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2016高考数学(理科)专题:统计、统计案例、计数原理、概率、随机变量及其分布列(含两年高考一年模拟)


第九章 统计、统计案例、计数原理、 概率、随机变量及其分布列 考点 31 统计、统计案例

两年高考真题演练 1.(2015· 陕西)某中学初中部共有 110 名教师,高中部共有 150 名 教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为( )

A.167

B.137

C.123

D.93

2.(2015· 新课标全国Ⅰ)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国 二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图.以下结论不正确的是( )

A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 3. (2015· 福建)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系, 随机调查了该社区 5 户家庭,得到如下统计数据表: 收入 x(万元) 支出 y(万元) 8.2 6.2 8.6 7.5 10.0 11.3 11.9 8.0 8.5 9.8

根据上表可得回归直线方程 y^ =b^ x+a^ ,其中 b^ =0.76, a^ =y-b^ x. 据此估计, 该社区一户年收入为 15 万元家庭的年支出 为( ) A.11.4 万元 B.11.8 万元 C.12.0 万元 D.12.2 万元 4.(2015· 安徽)若样本数据 x1,x2,?,x10 的标准差为 8,则数 据 2x1-1,2x2-1,?,2x10-1 的标准差为( A.8 B.15 C.16 D.32 5.(2015· 湖南)在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位: 分钟)的茎叶图如图所示 )

若将运动员按成绩由好到差编为 1~35 号, 再用系统抽样方法从 中 抽 取 7 人 , 则其 中 成 绩 在 区 间 [139 , 151] 上 的 运 动员 人 数 是 ________. 6.(2014· 安徽)某高校共有学生 15 000 人,其中男生 10 500 人, 女生 4 500 人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用 分层抽样的方法. 收集 300 位学生每周平均体育运动时间的样本数据 (单位:小时).

(1)应收集多少位女生的样本数据? (2)根据这 300 个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的 频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为:[0,2], (2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平均 体育运动时间超过 4 小时的概率; (3)在样本数据中,有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 小时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. n(ad-bc)2 附K = (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
2

P(K2≥k0) k0

0.10

0.05

0.010 0.005

2.706 3.841 6.635 7.879

考点 31

统计、统计案例

一年模拟试题精练 1.(2015· 安徽宿州模拟)某种商品的广告费支出 x 与销售额 y(单 位:万元)之间有如下对应数据,根据表中提供的全部数据,用最小 二乘法得出 y 与 x 的线性回归方程为^ y=6.5x+17.5, 则表中的 m 的值 为( ) x y 2 30 4 40 5 m 6 50 8 70

A.45 B.50 C.55 D.60 2.(2015· 山东泰安一模)根据如下样本数据 x y 3 4.0 4 5 6 7

2.5 -0.5 0.5 -2.0

得到的回归方程为^ y=bx+a.若 a=7.9,则 x 每增加 1 个单位,y 就( ) A.增加 1.4 个单位 C.增加 1.2 个单位 B.减少 1.4 个单位 D.减少 1.2 个单位

3.(2015· 安徽江南十校模拟)将

甲、 乙两名篮球运动员在 5 场篮球比赛中的得分制成茎叶图如图 所示,若 x 甲,x 乙分别表示甲、乙两名运动员 5 场比赛的平均得分, 则下列结论正确的是( )

A.x 甲>x 乙,且甲队员比乙队员成绩稳定 B.x 甲>x 乙,且乙队员比甲队员成绩稳定 C.x 甲<x 乙,且甲队员比乙队员成绩稳定 D.x 甲<x 乙,且乙队员比甲队员成绩稳定 4.(2015· 广东潮州模拟)已知回归直线的斜率的估计值是 1.23, 样本中心点为(4,5),若解释变量的值为 10,则预报变量的值约为 ( ) A.16.3 B.17.3 C.12.38 D.2.03 5.(2015· 广东东莞模拟)对两个变量 y 和 x 进行回归分析,得到 一组样本数据: (x1, y 1 ), (x2, y2), ?, (xn, y n ), 则不正确的说法是( )

A.若求得的回归方程为^ y=0.9x-0.3,则变量 y 和 x 之间具有正 的线性相关关系 B.若这组样本数据分别是(1,1),(2,1.5),(4,3),(5,4.5), 则其回归方程^ y=bx+a 必过点(3,2.5) C.若同学甲根据这组数据得到的回归模型 1 的残差平方和为 E1 =0.8.同学乙根据这组数据得到的回归模型 2 的残差平方和为 E2= 2.1,则模型 1 的拟合效果更好 D.若用相关指数 R2(R2=1-错误!,a=y-bx,其中 x,y 为样本 平均值.

考点 32

排列、组合、二项式定理 两年高考真题演练

1.(2015· 湖北)已知(1+x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系 数相等,则奇数项的二项式系数和为( A.29 C.211 B.210 D.212 )

2.(2015· 陕西)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中 x2 的系数为 15, 则 n=( A.4 C.6 3. (2015· 湖南)已知? x-
? ?

) B.5 D.7 a ?5 3 ? 的展开式中含 x 的项的系数为 30, 2 x?

则 a=( A. 3 C.6

) B.- 3 D.-6

4.(2015· 四川)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五 位数,其中比 40 000 大的偶数共有( A.144 个 )

B.120 个

C.96 个

D.72 个

5.(2015· 新课标全国Ⅰ)(x2+x+y)5 的展开式中,x5y2 的系数为 ( ) A.10 B.20 C.30 D.60 6.(2014· 大纲全国)有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名 男医生、1 名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( A.60 种 B.70 种 C.75 种 D.150 种 7.(2014· 辽宁)6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相 邻的坐法种数为( ) )

A.144 B.120 C.72 D.24 8.(2014· 四川)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙, 最右端不能排甲,则不同的排法共有( A.192 种 B.216 种 C.240 种 D.288 种 9.(2014· 重庆)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类 节目和 1 个相声类节目的演出顺序, 则同类节目不相邻的排法种数是 ( ) A.72 B.120 C.144 D.168 )

10.(2015· 福建)(x+2)5 的展开式中,x2 的系数等于________(用 数字作答). 1?7 ? 11. (2015· 安徽)?x3+x? 的展开式中 x5 的系数是________(用数字
? ?

