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2017年春季学期苏教版高中数学选修4-4学业分层测评:第二章 曲线的极坐标方程 6 Word版含答案


学业分层测评(六) (建议用时:45 分钟) 学业达标] x2 y2 1.过椭圆25+ 9 =1 的左焦点引一条直线与椭圆自上而下交于 A、B 两点, 若 FA=2FB,求直线 l 的斜率. 【解】 椭圆 x2 y2 + =1 中,a=5,b=3,c=4, 25 9 4 b2 9 所以 e=5,p= c =4. 取椭圆的左焦点为极点,x 轴正方向为极轴正方向,建立极坐标系,则椭圆 4 9 5×4 9 的极坐标方程为 ρ= = . 4 5-4cos θ 1-5cos θ 设 A(ρ1,θ)、B(ρ2,π+θ).由题设得 ρ1=2ρ2.于是 9 9 =2× , 5-4cos θ 5+4cos θ 5 119 119 解得 cos θ=12,所以 tan θ= 5 ,即直线 l 的斜率为 5 . 2. 已知椭圆方程为 ρ= 的面积. 16 , 过左焦点引弦 AB, 已知 AB=8, 求△AOB 5-3cos θ 【解】 如图,设 A(ρ1,θ)、 B(ρ2,θ+π). 16 所以 ρ1+ρ2= + 5-3cos θ 16 160 = . 5+3cos θ 25-9cos2θ 因为 AB=8, 所以 160 =8, 25-9cos2θ 5 2 所以 cos2θ=9,sin θ=3. 由椭圆方程知 c 3 b2 16 e=a=5, c = 3 ,则 c=3. 1 1 S△AOB=S△AOF+S△BOF=2OF· ρ1· sin θ+2OF· ρ2· sin θ=8. 3.如图 424,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的弦 AB 与 x 轴斜交,M 为 AB 的中点,MN⊥AB,并交对称轴于 N. 图 424 求证:MN2=AF· BF. 【证明】 为 ρ= p . 1-cos θ 取 F 为极点,Fx 为极轴建立极坐标系,则抛物线的极坐标方程 设 A(ρ1,θ)、B(ρ2,θ+π),则 p p p2 AF· BF= · = 2 . 1-cos θ 1+cos θ sin θ π 1 不妨设 0<θ<2,则 MF=2(ρ1-ρ2) 1 p p pcos θ =2( - )= sin2θ . 1-cos θ 1+cos θ 所以 MN=MF· tan θ pcos θ p = sin2θ tan θ=sin θ. 所以 MN2=AF· BF. 4. 如图 425, 已知圆 F: x2+y2-4x=0, 抛物线 G 的顶点是坐标系的原点, 焦点是已知圆的圆心 F,过圆心且倾斜角为 θ 的直线 l 与抛物线 G、圆 F 从上至 下顺次交于 A、B、C、D 四点. 图 425 (1)当直线的斜率为 2 时,求 AB+CD; (2)当 θ 为何值时,AB+CD 有最小值?并求这个最小值. 【解】 圆 F:x2+y2-4x=0 的圆心坐标为(2,0),半径为 2,所以抛物线的 焦点到准线的距离为 4. 以圆心 F 为极点,Fx 为极轴建立极坐标系.则圆 F 的坐标方程为 ρ=2,抛 物线 G 的极坐标方程为 ρ= 4 . 1-cos θ 设 A(ρ1,θ)、D(ρ2,θ+π),所以 AB=AF-2,CD=FD-2,即 AB+CD= AF+FD-4=ρ1+ρ2-4= 8 8 2 -4= sin2θ-4. 1-cos θ 4 (1)由题意,得 tan θ=2,所以 sin2θ=5. 8 所以 AB+CD=sin2θ-4=6. 8 (2)AB+CD=sin2θ-4, 当 sin2θ=1, π 即 θ=2时△ABF2 的面积取到最小值

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