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高考数学第一轮考点两角和与差的正弦、余弦和正切公式复习课件


1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 考 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦 、正切公式. 纲 要 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦 求 、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦 、正切公式,了解它们的内在联系.

1.以考查对公式的牢固记忆和深刻理解公式的变 换功能为主. 热 2.高考对本节的考查,主要集中在对公式的变 点 换能力上,以选择题、填空题、解答题的形式 提 出现,重点考查对公式进行逆用、变形用和配 示 凑用的能力. 3.预测2011年高考还将继续考查公式的基本变 形能力.

1.两角和与差的余弦公式:cos(α+β)= cosαcosβ -sinαsinβ ,cos(α-β)= cosαcosβ+sinαsinβ . 2.两角和与差的正弦公式:sin(α+β)= sinαcosβ +cosαsinβ ,sin(α-β)= sinαcosβ-cosαsinβ .

(1)要注意公式间的内在联系及特点,做题过程中,要善于 观察差异,寻找联系,实现转化;要熟悉公式的正用、逆用 和变形用,也应注意公式成立的条件.例如:tanα± tanβ= tan(α± β)(1?tanαtanβ). (2)注意拆角、拼角技巧.例如:2α=(α+β)+(α-β),α=(α α+β α-β α-β β α +β)-β,β= 2 - 2 , 2 =(α+2)-(2+β)等.

4.二倍角的正弦公式:sin2α= 2sinαcosα 2α-1 2α 2cos 1 - 2sin 的余弦公式:cos2α= =

,二倍角 =

cos2α-sin2α

2tanα . 二倍角的正切公式: tan2α = (α , 1-tan2α

π 2α≠2+kπ,k∈Z).

(1)升幂公式 α α α 1± sinα=(sin2± cos2)2;1+cosα=2cos22;1-cosα= 2sin 2. 1-cos2α 1+cos2α 2 (2)降幂公式:sin α= ;cos α= . 2 2
2 2α

(3)辅助角公式:asinα+bcosα= a2+b2sin(α+φ),其 a b b 中 cosφ= 2 ,sinφ= 2 ,tanφ=a,φ 角所在象限与 a +b2 a +b2 点(a,b)所在象限一致.

1 1.下列各式中,值为 的是 2 A.sin15° cos15° C. 1+cos30° 2
2

( π B.2cos -1 12 tan22.5° D. 1-tan222.5°

)

答案:D

2.sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 ( )

解析:原式=sin17° · (-sin43° )+(-sin73° )(-sin47° )=- 1 sin17° sin43° +cos17° cos43° =cos60° = ,故选 B. 2

答案:B

2cos(30° -20° )-sin20° 解析:原式= sin70° 2(cos30° · cos20° +sin30° · sin20° )-sin20° = sin70° 3cos20° = cos20° = 3.

答案:C

π 4.已知 a=(cos2α,sinα),b=(1,2sinα-1),α∈(2,π), 2 π 若 a· b=5,则 tan(α+4)的值为________.

2 2 解析: 由 a· b=5, 得 cos2α+sinα(2sinα-1)=5, 即 1-2sin2α 2 3 π 4 +2sin α-sinα=5,即 sinα=5.又 α∈(2,π),∴cosα=-5, 3 1-4 3 π 1+tanα 1 ∴tanα=-4,∴tan(α+4)= = =7. 3 1-tanα 1+ 4
2

答案:

解:原式= (sinx+1-2sin 2-1)(sinx-1+2sin 2+1) sin2x x x x x 2x 2x (2sin cos -2sin )(2sin cos +2sin ) 2 2 2 2 2 2 = x x 4sin2cos2cosx x x x x x (cos2-sin2)(cos2+sin2)· sin2 = x cos cosx 2
2x 2x

x x (cos 2-sin 2)· sin2 cosxsin2 x = = x =tan2. x cos2cosx cos2cosx

2x

2x

【例 1】

(1)化简:

θ θ (1+sinθ+cosθ)(sin -cos ) 2 2 (0<θ<π). 2+2cosθ 1+cos20° 1 (2)求值: 2sin20° -sin10° (tan5° -tan5° ).

θ 思路分析:(1)从把角 θ 变为2入手,合理使用公式. (2)应用公式把非 10° 角转化为 10° 的角,切化弦.

解:(1)原式 θ θ θ θ 2θ (2sin2cos2+2cos 2)(sin2-cos2) = 2θ 4cos 2 θ θ 2θ 2θ cos (sin -cos ) -cos · cosθ 2 2 2 2 = = . θ θ |cos2| |cos2| θ π 因为 0<θ<π,所以 0<2<2, θ 所以 cos2>0,所以原式=-cosθ.