填写答案). 12.(2015· 新课标全国Ⅱ)(a+x)(1+x)4 的展开式中 x 的奇数次幂 项的系数之和为 32,则 a=____________. 13.(2015· 广东)某高三毕业班有 40 人,同学之间两两彼此给对 方仅写一条毕业留言,那么全班共写了________条毕业留言(用数字 作答). 14.(2014· 福建)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四 个关系: ①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4 有且只有一个是正确的,则 符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是________. 15.(2014· 新课标全国Ⅱ)(x+a)10 的展开式中,x7 的系数为 15, 则 a=________(用数字填写答案). x?n ? 16.(2014· 安徽)设 a≠0,n 是大于 1 的自然数,?1+a? 的展开式
? ?

为 a0+a1x+a2x2+?+anxn.若点 Ai(i, ai)(i=0, 1, 2)的位置如图所示, 则 a=________.

考点 32

排列、组合、二项式定理 一年模拟试题精练

1.(2015· 重庆万州区模拟)8 个人坐成一排,现要调换其中 3 个 人中每一个人的位置,其余 5 个人的位置不变,则不同的调换方式有 ( ) A. C3 8
3 B. C3 8A8 3 2 C.C8 A2 3 D. 3C8

1?n ? 2.(2015· 安徽江南十校模拟 )在二项式?x3-x ? (n∈N*)的展开式
? ?

中,常数项为 28,则 n 的值为( A.12 B.8

) C.6 D.4

3.(2015· 河南信阳模拟)某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参 加数学、物理、化学竞赛,要求每位同学仅报一科,每科至少有一位 同学参加,且甲、乙不能参加同一学科,则不同的安排方法有( A.36 种 B.30 种 C.24 种 D.6 种 4.(2015· 山东滨州模拟)七名同学站成一排照毕业纪念照,其中 甲必须站在正中间,并且乙,丙两位同学要站在一起,则不同的排法 有( ) A.240 种 B.192 种 C.120 种 D.96 种 )

5. (2015· 山东济南一模)将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色, 并使同一条棱上的两个端点异色,若只有 4 种颜色可供使用,则不同 的染色方法总数有( )

A.48 种 B. 60 种 C.96 种 D.72 种 6.(2015· 江西模拟)学校组织老师参加社会调查,某小组共有 5 名男教师,4 名女教师.现从该小组中选出 3 位老师分别到 A,B,C 三地进行社会调查,若选出的老师中男女均有,则不同安排方法有 ( ) A.70 种 B.140 种 C.840 种 D.420 种 7.(2015· 安徽江南十校模拟)某班级有 6 名同学去报名参加校学 生会的 4 项社团活动.若甲、乙两位同学不参加同一社团,每个社团 都有人参加,每人只参加一个社团,则不同的报名方案数为( A.4 320 B.2 400 C.2 160 D.1 320 1?n ? 8.(2015· 东北三省三校模拟)设二项式?x-2? (n∈N*)展开式的二
? ?

)

a1+a2+?+an 项式系数和与各项系数和分别为 an、bn,则 =( b1+b2+?+bn A.2n-1+3 C.2n+1 B.2(2n-1+1) D.1

)

9.(2015· 甘肃河西模拟)从某校数学竞赛小组的 10 名成员中选 3 人参加省级数学竞赛,则甲、乙 2 人至少有 1 人入选,而丙没有入选 的不同选法的种数为________(用数字作答). 10. (2015· 贵州模拟)(1-x-5y)5 的展开式中不含 x 的项的系数和

为________(结果化成最简形式). 11.(2015· 广东广州模拟)由 0,1,2,?,9 这十个数字组成的 无重复数字的四位数中, 十位数字与千位数字之差的绝对值等于 7 的 四位数的个数是________. 12. (2015· 安徽马鞍山模拟)某班 3 名男生 2 名女生被派往三个单 位实习,每个单位至少去一人,两名女生不去同一单位,则不同的分 派方案有________(用数字作答). 1 13 . (2015· 广州惠州模拟 ) 二项式 (x - x )6 的展开式的常数项是 ________(用数字作答). 1 ? ?x2,0≤x<1, 14. (2015· 湖北七州模拟)若函数 f(x)=? 的图象 3 5 5 ? ?-2x+2,1≤x≤3 a 与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 a, 则(x-x2)6 的展开式中的常数项 为________(用数字作答).

考点 33

古典概型、几何概型

两年高考真题演练 1.(2015· 湖北)在区间[0,1]上随机取两个数 x,y,记 p1 为事件 1 1 1 “x+y≥2” 的概率, p2 为事件“|x-y|≤2” 的概率, p3 为事件“xy≤2” 的概率,则( A.p1<p2<p3 C.p3<p1<p2 ) B.p2<p3<p1 D.p3<p2<p1

x≤0, ? ? 2.(2014· 湖北)由不等式组?y≥0, 确定的平面区域记为 Ω1, ? ?y-x-2≤0
?x+y≤1, ? 不等式组? 确定的平面区域记为 Ω2,在 Ω1 中随机取一点, ? ?x+y≥-2

则该点恰好在 Ω2 内的概率为( 1 1 3 7 A.8 B.4 C.4 D.8

)

3.(2014· 陕西)从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概率为( 1 2 3 4 A.5 B.5 C.5 D.5 4.(2014· 新课标全国Ⅰ)4 位同学各自在周六、周日两天中任选 一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 ( ) )

1 3 5 7 A.8 B.8 C.8 D.8 5.(2015· 江苏)袋中有形状、大小都相同的 4 只球,其中 1 只白 球,1 只红球,2 只黄球,从中一次随机摸出 2 只球,则这 2 只球颜 色不同的概率为________. 6.(2015· 福建)

如图,点 A 的坐标为(1,0),点 C 的坐标为(2,4),函数 f(x)= x2,若在矩形 ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 ________. 7.(2014· 重庆)某校早上 8:00 开始上课,假设该校学生小张与 小王在早上 7:30~7:50 之间到校,且每人在该时间段的任何时刻 到校是等可能的,则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为 ________(用数字作答). 8.(2014· 福建)如图,

在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆, 则 它落到阴影部分的概率为________.

