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1.3.1圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 小慧制作


1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积

什么是面积? 面积:平面图形所占平面的大小
a b a A c h a
S ? 1 ah ? 1 ac sin B 2 2

S=ab
b

h

S?

1 ( a ? b) h 2

r

S ? ? ?r2
1 n S ? l ?r ? ? ?r2 360 2

B

C

S ? a ? ha ? b ? hb
b A a

l
r

? ab sin A

圆心角为n0

特殊平面图形的面积
正三角形的面积
a

1 3 s? ? a?a 2 2

正方形的面积

s ? a2
正六边形的面积
a

a

1 3 3 3 2 S ? 6? ? a?a ? a 2 2 2

多面体的表面积
正方体和长方体的表面积

h b a

长方体的表面展开图是六个矩形组成的 平面图形,其表面是这六个矩形面积的和. 设长方体的长宽高分别为a、b、h,则 S=2(ab+ah+bh) 其表面积为

特别地,正方体的表面积为S=6a2

多面体的表面积
一般地,由于多面体是由多个平面围成的空间 几何体,其表面积就是各个平面多边形的面积之和.
棱柱的表面积=2 ?底面积+侧面积 侧面积是各个侧面面积之和

棱锥的表面积=底面积+侧面积

棱台的表面积=上底面积+下底面积+侧面积

多面体的表面积 例1.已知棱长为a,底面为正方形,各侧面均 为等边三角形的四棱锥S-ABCD,求它的表面积.
解:四棱锥的底面积为a2, 每个侧面都是边长为a的正三 角形,所以棱锥的侧面积为
S侧 ? 4 ? 1 3 ?a? a? 2 2 3a 2

所以这个四棱锥的 表面积为
S ? a 2 ? 3a 2 ? (1 ? 3)a 2

旋转体的表面积
一般地,对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体,其 底面是平面图形(圆形),其侧面多是曲面,需要 按一定规则展开成平面图形进行面积的计算,最终 得到这些几何体的表面积. 圆柱 底面是圆形 圆柱的侧面展 开图是一个矩 形

S 底 ? ?r 2

S侧 ? 2?r ? l

S表 ? 2?r (r ? l )

旋转体的表面积
圆锥 侧面展开图是 一个扇形
1 S侧 ? ? 2?r ? l 2 ? ?rl

底面是圆形

S 底 ? ?r 2

S表 ? ?r (r ? l )

旋转体的表面积
圆台 侧面展开图是 一个扇状环形

底面是圆形

?2 S上底 ? ?r 2 S下底 ? ?r

S侧 ? ? (r ? ? r )l
?2 ? r 2 ? r ?l ? rl ) S 表 ? ? (r

旋转体的表面积
例2.一个圆台形花盆盆口直径为20cm,盆底直 径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁长 15cm,为了美化花盆的外观,需要涂油漆. 已知每 平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多 少 油 漆 ( 精 确 到 1 毫 升 ) ?
20

解:由圆台的表面积公式得一 个花盆外壁的表面积
S 表 ? ? [( 15 2 15 20 1.5 2 ) ? ?15 ? ?15] ? ? ? ( ) 2 2 2 2 2 2 ? 1000(cm) ? 0.1(m )

15

所以涂100个花盆需油漆: 0.1?100?100=1000(毫升).

空间几何体的体积
体积:几何体所占空间的大小
正方体的体积=棱长3

长方体的体积=长×宽×高

棱柱和圆柱的体积
高h

底面积S 柱体的体积 V=Sh

棱锥和圆锥的体积
S 高h

D
E O

底面积S

C

A

B

1 体积 V ? Sh 3

棱台和圆台的体积

高h

1 V ? (S ? ? 3

S ?S ? S ) h

例3.有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重 5.8kg(铁的密度是7.8g/cm3),已知螺帽的底 面是正六边形,边长为12mm,内孔直径为10mm, 高为10mm,问这堆螺帽大约有多少个? 解答: V≈2956(mm3)=2.956 (cm3) 5.8×100÷7.8×2.956 ≈252(个)

小结
? ?

?

常见平面图形的面积 多面体的表面积和体积 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 旋转体的表面积和体积 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积

作业
? ?

P27 练习1,2 P28-29 习题1.3 A组 1,2,3,4,5,6


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