2cos210° cos5° sin5° (2)原式= -sin10° ( - ) sin5° cos5° 2×2sin10° cos10° cos25° -sin25° cos10° =2sin10° -sin10° · sin5° cos5° cos10° cos10° =2sin10° -sin10° · 1 sin10° 2 cos10° -2sin20° cos10° =2sin10° -2cos10° = 2sin10° cos10° -2sin(30° -10° ) = 2sin10°

1 3 cos10° -2(2cos10° - 2 sin10° ) = 2sin10° 3sin10° 3 = 2sin10°= 2 .

变式迁移 1

(1)化简:2 sin8+1+ 2cos8+2;

(2)求值:[2sin50° +sin10° (1+ 3tan10° )]· 2sin280° .

解:(1)原式=2 1+2sin4cos4+ 4cos24 =2|sin4+cos4|+2|cos4|. 3 由于 π<4< π, 2 则有 sin4+cos4<0,cos4<0. 所以原式=-2(sin4+cos4)-2cos4 =-2sin4-4cos4.

(2)原式 cos10° + 3sin10° =(2sin50° +sin10° × )· 2sin80° cos10° 1 3 cos10° + sin10° 2 2 =(2sin50° +2sin10° × )× 2cos10° cos10° =2 2[sin50° · cos10° +sin10° · cos(60° -10° )] 3 =2 2sin(50° +10° )=2 2× 2 = 6.

β 1 α 2 π 【例 2】 已知 cos(α-2)=-9,sin(2-β)=3,且2<α<π, α+β π 0<β<2,求 cos 2 的值. 思路分析:角的变换:所求角分拆成已知角的和、差、倍 角等,综合上述公式及平方关系.

α+β β α 解:(α- )-( -β)= , 2 2 2 π π ∵2<α<π,0<β<2 π β π α π ∴ <α- <π,- < -β< . 4 2 4 2 4 β ∴sin(α-2)= α cos(2-β)= α+β ∴cos 2 β α β α 7 5 =cos(α-2)cos(2-β)+sin(α-2)· sin(2-β)= 27 . β 4 5 1-cos (α-2)= 9 ,
2

α 5 1-sin (2-β)= 3
2

角的变换:转化为同角、特殊角、已知角或它们的和、 差、倍、半等;如 α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α -β)等; 函数变换:弦切互化,化异名为同名. 综合运用和、差、倍角公式与平方关系时注意角的范围 对函数值的影响. 当出现互余、 互补关系, 利用诱导公式转化.

变式迁移 2

π 3π π 3 3π 已知 0<β<4<α< 4 , cos(4-α)=5, sin( 4 +β)

5 =13,求 sin(α+β)的值.

π π 3 解:cos(4-α)=sin(4+α)=5, π 3π ∵0<β<4<α< 4 , π π 3π 3π ∴2<4+α<π, 4 < 4 +β<π. π ∴cos(4+α)=- 3π cos( +β)=- 4 π 4 1-sin (4+α)=-5,
2

3π 12 1-sin ( +β)=- . 4 13
2

π 3π ∴sin[π+(α+β)]=sin[( +α)+( +β)] 4 4 π 3π π 3π =sin( +α)cos( +β)+cos( +α)sin( +β) 4 4 4 4 3 12 4 5 56 = ×(- )- × =- . 5 13 5 13 65 56 ∴sin(α+β)= . 65

【例 3】

1 13 π 已知 cosα=7,cos(α-β)=14,且 0<β<α<2.

(1)求 tan2α 的值; (2)求 β.

1 π 解:(1)由 cosα=7,0<α<2,得 sinα= 1-cos α=
2

12 4 3 1-(7) = 7 .

sinα 4 3 7 ∴tanα=cosα= 7 ×1=4 3. 2×4 3 2tanα 8 3 于是 tan2α= = =- 47 . 1-tan2α 1-(4 3)2

π π (2)由 0<β<α<2,得 0<α-β<2. 13 又∵cos(α-β)=14, ∴sin(α-β)= 1-cos2(α-β) = 13 2 3 3 1-(14) = 14 .

由 β=α-(α-β),得 cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)

1 13 4 3 3 3 1 =7×14+ 7 × 14 =2. π ∴β=3.