9.(2014· 辽宁)

正方形的四个顶点 A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1, 1)分别在抛物线 y=-x2 和 y=x2 上, 如图所示, 若将一个质点随机投 入正方形 ABCD 中,则质点落在图中阴影区域的概率是________. 10.(2014· 江西)10 件产品中有 7 件正品,3 件次品,从中任取 4 件,则恰好取到 1 件次品的概率是________. 11.(2014· 山东)海关对同时从 A,B,C 三个不同地区进口的某 种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如下 表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进 行检测. 地区 数量 A 50 B 150 C 100

(1)求这 6 件样品中来自 A,B,C 各地区商品的数量; (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测, 求这 2 件商品来自相同地区的概率.

考点 33

古典概型、几何概型

一年模拟试题精练 1.(2015· 四川成都模拟)一个边长为 2 m,宽 1 m 的长方形内画 有一个中学生运动会的会标,在长方形内随机撒入 100 粒豆子,恰有 60 粒落在会标区域内,则该会标的面积约为( 3 A.5 m2 12 C. 5 m2 6 B.5 m2 18 D. 5 m2 )

2.(2015· 广东佛山模拟)某校高三年级学生会主席团共有 5 名同 学组成,其中有 3 名同学来自同一班级,另外两名同学来自另两个不 同班级.现从中随机选出两名同学参加会议,则两名选出的同学来自 不同班级的概率为( A. 0.35 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 3.(2015· 贵州模拟)设实数 a,b 均为区间[0,1]内的随机数,则 1 关于 x 的不等式 bx2+ax+4<0 有实数解的概率为( 1 1 A.2 B.6 1 2 C.3 D.3 4.(2015· 广东广州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,设不等式组 ) )

? ?-1≤x≤1, ? 所表示的平面区域是 W, 从区域 W 中随机取点 M(x, y), ? ?0≤y≤2

则|OM|≤2 的概率是________. 5. (2015· 青岛一模)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C, 现作 一矩形,使邻边长分别等于线段 AC、CB 的长,则该矩形面积大于 20 cm2 的概率为________. 6.(2015· 江南十校模拟)已知集合 A={(x,y)||x|+|y|≤2,x,y∈ Z}集合 B={(x,y)|x2+y2≤2,x,y∈Z}在集合 A 中任取一个元素 a, 则 a∈B 的概率是________. 7.(2015· 山东莱芜模拟)已知袋子中放有大小和形状相同的小球 若干,其中标号为 0 的小球 1 个,标号为 1 的小球 1 个,标号为 2 的 小球 n 个.若从袋子中随机抽取 1 个小球,取到标号为 2 的小球的概 1 率是2. (1)求 n 的值; (2)从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球,记第一次取出的小球 标号为 a,第二次取出的小球标号为 b. ①记“2≤a+b≤3”为事件 A,求事件 A 的概率; ②在区间[0, 2]内任取 2 个实数 x, y, 求事件“x2+y2>(a-b)2 恒 成立”的概率.

考点 34

离散型随机变量及其分布列 两年高考真题演练

2 2 1.(2015· 湖北)设 X~N(μ1,σ 1 ),Y~N(μ2,σ 2 ),这两个正态分

布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是(

)

A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C.对任意正数 t,P(X≤t)≥P(Y≤t) D.对任意正数 t,P(X≥t)≥P(Y≥t) 2.(2015· 湖南)

在如图所示的正方形中随机投掷 10 000 个点,则落入阴影部分 (曲线 C 为正态分布 N(0, 1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( 附:若 X~N(μ,σ2),则 P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6, P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4. A.2 386 B.2 718 C.3 413 D.4 772 )

3.(2015· 山东)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态

分布 N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概 率为(附:若随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ,σ2),则 P(μ-σ<ξ<μ+σ) =68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)( )

A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74% 4.(2014· 浙江)已知甲盒中仅有 1 个球且为红球,乙盒中有 m 个 红球和 n 个蓝球(m≥3,n≥3),从乙盒中随机抽取 i(i=1,2)个球放 入甲盒中. (a)放入 i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为ξ i(i=1,2); (b)放入 i 个球后,从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi(i=1, 2).则( )

A.p1>p2,E(ξ1)<E(ξ2) B.p1<p2,E(ξ1)>E(ξ2) C.p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2) D.p1<p2,E(ξ1)<E(ξ2) 1 5.(2014· 浙江)随机变量 ξ 的取值为 0,1,2,若 P(ξ=0)=5, E(ξ)=1,则 D(ξ)=________. 6.(2015· 重庆)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有 10 个粽子,其中豆沙粽 2 个,肉粽 3 个,白粽 5 个,这三种粽子的 外观完全相同,从中任意选取 3 个. (1)求三种粽子各取到 1 个的概率; (2)设 X 表示取到的豆沙粽个数,求 X 的分布列与数学期望.

考点 34

离散型随机变量及其分布列 一年模拟试题精练

2 1.(2015· 山东滨州模拟)设 ξ 是离散型随机变量,P(ξ=x1)=3, 1 4 2 P(ξ=x2)=3, 且 x1<x2, 又已知 E(ξ)=3, D(ξ)=9, 则 x1+x2 的值为( 5 A.3 7 B.3 C.3 11 D. 3 )

2.(2015· 福建福州模拟)体育课的排球发球项目考试的规则是: 每位学生最多可发球 3 次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发 到 3 次为止.设学生一次发球成功的概率为 p(p≠0),发球次数为 X, 若 X 的数学期望 E(X)>1.75,则 p 的取值范围是( 7? 1? ? ?7 ? ? ?1 ? A.?0,12? B.?12,1? C.?0,2? D.?2,1? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.(2015· 广东模拟)已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,1). 若 P(1≤X≤3)=0.6826,则 P(X>3)等于________. 4.(2015· 山东济南一模)某校为了普及环保知识,增强学生的环 保意识,在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛、复赛, 甲、乙两个代表队(每队 3 人)进入了决赛,规定每人回答一个问题, 答对为本队赢得 10 分,答错得 0 分.假设甲队中每人答对的概率均 3 4 3 2 为4,乙队中 3 人答对的概率分别为5,4,3,且各人回答正确与否相 互之间没有影响,用 ξ 表示乙队的总得分. )

(1)求 ξ 的分布列和数学期望; (2)求甲、乙两队总得分之和等于 30 分且甲队获胜的概率.

