(n∈N+), 第 n 次提价的销售量为 1×(1-3%) (n∈N+). ∴第 n 次提价的月销售额 an=(50+2n)×(1-3%) =(50+2n)(97%) (万元). (2)月利润表示为:an·10%,要使得 an·10%最大,只需 an 最大.
? ?an≥an+1?(50+2n)(97%) ≥(52+2n)(97%) 则? n n-1 ?an≥an-1?(50+2n)(97%) ≥(48+2n)(97%) ?
n n+1 n n n 2 2 2 2

22 25 ? ≤n≤ (n∈N+), 3 3

∴当 n=8,即提价 8 次时月利润最大.

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22.(12 分)已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等 差中项. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)若 bn=anlog an,Sn=b1+b2+b3+…+bn,对任意正整数 n,Sn+(n+m)an+1<0 恒成 2 立,试求 m 的取值范围.

【解析】 (1)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q. 依题意,有 2(a3+2)=a2+a4, 代入 a2+a3+a4=28,得 a3=8. ∴a2+a4=20.
? ?a1q+a1q =20, ∴? 2 ?a3=a1q =8, ?
3

?q=2 解之得? ?a1=2

1 ? ?q= , ,或? 2 ?a1=32. ?

又{an}单调递增,∴q=2,a1=2, ∴an=2 , 1 n n n (2)bn=2 ·log 2 =-n·2 , 2 ∴-Sn=1×2+2×2 +3×2 +…+n×2 ① -2Sn=1×2 +2×2 +…+(n-1)2 +n·2 ①-②得,Sn=2+2 +2 +…+2 -n·2 2(1-2 ) n+1 = -n·2 1-2 =2
n+1 n 2 3 n 2 3 n n+1 2 3 n n



n+1

-2-n·2

n+1

由 Sn+(n+m)an+1<0, 即2
n+1

-2-n·2
n+1

n+1

+n·2

n+1

+m·2

n+1

<0 对任意正整数 n 恒成立,

∴m·2

<2-2

n+1

.

1 对任意正数 n,m< n-1 恒成立. 2 1 ∵ n-1>-1,∴m≤-1. 2 即 m 的取值范围是(-∞,-1].

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