(1)通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数

时,遵循以下原则:
①已知正切函数值,选正切函数;

②已知正、余弦函数值,选正切或余弦函数;若角
的范围是(0, 选正弦较好. (2)解这类问题的一般步骤为: ①求角的某一个三角函数值; ),选正、余弦皆可;若角的范围

是(0,π),选余弦较好;若角的范围为(- , ),

变式迁移 3

(2009· 重庆卷)设△ABC 的三个内角为 A, B, ( π B. 3 5π D. 6 )

C,向量 m=( 3sinA,sinB),n=(cosB, 3cosA),若 m· n=1 +cos(A+B),则 C= π A. 6 2π C. 3

解析: m· n= 3sinAcosB+ 3cosAsinB= 3sin(A+B)= 3 sin(π-C)= 3sinC,又 cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC,故 3 π sinC=1-cosC,即 3sinC+cosC=1,即 2sin(C+ )=1,即 6 π 1 π π 7π π 5π 2π sin(C+ )= ,由于 <C+ < ,故只有 C+ = ,即 C= . 6 2 6 6 6 6 6 3 故选 C.

答案:C

→· → = 3|AB → 【例 4】 (2009· 湖北卷)在△ABC 中, 已知 2AB AC → |=3BC →2,求角 A,B,C 的大小. |· |AC →· → = 3|AB → |· → |实际上给出了角 A 思路分析:向量式 2AB AC |AC → |· 的余弦值,相当于知道了角 A 的大小,式子 3|AB → |=3BC →2,相当于知道了三角形三个边长之间的一个等 |AC

式, 根据正弦定理把其转化为角的关系, 通过三角恒等变换解 决.

解:设 BC=a,AC=b,AB=c, 3 → → → → 由 2AB· AC= 3|AB|· |AC|,得 2bccosA= 3bc,所以 cosA= 2 . π 又 A∈(0,π),因此 A=6. → |· → |=3BC →2,得 bc= 3a2. 由 3|AB |AC 3 于是 sinC· sinB= 3sin A= 4 .
2

5π 3 1 3 3 所以 sinC· sin( -C)= ,sinC· ( cosC+ sinC)= , 6 4 2 2 4

因此 2sinC· cosC+2 3sin2C= 3, sin2C- 3cos2C=0, π 即 sin(2C- )=0. 3 π 5π π π 4π 由 A= ,知 0<C< ,所以- <2C- < , 6 6 3 3 3 π π π 2π 从而 2C- =0,或 2C- =π,即 C= ,或 C= , 3 3 6 3 π 2π π π π 2π 故 A=6,B= 3 ,C=6,或 A=6,B=6,C= 3 .

π 本题就是“在△ABC 中已知角 A= ,bc= 3a2,求角 B 6 和角 C”, 试题把明显的已知条件通过三角形三边所在的向量 表示出来,这个表示可谓匠心独具,使得试题增色不少.

变式迁移 4 (2009· 衡阳模拟)已知在△ABC 中,三条边 a、b、 c 所对的角分别为 A、 B、 C, 向量 m=(sinA, cosA), n=(cosB, sinB), 且满足 m· n=sin2C. (1)求角 C 的大小; →· → -AC → )=18,求 (2)若 sinA、sinC、sinB 成等比数列,且CA (AB △ABC 的面积和边 c 的大小.

解: (1)∵m=(sinA, cosA), n=(cosB, sinB), m· n=sin2C, ∴sinAcosB+cosAsinB=sin2C, ∴sin(A+B)=sin2C, 1 ∴sinC=2sinCcosC,∴cosC= . 2 π 又 C 为△ABC 的内角,∴C= . 3

(2)∵sinA,sinC,sinB 成等比数列, ∴sin2C=sinAsinB. 由正弦定理知 c2=ab. →· → -AC → )=18, 又CA (AB →· → =18,∴abcosC=18, 即CA CB 1 ∴ab=36,∴S△ABC=2absinC=9 3,c=6.

1.对公式的掌握,既要能正用,还要进行逆用及变形应 用.记忆公式要注意角、三角函数名称排列以及连结符号 “+”“-”的变化特点,要掌握一些常见的变形使用,如 tanα+tanβ tan(α + β) = 变 形 为 tanα + tanβ = tan(α + β)(1 - 1-tanαtanβ tanαtanβ) , cos2α = 2cos2α - 1 = 1 - 2sin2α 变 形 为 cos2α = 1+cos2α 1-cos2α 2 ,sin α= 等. 2 2

2.明确变形目标,重视角的变换,注意角的范围.确定 变形的目标和方向很重要, 根据所求目标及条件常可对角进行 一些变换,如 2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),α=(α π π α +β)-β,α+ =(α+β)-(β- ),α=2·等等,再根据条件确 3 3 2 定其范围,计算有关函数值.

3.要注意从整体上把握公式的结构特点,根据公式的整 体特点采用代数变形(如平方相加、平方相减),有利于简化复 杂的三角运算.


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