5.(2014· 成都二诊)节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量, 使用时间越长,表明质量越好,且使用时间大于或等于 6 千小时的产 品为优质品.现用 A,B 两种不同型号的节能灯做试验,各随机抽取 部分产品作为样本,得到试验结果的频率分布直方图如图所示.

以上述试验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率. (1)现从大量的 A, B 两种型号节能灯中各随机抽取两件产品,求 恰有两件是优质品的概率;

(2)已知 A 型节能灯的生产厂家对使用时间小于 6 千小时的节能 灯实行 “三包” . 通过多年统计发现, A 型节能灯每件产品的利润 y(单 位:元)与其使用时间 t(单位:千小时)的关系如下表: 使用时间 t(单位:千小时) 每件产品的利润 y(单位:元) t<4 -20 4≤t<6 20 t≥6 40

若从大量的 A 型节能灯中随机抽取两件,其利润之和记为 X(单 位:元),求 X 的分布列及数学期望.

第九章 统计、统计案例、计数原理、概率、随机变量及其分布 列 考点 31 【两年高考真题演练】 1.B [由题干扇形统计图可得该校女教师人数为:110×70%+ 150×(1-60%)=137.故选 B.] 2. D [从 2006 年, 将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较, 得到 2008 年二氧化硫排放量与 2007 年排放量的差最大, A 选项正确; 2007 年二氧化硫排放量较 2006 年降低了很多,B 选项正确; 虽然 2011 年二氧化硫排放量较 2010 年多一些,但自 2006 年以 来,整体呈递减趋势,即 C 选项正确;自 2006 年以来我国二氧化硫 年排放量与年份负相关,D 选项错误,故选 D.] 3.B [回归直线一定过样本点中心(10,8),∵b^ =0.76,∴a^ =0.4,由 y^ =0.76x+0.4 得当 x=15 万元时,y^ =11.8 万元.故选 B.] 4.C [法一 由题意知,x1+x2+?+x10=10x, s1= 1 2 2 2 10[(x1-x) +(x2-x) +?+(x10-x) ], 统计、统计案例

1 则 y=n[(2x1-1)+(2x2-1)+?+(2x10-1)] 1 =n[2(x1+x2+?+x10)-n]=2x-1, 所 以 S2 =

1 2 2 2 10[(2x1-1-y) +(2x2-1-y) +?+(2x10-1-y) ] = 4 2 2 2 10[(x1-x) +(x2-x) +?+(x10-x) ]

=2s1,故选 C.

法二 由方差的性质可得.] 5.4 [由题意知,将 1~35 号分成 7 组,每组 5 名运动员,落

在区间[139,151]的运动员共有 4 组,故由系统抽样法知,共抽取 4 名.] 6.解 4 500 (1)300×15 000=90,

所以应收集 90 位女生的样本数据. (2)由频率分布直方图得 1-2×(0.100+0.025)=0.75, 所以该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率的估计 值为 0.75. (3)由(2)知,300 位学生中有 300×0.75=225 人的每周平均体育 运动时间超过 4 小时, 75 人的每周平均体育运动时间不超过 4 小时. 又 因为样本数据中有 210 份是关于男生的,90 份是关于女生的.所以 每周平均体育运动时间与性别列联表如下: 男生 女生 总计 每周平均体育运动时间不超 过 4 小时 每周平均体育运动时间超过 4 小时 总计
2

45

30

75

165 210

60 90

225 300

300×2 2502 100 结合列联表可算得 K = = 21 ≈4.762>3.841. 75×225×210×90 所以, 有 95%的把握认为 “该校学生的每周平均体育运动时间与 性别有关” . 【一年模拟试题精练】 1.B [因为线性回归方程为^ y=6.5x+17.5 恒过样本中心点,而

x=5,∴y=50,则 m=50,故选 B.] 2.B [因为回归方程为 y=bx+a 恒过样本中心点(5,0.9),所 以 b=-1.4,则 x 每增加一个单位,y 就减少 1.4 个单位,故选 B.] 3.B [根据茎叶图,知: 甲的平均成绩为 x 甲= 14+25+26+30+33 =25.6 5 16+20+22+24+31 =22.6 5

乙的平均成绩为 x 乙=

1 2 甲的方差为 s甲 =5×[(14-25.6)2+(25-25.6)2+(26-25.6)2+(30 -25.6)2+(33-25.6)2]=41.84, 1 2 乙的方差为 s乙 =5[(16-22.6)2+(20-22.6)2+(22-22.6)2+(24- 22.6)2+(31-22.6)2]=24.64;
2 ∴x 甲>x 乙,s甲 >s2 乙 ,即甲运动员比乙运动员平均得分高,乙队

员比甲队员成绩稳定.] 4.C [设线性回归方程为 y=1.23x+a,因为样本中心点为(4, 5),所以 a=0.08,故当 x=10 时,y=12.38,故选 C .] 5.D [相关指数 R2 越接近于 1 拟合效果越好,故选 D.] 6.解 (1)∵错误!i=25,

15 15 ∴x=5 ?xi=4,y=5 ?yi=5.
i=1 i=1

∴b=错误!=错误!=1.2, a=y-bx=5-1.2×4=0.2. ∴线性回归方程 y=1.2x+0.2. (2)由(1)知 b=1.2>0,∴变量 x 与 y 之间是正相关. (3)由(1)知,当 x=8 时,y=1.2×8+0.2=9.8(万元),即估计使用

年限为 8 年时,支出的维修费约是 9.8 万元. 考点 32 【两年高考真题演练】
7 1.A [由题意,C3 n=Cn,解得 n=10.则奇数项的二项式系数和

排列、组合、二项式定理

为 2n-1=29.故选 A.] n(n-1) -2 n-2 2 2.C [由题意易得:Cn =15,Cn = n =Cn=15,即 2 15,解得 n=6.] 3. D [? x-
? ?

a ?5 5-r r r r ? 的展开式通项 Tr+1=Cr ( - 1) a · x - 5x 2 2=(- x?

5 5 3 1)rarCr 5x -r,令 -r= ,则 r=1, 2 2 2 3 1 ∴T2=-aC1 5x ,∴-aC5=30,∴a=-6,故选 D.] 2 4.B [由题意,首位数字只能是 4,5,若万位是 5,则有 3×A3 4
3 =72 个;若万位是 4,则有 2×A4 个=48 个,故 40 000 大的偶数共

有 72+48=120 个.选 B.]
2 5 -k k 2 2 5.C [Tk+1=Ck y ,∴k=2.∴C5 (x +x)3y2 的第 r+1 项 5(x +x) r 2(3-r) r 2 1 为 C2 x y ,∴2(3-r)+r=5,解得 r=1,∴x5y2 的系数为 C2 5C3x 5C3

=30.] 6.C [从 6 名男医生中选出 2 名有 C2 6种选法,从 5 名女医生中 6×5 1 2 1 选出 1 名有 C5 种选法,故共有 C6 ·C5 = ×5=75 种选法,选 C.] 2×1 7.D [插空法.在已排好的三把椅子产生的 4 个空档中选出 3 个插入 3 人即可.故排法种数为 A3 4=24.故选 D.] 8.B [(1)当最左端排甲的时候,排法的种数为 A5 5;
1 4 (2)当最左端排乙的时候,排法种数为 C4 A4.因此不同的排法的种

1 4 数为 A5 5+C4A4=120+96=216.]

9.B [解决该问题分为两类:第一类分两步,先排歌舞类 A3 3, 然后利用插空法将剩余 3 个节目排入左边或右边 3 个空, 故不同排法
3 3 有 A3 ·2A3 3=72.第二类也分两步,先排歌舞类 A3,然后将剩余 3 个 1 2 2 3 2 2 1 节目放入中间两空排法有 C2 A2A2,故不同的排法有 A3 A2A2C2=48,

故共有 120 种不同排法,故选 B.] 10.80
2 3 2 2 [T3=C2 5x ·2 =80x ,∴x 的系数等于 80.]

r 1?7 ? 3 7-r ?1? ? ? 11.35 [?x3+x? 的展开式的第 r+1 项为 Tr+1=Cr ( x ) · 7 x =
? ? ? ?
21-4r 4 5 Cr ,令 21-4r=5,得 r=4,∴T5=C7 x =35x5.] 7·x

12.3 [设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5, 令 x=1,得 16(a+1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5,① 令 x=-1,得 0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.② ①-②,得 16(a+1)=2(a1+a3+a5), 即展开式中 x 的奇数次幂的系数之和为 a1+a3+a5=8(a+1), 所以 8(a+1)=32,解得 a=3.] 13.1 560 [依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 40

2 人中任选两人的排列数, 所以全班共写了 A40 =40×39=1 560 条毕业

留言.] 14.6 [根据题意可分四种情况: (1)若①正确,则 a=1,b=1,c≠2,d=4,符合条件的有序数 组有 0 个; (2)若②正确,则 a≠1,b≠1,c≠2,d=4,符合条件的有序数 组为(2,3,1,4)和(3,2,1,4); (3)若③正确,则 a≠1,b=1,c=2,d=4,符合条件的有序数 组为(3,1,2,4);

(4)若④正确,则 a≠1,b=1,c≠2,d≠4,符合条件的有序数 组为(2,1,4,3),(4,1,3,2),(3,1,4,2). 所以共有 6 个.故答案为 6.] 1 10-r r 15.2 [设展开式的通项为 Tr+1=Cr a ,令 r=3,得 T4=C3 10x 10 1 3 3 x7a3,即 C10 a =15,得 a=2.] 1 n 16.3 [由题意得 a1=a·C1 n= =3, a 1 2 n(n-1) ∴n=3a;a2=a2Cn = =4, 2a2 ∴n2-n=8a2. 将 n=3a 代入 n2-n=8a2 得 9a2-3a=8a2,即 a2-3a=0,解得 a=3 或 a=0(舍去).∴a=3.] 【一年模拟试题精练】
2 1.C [从 8 人中任选 3 人有 C3 8种,3 人位置全调有 A2种,故有 2 C3 8A2种.故选 C.]

1?r 3 n-r? 3n-4r ?- ? =Cr 2. B [展开式中第 r+1 项是 Cr (-1)r=28, n (x ) nx x
? ?

3n-4r=0, ? ? r 则?(-1) =1,∴n=8,r=6.] r ? ?Cn =28,
2 3.B [从 4 人中选出两个人作为一个元素有 C4 种方法,同其他 3 两个元素在三个位置上排列 C2 4A3=36,其中有不符合条件的,即学 3 生甲,乙同时参加同一学科竞赛有 A3 种结果,∴不同的参赛方案共

有 36-6=30,故选 B.] 4. B [分三步:先排甲,有一种方法;再排乙、丙,排在甲的

左边或右边各有 4 种方法;再排其余 4 人,有 A4 4种方法,故共有

4 2×4×A4 =192(种).故选 B.]

5.D [设四棱锥为 P-ABCD.下面分两种情况即 C 与 B 同色与 C 与 B 不同色来讨论,
1 1 (1)P 的着色方法种数为 C4 ,A 的着色方法种数为 C3 ,B 的着色 1 方法种数为 C2 , C 与 B 同色时 C 的着色方法种数为 1, D 的着色方法

种数为 C1 2.
1 1 (2)P 的着色方法种数为 C4 ,A 的着色方法种数为 C3 ,B 的着色 1 方法种数为 C2 ,C 与 B 不同色时 C 的着色方法种数为 C1 1,D 的着色 1 1 1 1 1 方法种数为 C1 .综上两类共有 C1 4·C3·2·C2+C4·C3·2=48+24=

72 种结果.故选 D.] 6.D [∵共有男女教师九人选三个到 A、B、C 三地进行调查共
3 有 A9 种结果,要求这 3 位老师中男女教师都有,则选的都是男教师 3 和选的都是女教师不合题意,选的都是男教师有 A5 种结果,选的都 3 3 3 是女教师有 A3 4种结果,∴满足条件的方案有 A9-(A5+A4)=420.]

7.D

? ?C6C4 2?? 1 4 [N=?(C3 6-C4)+? A2 -C4??×A4=1 320.] ? ? 2 ?? ? ?

2

2

?1?n 8.C [由题意知 an=2n 成等比数列,令 x=1 则 bn=?2? 也成等

a1+a2+?+an 比数列,所以 =2n+1,故选 C.] b1+b2+?+bn 9.49 [丙没有入选相当于从 9 人中选 3 人,共有选法 C3 9=84, 甲、乙都没入选相当于从 7 人中选 3 人共有 C3 7=35, ∴满足条件的事件数是 84-35=49,] 10.-1 024 [求(1-x-5y)5 的展开式中不含 x 的项的系数和,

即 5 个多项式(1-x-5y)在展开时全不含 x,(1-x-5y)5 的展开式中 不含 x 的项的系数和等于(1-5y)5 的各项系数和,对于(1-5y)5 令 y= 1 得展开式的各项系数和为(-4)5=-1 024;故答案为-1 024]

11.280

[当十位数字为 0,千位数字为 7 时,四位数的个数是

2 2 A8 ;当十位数字与千位数字为 1,8 时,四位数的个数是 A2 8A2;当十 2 2 位数字与千位数字为 2,9 时,四位数的个数是 A8 A2,故所求的四位 2 2 2 2 数的个数是 A2 8+A8A2+A8A2=280.]

12.114

[先分 2 名女生,有 A2 3=6(种),再分男生,男生的分

2 1 1 3 法有(1,1,1),(2,1,0),(3,0,0)三类,即(A3 3+C3·C2·C2+C3 )

=19(种), 根据分步计数原理, 得不同的分派方案有 6×19=114(种). ] 13.-20 1 6 -r [∵(x-x )6=[x+(-x-1)]6,Tr+1=Cr ( - x - 1 )r = ( - 6x

6-2r 3 1)rCr ,当 6-2r=0 则 r=3,常数项为 T4=(-1)3C6 =-20.] 6x

14.15

1 ? ?x2,0≤x≤1 [函数 f(x)=? 的图象与 x 轴所围成的 2 5 5 ? ?-3x+2,1≤x≤3
1

1 a? ? 1 2 封闭图形的面积为 a,则 a=? x2dx+2·3·1=1,所以?x-x2?6=(x
?0 ? ?

1 2 -x2)6 的展开式中的常数项为 C2 6(-1) =15.] 考点 33 【两年高考真题演练】 1. 古典概型、几何概型

B

?0≤x≤1, ? 1 [在直角坐标系中,依次作出不等式 ? x+ y≥2 , |x ?0≤y≤1, ?

1 1 -y|≤2,xy≤2的可行域如图所示:

S曲边多边形BACDE 依题意,p1= , S四边形OCDE p2= S曲边多边形BOAFDG S曲边多边形GEOCF ,p3= , S四边形OCDE S四边形OCDE

因为 S△ABO=S△BEG=S△DGF,所以 p2<p3<p1.故选 B.] 2.D [如图,

1 由题意知平面区域 Ω1 的面积 SΩ1=S△AOM=2×2×2=2.

Ω1 与 Ω2 的公共区域为阴影部分, 面积 S 阴=SΩ1-S△ABC=2-2×
1 7 1×2=4. 7 S阴 4 7 由几何概型得该点恰好落在 Ω2 内的概率 P= = = .故选 D.] SΩ1 2 8 3.C [从 5 个点取 2 个共有 C2 5=10 种取法,而不小于正方形边 6 3 长的只有 4 条边与 2 条对角线,共 6 种,所以 P=10=5.] 4.D 由题意知基本事件总数为 24=16,对 4 名同学平均分组
2 C4 共有A2=3(种), 2

1

对 4 名同学按 1,3 分组共有 C1 4种,所以周六、周日都有同学参 14 7 2 1 2 加共有 3×A2 +C4 A2=14(种).由古典概型得所求概率为16=8.] 5 1 5.6 [这两只球颜色相同的概率为6, 故两只球颜色不同的概率为

1 5 1-6=6.] 5 6.12 [由几何概型的概率公式:P=1-
2 ? x dx ?1 2

4

5 =12.]

9 7.32 [用 x 轴表示小张到校时刻,用 y 轴表示小王到校时刻,建 立如图直角坐标系.设小张到校的时刻为 x,小王到校的时刻为 y, 则 x-y≥5.

由题意,知 0≤x≤20,0≤y≤20,可得可行域如图所示,其中, 阴影部分表示小张比小王至少早 5 分钟到校.
? ?x-y=5, 由? 得 A(20,15). ?x=20 ?

易知 B(20,20),C(5,0),D(20,0). 1 2×15×15 S△ACD 由几何概型概率公式,得所求概率 P= = = S正方形ODBE 20×20 9 32.] 2 8.e2 [根据题意 y=ex 与 y=ln x 互为反函数,图象关于 y=x 对 称,所以两个阴影部分的面积相等.联立 y=e 与 y=ex 得 x=1,所
?1 以阴影部分的面积 S=2?1(e-ex)dx=2(ex-ex)? =2[(e-e)-(0-1)] ?0 ?0

2 =2,又正方形面积为 e2,由几何概型可知所求概率为e2.]

2 9.3

2 3?1 1 2 2 [由题意可知空白区域的面积为∫- 1 [x -(-x )]dx= x ? 3 ?-1

4 4 8 =3.又正方形的面积为 4,∴阴影部分的面积为 4-3=3,∴所求概 8 3 2 率为4=3.] 1 10.2 [本题属于古典概型, 由古典概型概率公式可得所求概率为
3 C1 1 3C7 4 = .] C10 2

11. 解 1 =50,

(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是

6 50+150+100

所以样本中包含三个地区的个体数量分别是: 1 1 1 50×50=1,150×50=3,100×50=2. 所以 A,B,C 三个地区的商品被选取的件数分别为 1,3,2. (2)设 6 件来自 A,B,C 三个地区的样品分别为: A;B1,B2,B3,C1,C2. 则抽取的这 2 件商品构成的所有基本事件为: {A, B1}, {A, B2}, {A,B3},{A,C1},{A,C2},{B1,B2},{B1,B3},{B1,C1},{B1, C2},{B2,B3},{B2,C1},{B2,C2},{B3,C1},{B3,C2},{C1, C2},共 15 个. 每个样品被抽到的机会均等, 因此这些基本事件的出现是等可能 的. 记事件 D:“抽取的这 2 件商品来自相同地区”, 则事件 D 包含的基本事件有{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},{C1,

C2},共 4 个. 4 4 所以 P(D)=15,即这 2 件商品来自相同地区的概率为15. 【一年模拟试题精练】 60 1.B [由几何概型的概率计算公式可知,会标的面积约为100× 6 2=5,故选 B.] 2.D [来自同一班级的 3 名同学,用 1,2,3 表示,来自另两 个不同班级 2 名同学用 A, B 表示, 从中随机选出两名同学参加会议, 共有 12,13,1A,1B,23,2A,2B,3A,3B,AB 共 10 种, 这两名选出的同学来自不同班级,共有 1A,1B,23,2A,2B, 7 3A, 3B 共 7 种, 故这两名选出的同学来自不同班级概率 P=10=0.7.] 3.C [

1 由题意,若 b=0,a≠0 时不等式 bx2+ax+4<0 有实数解; 若 b≠0,则 Δ=a2-b>0;作出平面区域如下, 1 关于 x 的不等式 bx2+ax+4<0 有实数解的概率为图中阴影部分 与正方形的面积比, 1 1 ? S阴 3 1 3 1 1 1 2 S 阴= ? a da=3a ? = ;故 = = ;故选 C.] 0 ? 3 ? S正方形 1 3
0

?

?-1≤x≤1, ? 2π +3 3 ? 4. [ 作出可行域如图所示: 不等式组 所表 12 ?0≤y≤2 ?

示的平面区域 W 是图中正方形 ABCD,则正方形

ABCD 的面积是 2×2= 4.从区域 W 中随机取点 M(x, y),使 |OM|≤2,则点 M 落在图中阴影部分.在 Rt△AOM 中,MA= 3,∠
?1 ? π 1 π AOM= 3 ,所以阴影部分的面积是 2? ×1× 3+ × ×22?= 3+ 2 6 ?2 ?

2π 3+ 3 2π 2π+3 3 ,故所求的概率是 = .] 3 4 12 2 5.3 [设 AC=x,则 BC=12-x,矩形的面积 S=x(12-x)>20, ∴x2-12x+20<0,∴2<x<10,由几何概率的求解公式可得, 10-2 2 矩形面积大于 20 cm2 的概率 P= 12 =3.] 9 6.13 [满足集合 A 的点有:(-2,0),(-1,-1),(-1,0),(- 1,1),(0,-2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),(1,-1),(1, 0),(1,1),(2,0)共 13 个,满足集合 B 的有:(-1,-1),(-1, 0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1), 9 共 9 个,则 a∈B 的概率是13.] 7.解 (1)依题意共有小球 n+2 个,标号为 2 的小球 n 个,从 n 1 =2, n+2

袋子中随机抽取 1 个小球,取到标号为 2 的小球的概率为 得 n=2.

(2)①从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球共有 12 种结果,而 8 2 满足 2≤a+b≤3 的结果有 8 种,故 P(A)=12=3. ②由①可知,(a-b)2≤4,故 x2+y2>4,(x,y)可以看成平面中 的点的坐标,则全部结果所构成的区域为 Ω={(x,y)|0≤x≤2,0≤y 1 4-4π ×22 π ≤2,x,y∈R},由几何概型得概率为 P= = 1 - 4 4. 考点 34 离散型随机变量及其分布列

【两年高考真题演练】 1.C [对于 A 项,因为正态分布曲线关于直线 x=μ 对称,所 以 μ1<μ2.所以 P(Y≥μ1)>0.5=P(Y≥μ2).故 A 项错误; 对于 B 项,因为 X 的正态分布密度曲线比 Y 的正态分布密度曲 线更“瘦高”,所以 σ1<σ2.所以 P(X≤σ1)<P(X≤σ2).故 B 项错误; 对于 C 项,在 y 轴右侧作与 x 轴垂直的一系列平行线,可知:在 任何情况下,X 的正态分布密度曲线与 x 轴之间围成的图形面积都大 于 Y 的正态分布密度曲线与 x 轴之间围成的图形面积, 即对任意正数 t,P(X≤t)≥P(Y≤t).故 C 项正确; 对于 D 项,由图象可知,在 y 轴的右侧某处,显然满足 P(X≥t)<P(Y≥t).故 D 项错误.故选 C.] 2.C [由 X~N(0,1)知,P(-1<X≤1)=0.682 6, 1 ∴P(0≤X≤1)=2×0.682 6=0.341 3,故 S≈0.341 3. x S ∴落在阴影部分中点的个数 x 估计值为10 000=1(古典概型), ∴x=10 000×0.341 3=3 413,故选 C.] 3 . B [ 由 题 意 , 知 P(3 < ξ < 6) =

P(-6<ξ<6)-P(-3<ξ<3) 95.44%-68.26% = =13.59%.] 2 2 2m+n m n 1 4.A [p1= + ×2= , m+n m+n 2(m+n) 3m2-3m+2mn+n2-n p2= , 3(m+n)(m+n-1) 2m+n 3m2-3m+2mn+n2-n p1-p2= - 2(m+n) 3(m+n)(m+n-1) = 5mn+n(n-1) >0.故 p1>p2, 6(m+n)(m+n-1)

1 Cn n ξ1 的可能取值为 1,2,P(ξ1=1)= 1 = ; Cm+n m+n 1 Cm m P(ξ1=2)= 1 = . Cm+n m+n

2m+n n m 故 E(ξ1)=1× +2× = . m+n m+n m+n

ξ2 的可能取值为 1,2,3.
2 n(n-1) Cn P(ξ2=1)= 2 = , Cm+n (m+n)(m+n-1) 1 1 Cm Cn 2mn P(ξ2=2)= 2 = , Cm+n (m+n)(m+n-1) 2 m(m-1) Cm P(ξ2=3)= 2 = , Cm+n (m+n)(m+n-1)



E(ξ2)





n(n-1) (m+n)(m+n-1)



m(m-1) 2mn 2× +3× (m+n)(m+n-1) (m+n)(m+n-1) = n(n-1)+4mn+3m(m-1) (m+n)(m+n-1)

于是 E(ξ1)-E(ξ2)

= = =

2m+n n(n-1)+4mn+3m(m-1) - m+n (m+n)(m+n-1) (2m+n)(m+n-1)-[n(n-1)+4mn+3m(m-1)] (m+n)(m+n-1) -m(m+n-1) . (m+n)(m+n-1)

又∵m≥3,n≥3,∴E(ξ1)-E(ξ2)<0,即 E(ξ1)<E(ξ2).综上,应 选 A.] 1? ? 2 1 5.5 [设 ξ=1 时的概率为 p, 则 E(ξ)=0×5+1×p+2?1-p-5?= ? ? 3 1 3 1 2 1,解得 p=5.故 D(ξ)=(0-1)2×5+(1-1)2×5+(2-1)2×5=5.] 6.解 (1)令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个”,则由古典概

型的概率计算公式有
1 1 1 C2 C3C5 1 P(A)= C3 =4. 10

(2)X 的所有可能值为 0,1,2,且
3 2 2 1 C8 7 C1 7 C2 C8 1 2C8 P(X=0)=C3 =15,P(X=1)= C3 =15,P(X=2)= C3 =15. 10 10 10

综上知,X 的分布列为 X P 0 7 15 1 7 15 2 1 15

7 7 1 3 故 E(X)=0×15+1×15+2×15=5(个). 【一年模拟试题精练】 4 2 1.C [由 E(ξ)=3,D(ξ)=9,

?3x +3x =3, 得? 4?2 2 ? 4? 1 2 ? ?x - ? · +?x - ?· = , ?? 3? 3 ? 3 ? 3 9
1 2 1 2 2

2

1

4

5 ? x = 1 ? 3, ? ? ?x1=1, ?x1=1, 解得? 或? 由于 x1<x2,∴? ∴x1+x2=3.] 2 ?x2=2, ?x2=2, ? ? ? ?x2=3 2.C [由已知条件可得 P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X= 3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2, 则 E(X)= P(X= 1)+2P(X=2)+ 3P(X=3)= p+2(1-p)p+3(1- 1? ? 5 1 p)2=p2-3p+3>1.75, 解得 p>2或 p<2, 又由 p∈(0, 1), 可得 p∈?0,2?,
? ?

故应选 C.] 3.0.158 7 [因为随机变量 X 服从正态分布 N(2,1),所以 P(X

>3)=P(X<1),因为 P(X<1)+P(1≤X≤3)+P(X≥3)=1,所以 P(X 1 >3)=2(1-0.682 6)=0.158 7.] 4.解 (1)由题意知,ξ 的所有可能取值为 0,10,20,30.

1 1 1 1 P(ξ=0)=5×4×3=60, 4 1 1 1 3 1 1 1 2 9 3 P(ξ=10)=5×4×3+5×4×3+5×4×3=60=20, 4 3 1 4 1 2 1 3 2 26 13 P(ξ=20)=5×4×3+5×4×3+5×4×3=60=30, 4 3 2 24 2 P(ξ=30)=5×4×3=60=5. ξ 的分布列为: ξ 0 10 20 30

P

1 60

3 20

13 30

2 5

1 3 13 2 133 ∴E(ξ)=0×60+10×20+20×30+30×5= 6 . (2)用 A 表示“甲得 30 分乙得 0 分”,用 B 表示“甲得 20 分乙 得 10 分”,且 A,B 互斥.
?3 ?3 1 9 又 P(A)=?4 ? ×60=1 280, ? ?

2 1 3 81 2?3? ? ? × × = P(B)=C3 4 4 20 1 280,
? ?

甲、乙两人得分总和为 30 分且甲获胜的概率为 90 9 P(A+B)=P(A)+P(B)=1 280=128. 5.解 1 P(A)=2. 2 从 B 型号节能灯中随机抽取一件产品为优质品的概率 P(B)=5. ∴从 A,B 两种型号节能灯中各随机抽取两件产品,恰有两件是优质 品的概率 1 ?1?1 2 2 2 ?2?1 ?3?1 1?1? 2?1? 2?3?2 2?1? 2?2? ? ? ×? ? ×C1 ? ? ×? ? +C2 ? ? ×C2 ? ? +C2 ? ? ×C2 ? ? P=C2 2 2 2 5 5 2 5 2 5
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(1)从 A 型号节能灯中随机抽取一件产品为优质品的概率

37 =100. (2)据题意知,X 的可能取值为-40,0,20,40,60,80.
? 1 ?2 1 ∵P(X=-40)=C2 2?10? = 100, ? ?

1 ?2?1 2 1? 1 ? ? ? ×? ? = , P(X=0)=C2 10 5 25
? ? ? ?

1 ?1?1 1 1? 1 ? ? ? ×? ? = , P(X=20)=C2 10 2 10
? ? ? ?

2 4 2?2? ? ? = , P(X=40)=C2 5 25
? ?

1 ?1?1 2 1?2? ? ? ×? ? = , P(X=60)=C2 5 2 5
? ? ? ?

2 1 2?1? ? ? = , P(X=80)=C2 2 4
? ?

∴X 的分布列为: X P -40 1 100 0 2 25 20 1 10 40 4 25 60 2 5 80 1 4

1 1 4 2 ∴数学期望 E(X)=(-40)×100+0+20×10+40×25+60×5+ 1 80×4=52.


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